張國平 羅賢兵

摘?要?針對二維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散邊界控制問題計(jì)算量大的問題， 提出了基于降階模型的最優(yōu)實(shí)時(shí)控制方法. 利用POD（the Proper Orthogonal Decomposition）和奇異值分解以及Galerkin投影方法得到了具有高精度離散形式的狀態(tài)空間降階模型. 在所得的降階狀態(tài)空間模型中， 利用離散時(shí)間線性二次調(diào)節(jié)器方法設(shè)計(jì)出了最優(yōu)控制器. 對流-擴(kuò)散過程的控制模擬結(jié)果說明了所提方法的有效性和準(zhǔn)確性.

關(guān)鍵詞?對流擴(kuò)散邊界控制問題; 特征正交分解（POD）; 奇異值分解; 降維模型

中圖分類號?0242.1?文獻(xiàn)標(biāo)識碼?A

Abstract?Boundary control of two-dimensional unsteady convection diffusion is a large-scale optimization problem， and ?an approach was presented for optimal control based on reduced-order model， which was derived from a discrete-time low-order state-space model with high accuracy by using POD（the Proper Orthogonal Decomposition）， singular value decomposition （SVD）and Galerkin projection. Optimal controllers were designed based on the low-order state-space models using discrete-time linear quadratic regulator （LQR） techniques. The controlling simulation results in the convection-diffusion process illustrate the effectiveness and accuracy of the proposed method.

Key words?convection-diffusion boundary control problem; the Proper Orthogonal Decomposition （POD）;singular value decomposition; dimensionality reduction model

1?引?言

對流擴(kuò)散方程所描述的最優(yōu)控制問題[1]廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域， 如：大氣污染控制問題， 流體控制問題等， 所以尋找穩(wěn)定、高速實(shí)用的數(shù)值方法[2]， 有著非常重要的實(shí)際意義. 目前常用有限差分法[3]

和有限元法[4]解決此類問題， 然而一般情況下， 大多數(shù)的差分格式和有限元格式計(jì)算量比較大， 而且占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存多， 特別是對于高階的離散系統(tǒng)， 其計(jì)算量將呈指數(shù)規(guī)律增長， 計(jì)算成本將變得很大. 因此， 現(xiàn)在重要的問題是如何簡化計(jì)算，減少計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存容量，并確保解具有足夠的精確性.基于矩陣奇異值分解的特征正交方法（Proper Orthogonal Decomposition）能提供具有足夠高精度而自由度又較小的低階模型， 簡化計(jì)算，節(jié)省CPU和內(nèi)存.

文中所介紹的特征正交分解方法[5]主要是提供一種有效逼近大量數(shù)據(jù)的最優(yōu)逼近方法， 它的實(shí)質(zhì)是在最小二乘意義下[6]找尋能代表已知數(shù)據(jù)的一組正交基.即一種求已知數(shù)據(jù)的最優(yōu)逼近方法. 此外，由于POD方法是在最小二乘意義下最優(yōu)的，所以該方法有完全依賴數(shù)據(jù)而不對數(shù)據(jù)作任何先驗(yàn)假設(shè)的優(yōu)點(diǎn). ?在文獻(xiàn)[7]中以對流擴(kuò)散反應(yīng)過程為例，設(shè)計(jì)了基于低階模型的線性二次調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制[7]， 將離散空間模型的階數(shù)大大地降低了， 其仿真實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)反饋控制的實(shí)時(shí)應(yīng)用， 但是沒有對二維對流擴(kuò)散方程描述的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制.

本文將特征正交分解應(yīng)用于二維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散邊界控制問題， 在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上將低階模型與最優(yōu)控制問題相結(jié)合提出了基于低階模型的二維對流擴(kuò)散邊界控制問題. 首先采用有限差分法計(jì)算出由瞬時(shí)對流擴(kuò)散方程解集構(gòu)成的瞬像（snapshots）， 再利用奇異值分解[8]和POD分解方法獲得對流擴(kuò)散瞬像的最優(yōu)特征正交基， 再與伽遼金投影方法結(jié)合將高階的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為精度較高的低階模型， 并結(jié)合線性二次調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制方法， 得出基于無約束的線性二次調(diào)節(jié)器的最優(yōu)反饋控制的輸入/輸出. 以二維對流擴(kuò)散邊界控制問題為例， 結(jié)果表明在保證較高精度的優(yōu)化結(jié)果的同時(shí)可大幅度提高求解速度.

5?結(jié)?論

本文應(yīng)用POD方法提出了基于低階模型的對流擴(kuò)散最優(yōu)控制問題， 基于該方法， 從兩個(gè)層次上提高了計(jì)算和優(yōu)化的效率， 從以上仿真可以看出， 全階模型在每個(gè)時(shí)間步上需要求解2499個(gè)方程， 但降階模型在每個(gè)時(shí)間步上只需要求解13個(gè)方程， 而且， 當(dāng)空間步長變小時(shí)， 全階模型在每個(gè)時(shí)間步上需要解的方程的個(gè)數(shù)將會增多， 而降階模型在每

個(gè)時(shí)間步上還只是求解13個(gè)方程， 不但解決了對流擴(kuò)散離散系統(tǒng)計(jì)算量大的問題， 并節(jié)省了計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間. 在最優(yōu)反饋控制中， 基于高階模型的狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)， 所需要的計(jì)算內(nèi)存和時(shí)間都比較多， 相對于低階模型所需要的計(jì)算時(shí)間就要少得多， 且基于高、低階模型具有相同的控制效果. 這些都體現(xiàn)了降階模型的有效性和高效性.

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