崔慶岳，趙國瑞

(廣州城建職業(yè)學(xué)院 人文學(xué)院，廣州 510925)

0 引 言

考慮下面的積分方程：

(1)

其中積分核k(x，ξ，s)滿足下列條件：

① 對于復(fù)平面上的某一集合E內(nèi)的一個固定s和[a，∞)上固定的x，k(x，ξ，s)關(guān)于ξ在[a，∞)上是可積的；

④ 函數(shù)f(x，s)在a≤x<∞，s∈E上關(guān)于x，s是連續(xù)的、有界的.

由積分方程理論可知：

引理1若積分方程式(1)中的積分核滿足上述條件①—條件③，函數(shù)f(x，s)滿足條件④，則方程式(1)具有一個在x∈[a，∞)和s∈E上連續(xù)有界的解u(x，s).

證明通過迭代的方法逼近方程的解，假定

u0(x，s)=0

(2)

其中a≤x<∞，s∈E.

記ε0={(x，s)，x∈[a，∞)，s∈E}，下證un+1(x，s)在ε0上連續(xù)有界，并且對?(x，s)∈ε0積分方程式(2)收斂.

當(dāng)n=0，上述結(jié)論顯然成立；當(dāng)n=m時，假設(shè)上述結(jié)論成立.

當(dāng)n=m+1時，對?(x，s)∈ε0，|um(x，s)|≤cm，則

成立.從而證明了積分方程式(2)的收斂性和um+1(x)的有界性.

對于(x0，s0)∈ε0，有

|um+1(x，s)-um+1(x0，s0)|=

(3)

取N充分大，令(x，s)無限接近(x0，s0)，由k(x0，ξ，s0)的性質(zhì)及um(ξ，s)的連續(xù)性可得式(3)右端可以充分小，所以um+1(ξ，s)在ε0上連續(xù).

下面考慮級數(shù):

u0(x，s)+[u1(x，s)-u0(x，s)]+

[u2(x，s)-u1(x，s)]+…+[un(x，s)-un-1(x，s)]+

[un+1(x，s)-un(x，s)]+…

(4)

|un+1(x，s)-un(x，s)|=

即un+1≤unγ.

又由于γ<1，所以級數(shù)u0+u1+u2+…+un+…收斂，從而級數(shù)式(4)在ε0上一致收斂，并且

所以u(x，s)是積分方程式(1)的解，而且根據(jù)um(x，s)的性質(zhì)以及在ε0上的一致收斂性可知，u(x，s)在ε0上連續(xù)，有界.

引理2若積分方程式(1)的積分核k(x，ξ，s)同時滿足條件①—條件④，并且有條件：

⑤E是復(fù)平面C上的開集；

⑥ 對每個固定的x∈[a，∞)，f(x，s)在E上是解析函數(shù)；

事實上，對每個固定的x∈[a，∞)，un(x，s)在E上是解析函數(shù)，由一致收斂性得u(x，s)在E上也是解析函數(shù).

(5)

滿足條件①—條件③.

注2若φ1(x，ξ，s)，φ2(x，ξ，s)對固定的x，ξ∈[a，b]關(guān)于s在E上解析，則k(x，ξ，s)滿足條件⑦.

在實數(shù)域內(nèi)微分算子已有大量的成果，包括自伴域、譜理論等方面已有較系統(tǒng)和完善的結(jié)論，其中關(guān)于特征值和方程解的研究也有大量的成果，譬如在文獻(xiàn)[1]中作者利用E.C.Titc-hmarsh所引進(jìn)的函數(shù)論的方法得到Sturm-Liouville問題存在可數(shù)個實的單重特征值，并且給出特征值及特征函數(shù)的漸近式；在文獻(xiàn)[2]中作者給出了帶有獨立參數(shù)的特征值和特征函數(shù)的漸近式；在文獻(xiàn)[3-4]中作者給出了在滿足不同條件下的譜函數(shù)的漸近式；文獻(xiàn)[5-6]分別給出了線性和非線性二階微分方程解的漸近式，得到了比較好的近似結(jié)果；文獻(xiàn)[7]中則給出了一類二階微分方程解的漸近性的證明方法；文獻(xiàn)[8]利用通解的結(jié)構(gòu)和自由項的形式來求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解；文獻(xiàn)[9]則利用微積分運算把一個二階微分方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程，然后用泰勒矩陣的方法得到其近似解.

以上結(jié)論都是基于實數(shù)域內(nèi)得出的，但是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的研究成果還相對較少，在文獻(xiàn)[10]中作者給出了復(fù)平面內(nèi)復(fù)值函數(shù)q(x)在滿足分段連續(xù)和絕對連續(xù)條件下方程解的漸近式；文獻(xiàn)[11]中作者在復(fù)平面內(nèi)給出了帶有復(fù)數(shù)系數(shù)的Emden-Fowler型方程解的漸近性.

1 微分方程l(y)=λy的解系

主要研究二階微分方程：

l(y)=-y″+q(x)y(0≤x≤∞)

生成的微分算子的相關(guān)結(jié)論，其中q(x)為[0，∞)上的復(fù)值函數(shù)，且在[0，∞)上可積.

下面考慮微分方程：

l(y)=λy

(6)

方程式(6)可化為

y″+λy=q(x)y

(7)

利用常數(shù)變易法可得方程式(7)的解：

y(x，s)=c1eisx+c2e-isx+

其中微分方程的特征根λ滿足條件：

① 若令c1=1，c2=0，x1=x2=∞，得到方程式(7)的特解：

eis(ξ-x)]q(ξ)y(ξ，s)dξ

(8)

根據(jù)積分方程理論可知，當(dāng)x充分大時，式(8)有解.

設(shè)y(x，s)=eisxz(x，s)，則方程

有一個非零解z(x，s)

下面考慮積分核k(x，ξ，s)為如下形式：

的積分方程式(1)，即在式(5)中，有

設(shè)E是復(fù)平面C上的集合，|s|≥γ>0，s∈C，τ≥0，則對ξ>x，且s∈E，有

|e2is(ξ-x)|=e-2τ(ξ-x)≤1

y(x，s)=eisxz(x，s)

(9)

是積分方程式(8)的解，也是方程式(6)的一個滿足一定初始條件的特解.

定理1方程式(6)存在一個解y1(x，s)滿足積分方程：

② 若令c1=0，c2=1，x1=x2=∞，同樣得到方程式(6)的另外一個特解.

定理2 方程式(6)存在一個特解y2(x，s)滿足積分方程

2 微分方程l(y)=λy解的漸近式

① 考慮微分方程l(y)=λy的解y1(x，s)，y2(x，s)及其導(dǎo)數(shù)在x→+∞時的漸近式，其中s=σ+iτ，0≤args<π，τ≥0.

y1(x，s)=eisx[1+o(1)]

且在區(qū)域|s|≥γ>0，τ≥0上關(guān)于s一致成立.

證明考慮積分方程：

對充分大γ，當(dāng)|s|≥γ>0，x≥a時，由定理1可知z(x，s)在上述區(qū)域內(nèi)有界，不妨設(shè)|z(x，s)|≤c1，0≤x≤∞，|s|≥γ，則當(dāng)|s|≥γ>0，x≥a時，

在區(qū)域γ≤s<∞，γ>0內(nèi)關(guān)于s一致成立.

證明同定理3.

② 考慮微分方程l(y)=λy的解y1(x，s)，y2(x，s)及其導(dǎo)數(shù)在s→+∞時的漸近式，其中s=σ+iτ，0≤args<π，τ≥0.

定理5 對于復(fù)數(shù)虛部τ≥0，且當(dāng)s→+∞時，

e-isxo(s-1)

證明對y1(x，s)進(jìn)行迭代可得：

eis(η-ξ)]q(η)eisηdηdξ+eisxo(s-3)

(10)

對式(10)右端第二項估計可得:

(11)

其中式(11)第二項取絕對值，再由定理1可得：

同樣根據(jù)定理1，對式(10)第三項進(jìn)行估計可得：

綜合以上可得定理5成立.

利用相同的方法對函數(shù)y2(x，s)及其導(dǎo)數(shù)

定理6 對于復(fù)數(shù)虛部τ≥0，且當(dāng)s→+∞時，

證明同定理5.

通過以上證明，給出了微分方程在滿足不同初始條件下的兩個特解及其導(dǎo)數(shù)在兩種不同變化趨勢下的漸近式，并且漸近式的精度取決于復(fù)平面內(nèi)所選定的區(qū)域；另外，在s→+∞的變化趨勢下，方程解的近似精度主要取決于函數(shù)q(x)的性質(zhì)，如果函數(shù)q(x)∈[0，+∞)除了滿足絕對連續(xù)，q′(x)存在且可積之外，還存在高階導(dǎo)數(shù)，則二階微分方程特解的漸近式將會更加精確，這是本文后續(xù)要研究的內(nèi)容.