許文序，周宗福

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

0 引 言

分數(shù)微積分是整數(shù)微積分的一種推廣.在實際問題中，分數(shù)階模型比整數(shù)階模型更有應用價值.近年來，分數(shù)階微分方程引起了人們極大的關注，除了其自身理論的深入發(fā)展，它在分子物理學，流體力學，黏彈性力學，電化學分析，生物系統(tǒng)的電傳導等領域有廣泛的應用[1-7].大部分學者致力于有限區(qū)間上的分數(shù)階邊值問題[8-11]，對無窮區(qū)間上的分數(shù)階耦合微分系統(tǒng)邊值問題的研究還相對較少。

文獻[12]研究了無窮區(qū)間上帶有積分條件的分數(shù)階微分方程邊值問題：

利用Leggett-Williams不動點定理獲得多個正解的存在性。

文獻[13]討論了一類具有耦合積分邊界條件的分數(shù)階微分方程問題：

其中u,v>0,α-v≥1,β≥1，通過利用Schauder不動點定理，得到了解的存在結果。

在以上文獻的基礎上，考慮下面無窮區(qū)間上具有積分邊界條件的分數(shù)階耦合系統(tǒng)的邊值問題：

(1)

首先給出邊值問題(1)相應的帶積分條件的耦合線性系統(tǒng)解的表達式，再利用錐上Krasnoselskii不動點定理得到上述耦合系統(tǒng)邊值問題(1)正解的存在性。

假設以下條件成立：

(A1)①g,h∈C([0，+∞)×[0，+∞)×

[0，+∞),×[0，+∞))；

② λ1,λ2是兩個正值參數(shù)；

③p1∈(0，p-3)，q1∈(0，p-2)，r1∈(0，p-1)，

p2∈(0，q-3)，q2∈(0，q-2)，r2∈(0，q-1)

(A2)w,v∈L[0，+∞)w,v非負且

1 預備知識和引理

首先給出一些分數(shù)階微積分的定義和引理。

定義1[2]函數(shù)y:[0，+∞)→R的a階Riemann-Liouville積分定義為

其中式(1)右邊在[0,+∞]上是逐點定義的。

定義2[2]函數(shù)y:[0，+∞)→R的a階Riemann-Liouville導數(shù)定義為

其中a∈[n-1,n)，其式(2)右邊在[0，+∞)上是逐點定義的。：

x(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N，ci∈R，i=1，2，…，N，其中N是不小于α的最小整數(shù)。

ci∈R，i=1，2，…，N

其中N是不小于a的最小整數(shù)。

引理3 設φ∈C([0，+∞]，R)，3

的解為

這里G(t，s)=G1(t，s)+G2(t，s)，且

又有

下面確定c1：

(2)

式(2)兩邊乘上h(t)且從0到+∞積分得：

(3)

將式(3)代入式(2)得

證畢。

注1 設ψ∈C([0，+∞]，R)，3

的解為

這里H(t，s)=H1(t，s)+H2(t，s)，且

由引理3及注1可知，邊值問題式(1)等價于如下積分系統(tǒng)：

根據(jù)求得的格林函數(shù)Gi(t，s)，Hi(t，s)(i=1，2)，易見以下引理成立：

引理4Gi(t，s)，Hi(t，s)(i=1，2)在[0，+∞]×[0，+∞]上是連續(xù)的，且Gi(t，s)≥0，Hi(t，s)≥0，?t，s∈[0，+∞]，i=1，2.

引理5[14]設k>1，則

2 邊值問題式(1)正解的存在性

考慮乘積空間X×Y，定義其上的范數(shù)為((x，y))=(x)+(y).由文獻[14]知，(X，(·))，(Y，(·))，(X×Y，(·))是Banach空間.

定義錐

K={(x，y)∈X×Y；x，y≥0，

其中

定義算子T：X×Y→X×Y

易知T的不動點即為邊值問題式(1)的解.

引理6T(K)?K，T：K→K是全連續(xù)算子.

同樣，任取(x，y)∈K，令

θ2‖T2(x，y)‖≥θ(‖T1(x，y)‖+‖T2(x，y)‖)=

θ‖(T1(x，y)，T2(x，y))‖.

可見T(K)?K.仿文獻[15]中定理3.2的有關可知，T:K→K是全連續(xù)的.證畢.

(1)‖Tx‖≤‖x‖，x∈K∩?Ω1且‖Tx‖≥‖x‖，x∈K∩?Ω2；

(2)‖Tx‖≥‖x‖，x∈K∩?Ω1且‖Tx‖≤‖x‖，x∈K∩?Ω2；

假設：

定理1 假設(A1)，(A2)成立，g0=h0=0并且g∞=+∞或h∞=+∞，則分數(shù)階微分方程(1)至少有一個正解.

證明選取ε0>0，使得

由于g0=h0=0，故對上述ε0，?M1>0，使得當，0

于是當0≤x(t)+y(t)≤M1時，對?t∈[0，+∞)，有：

作Ω1={(x,y):(x,y)∈X×Y,‖(x,y)‖

任取(x,y)∈K∩?Ω1‖(x,y)‖=M1，?t∈[0，+∞)有：

因此，對取(x,y)∈K∩?Ω1有：

‖T(x,y)‖=‖(T1(x,y),T2(x,y)‖=

‖T1(x,y)‖+‖T2(x,y)‖≤‖(x,y)‖

(1)若g∞.取β0>0，使得

即?t∈[0，+∞]有：

Ω2={(x,y)∶(x,y)∈X×Y,‖(x,y)‖

任取(x,y)∈K∩?Ω2，有

這里的θ即為錐K定義中的θ.

‖(x，y)‖

可見，‖T1(x,y)‖≥‖(x,y)‖.因此，對(x,y)∈K∩?Ω2，有

‖T(x,y)‖=‖(T1(x,y),T2(x,y))‖=‖T1(x,y)‖+‖T2(x,y)‖≥‖(x,y)‖

(2)若h∞=+∞，仿上述分析，類似可作出Ω2.對此，Ω2，?(x,y)∈K∩?Ω2,‖T(x,y)‖≥‖(x,y)‖.

根據(jù)引理7可知，T存在一個不動點(x,y)∈K∩?(Ω2|Ω1)，M1≤‖(x,y)‖≤M2，此不動點即為邊值問題(1)的一個正解.證畢.