鄭金

摘要：利用數(shù)學和物理知識推導有關拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線數(shù)學性質(zhì);利用拋物線的對稱弓形面積的結(jié)論推導任意弓形面積的結(jié)論，以巧妙解答文中物理競賽題.

關鍵詞：拋物線;弓形;面積

利用拋物線對稱弓形面積的結(jié)論和拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線結(jié)論可以巧妙證明拋物線任意弓形面積的結(jié)論;反之，利用拋物線任意弓形面積的結(jié)論很容易得出對稱弓形面積的結(jié)論，如圖1所示，拋物線的對稱弓形AOB，外切矩形ABCD，在直角坐標系中寫出拋物線方程y=ax2，設B點坐標為（xo，yo），可知曲邊直角三角形10CB的面積為S[=S*ax2dx=一ax3|o*0=3axn=-Yoxo，即等于象限矩形OCBE面積的三分之一，那么對稱弓形面積等于外切矩形面積的三分之二.若作線段AO、BO，可知內(nèi)接最大三角形AOB的面積等于外切矩形面積的一半.

結(jié)論1拋物線上的對稱弓形面積等于外切矩形面積的2/3，等于內(nèi)接最大三角形面積的4/3

如果拋物線弓形不是對稱弓形，而是任意弓形，那么其面積是否等于外切矩形面積的三分之二呢？

首先利用物理知識證明拋物線的一個性質(zhì)：對于拋物線.上的任意弓形，內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對稱軸.

對于質(zhì)點的豎直上拋運動，整個過程為勻減速直線運動，位移公式為y=Upt一gt2，其圖象如圖2所示.作傾斜的弦AB，其斜率的絕對值表示這段時間內(nèi)的平均速度大小;作切線平行于弦，切線斜率的絕對值表示瞬時速度的大小，而且等于這段時間內(nèi)的平均速度大小，因此切點的橫坐標表示瞬時速度與這段時間內(nèi)的平均速度相等的時刻.根據(jù)勻變速直線運動在一段時間中點的瞬時速度等于這段時間內(nèi)的平均速度可知，切點的橫坐標恰好是這段時間的中間時刻，那么過切點與弦的中點的直線恰好在梯形的中位線上，必然平行于拋物線的對稱軸.

結(jié)論2對于拋物線上的任意弓形，若切線平行于弦，則過切點與弦的中點的直線平行于對稱軸，或者說，拋物線弓形的內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對稱軸.

利用_上述結(jié)論和解析幾何知識可推導拋物線上的任意弓形面積與內(nèi)接最大三角形面積的數(shù)量關系，2

設拋物線方程為y=ax2（a>0），圖象如圖3所示，可知弦AB與橫軸圍成梯形的面積為：

S[=t（cax[+ax2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+ia（x2x1-x122）22

拋物線與橫軸圍成的兩個曲邊三角形的面積為：

S2=2133**axi+lx1ax=a（-4）3

可知拋物線弓形的面積為：

S=S，-S，=一ax26l-x2）

線段AB即內(nèi)接三角形一條邊的中點坐標為：

22、xC二一（x[+x2），Yc=Ta（x[+x2）22

由于拋物線的弓形內(nèi)接最大三角形的中線CD平行于對稱軸，則對應頂點的縱坐標為：

y=（3x1x7++}x）p=r（（

三角形中線的長度為.d=2）（x1-x2）232

由于中線垂直于x軸，則內(nèi)接最大三角形面積為：

S=2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+i

所以弓形面積與最大三角形面積之比為

由于弓形的外切矩形面積等于內(nèi)接最大三角形面積的2倍，因此弓形面積等于外切矩形面積的2/3.

結(jié)論3拋物線上的任意弓形面積等于以弦為一條邊的外切矩形面積的2/3，等于以弦為底邊的內(nèi)接最

大三角形面積的4/3.

這個數(shù)學結(jié)論簡單易記，而且推導方法很巧妙，關鍵是利用物理知識推導數(shù)學結(jié)論2，從而由特殊結(jié)論得出—般結(jié)論，更有助于對特殊結(jié)論的深化理解和強化記憶至此，特殊結(jié)論與一般結(jié)論可合二為一，即拋物線弓形面積等于外切矩形面積的三分之二。下面利用拋物線弓形面積的結(jié)論來解答以下物理競賽題.

例1如圖4所示，一個質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的滑塊處于場強按E=E，-ht（E.、h均為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向）變化的電場中，滑塊與豎直絕緣墻壁間的動摩擦因數(shù)為μ，當t=0時，滑塊處于靜止狀態(tài).若滑塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且電場空間和墻面均足夠大，不計滑塊與墻壁摩擦過程中損失的電量，試求：（1）滑塊何時開始下滑？何時開始離開墻壁？（2）滑塊運動的最大速度是多少？（3）滑塊沿墻壁運動的最大位移是多少？

解析（1）當t=0時，滑塊處于靜止狀態(tài)，在開始一段時間內(nèi)滑塊與墻壁之間的彈力較大，不會下滑;當場強減小到某一值時，在tn時刻開始下滑;當場強繼續(xù)減小到零時，在tr時刻滑塊將離開墻壁.

ty時刻滑塊受到墻壁的彈力為Fv=F。=qE=q（E，-ht）

當摩擦力跟重力平衡時，滑塊開始下滑，利用mg.=uFv可得么_MLEn-m，，此時滑塊的速度為零.

（2）由于滑塊加速下滑，則在時刻t2的速度最大.設某時刻t，物塊的加速度為a，此時彈力為N=qE=q（E，-kht），由牛頓第二定律有mg-μN=ma，可知瞬時加速度為a_thqt+mg-μqE

加速運動的時間為Ot=t-t，初速度為零，由勻加速運動的速度公式可得在時刻t的瞬時速度為：

（3）速度與時間的關系式為v=At2+Bt+C，這是關于時刻t的一元二次函數(shù)，可知速度圖象為開口向上的拋物線.由于物塊在加速運動過程中的速度大于零，而且初速度和開始時的加速度都為零，因此拋物線的頂點必與橫軸相切，或者根據(jù)判別式△=B2-4AC=0來判斷拋物線的頂點與橫軸相切，則對稱軸的坐標為t=t，或t=25_-B2A_μqE，-mgμkq=ti.速度圖象如圖5所示.

在時刻t，到tr這段時間內(nèi)，滑塊的位移在數(shù)值上等于圖象與橫軸圍成圖形的面積，即為曲邊三角形Pt2z的面積，其底邊長為Ot=tz-tp=mgμkq，可知圖形的面積即滑塊的位移為：