王仙鋒 鐵志榮

摘要：《不等式選講》作為新課標(biāo)高考選考內(nèi)容之一，考題難度適中，近幾年的考題更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查，通過(guò)歷屆高考試題的研究，分析題型、剖析方法、把握考點(diǎn)，提高學(xué)生分析解決此類問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：不等式;絕對(duì)值;參數(shù);證明

作為新課標(biāo)高考選考內(nèi)容之一的《不等式選講》，是對(duì)以前所學(xué)不等式知識(shí)的加強(qiáng)、延伸和深化.通過(guò)不等式的證明、不等式的幾何意義、不等式的背景，從不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)上加以剖析，從而提高邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力主要包括不等式的知識(shí)（絕對(duì)值不等式的性質(zhì)）、證明不等式的方法（比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法和數(shù)學(xué)歸納法）、幾個(gè)重要的不等式（基本不等式，二維形式，向量形式和一般形式的柯西不等式，排序不等式）等內(nèi)容.重點(diǎn)考查絕對(duì)值不等式的解法、含絕對(duì)值號(hào)函數(shù)的作圖及函數(shù)圖象間的關(guān)系、解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題以及利用重要不等式對(duì)—些簡(jiǎn)單不等式的證明等;考查利用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題的能力，考試難度適中，本文就《不等式選講》在新課標(biāo)高考中的考點(diǎn)和題目類型以例說(shuō)明.

1含絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)圖象的作法和絕對(duì)值不等式的解法

例1（2016年全國(guó)I卷）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-3|.

（1）畫(huà)出y=f（x）的圖象;

（2）求不等式|f（x）|>1的解集.

解析（1）f（x）={{{

（2）當(dāng)x≤-1時(shí)，|x-41>1，解得x>5或x<3.所以x≤-1.

當(dāng)-11，解得x>1或x<1/3，所以-1

當(dāng)x≥-3時(shí)，14-x|>1，解得x>5或x<3.所以232≤x<3或x>5.

綜上，x<-或15.

所以！f（x）|>1的解集為（-∞，1/3）u（1，3）U（5，+∞）.

方法總結(jié)（1）含絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)圖象的作法是利用絕對(duì)值的幾何意義，將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出在各自定義域的圖象;（2）通常絕對(duì)值不等式的解法有三種：法1：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法2：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想;法3：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.一般方法是脫去絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解.通常要求：掌握不等式|x|0）的解集是{x|-aa（a>0）的解集是{x|x<-a或x>a}，會(huì)求解以下類型的不等式：|ax+bl≤c，lax+bI≥c;掌握零點(diǎn)分段法解形如Ix-al+|x-bl≥c的絕對(duì)值不等式

例2（2018年全國(guó)I卷）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+11+|x-1I.

（1）畫(huà)出y=f（x）的圖象;

（2）當(dāng)x∈[0，+∞）f（x）≤ax+b，求a+b的最小值.

解析（1）f（x）={x+2，-二≤x<1，-3x，x<一，2l3x，x≥1.

y=f（x）的圖象如圖2所示.

（2）由（1）知，y=f（x）的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5.

方法總結(jié)恒成立問(wèn)題的一一個(gè)巧解是數(shù)形結(jié)合，使得代數(shù)問(wèn)題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀.第（2）小題結(jié)合（1）小題中函數(shù)的圖象可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值.

2求參數(shù)的值或范圍

例3（2017年全國(guó)I卷）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集;（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍.

解析（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）等價(jià)于x-x+|x+1I+1x-1|-4≤0.①

當(dāng)x<-1時(shí)，①式化為x2-3x-4≤0，無(wú)解;當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，①式化為xx“-x-2≤0，從而-1≤x≤1;

當(dāng)x>1時(shí)，①式化為x2+x-4≤0，從而1

所以f（x）≥g（x）的解集為{xI-1

（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=2..

所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)f（x）≥2.

又f（x）在[-1，1]的最小值必為f（-1）與f（1）之一，所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1.

所以a的取值范圍為[-1，1].

方法總結(jié)本題考查解含有絕對(duì)值的不等式、已知不等式的解集所包含的區(qū)域求參數(shù)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí).（1）利用零點(diǎn)分段法，把含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式問(wèn)題;（2）不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價(jià)于不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間[-1，1]上恒成立，再利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍，這是恒成立問(wèn)題的常用解法.

例4（2018年全國(guó)I卷）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|ax-1I.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）>1的解集;

（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）>x成立，求a的取值范圍.

解析（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1I-|x-1I.

即f（x）={2x，-1

故不等式f（x）>1的解集為{x|x>;1/2}.

（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，Ix+11-|ax-1I>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈（0，1）時(shí)lax-1I<1成立.

若a<0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)lax-1l≥1;

若a>0，lax-11<1的解集為0

綜k，a的取值范圍為（0，2].

方法總結(jié)（1）含有參數(shù)時(shí)，要針對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論;（2）涉及絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題，常用方法是由絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)：①把不等式恒成立運(yùn)用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;②畫(huà)出函數(shù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題;（3）對(duì)含參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)求最值時(shí)，常用的方法是圖象法和絕對(duì)值不等式性質(zhì)法（運(yùn)用|a+bl≤la|+|b|（a，b∈R）或la-bl≤la-c|+lc-bI（a，b∈R），但要注意取等號(hào)的條件）

5不等式的證明

例5（2016年全國(guó)I卷）已知函數(shù)f（x）=x+一，M為不等式f（x）<2的解集.

（1）求M;

（2）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|<|1+ab|.解析（1）f（x）<2的解集（-1，1）.

（2）由（1）知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，-1

方法總結(jié)不等式證明的常用方法有比較法、綜合法分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法.本題是含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，比較法是典型的證明方法.

例6（2015年全國(guó)I卷）設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

（1）若ab>cd，則Va+b>NC+vd;

（2）√a+/6>NC+va是|a-6|<|c-d|的充要條件.

解析（1）因?yàn)椋╒a+vb）2=a+b+2√ab，（vc+√d）2=c+d+2√cd.

由題設(shè)a+b=c+d，ab>cd得（a+√6）°≥（vc+vd）2.

因此a+vb>（c+vd.

（2）（i）若|a-b|<|c-d|，則（a-b）2<（c-d）2.即（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd.

因?yàn)閍+b=c+d，所以ab>cd.

由（1）得√a+～b>Nc+√d.

（ii）若Va+vb>Nc+rd，則（√a+v6）2>（Nc+Nd）2.即a+b+2√/ab>c+d+2√cd.

因?yàn)閍+h=c+d，所以ab>cd.于是（a-b）2=（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd=（c-d）2.

因此|a-b|<|c-d|.

綜上，va+v6>NC+va是|a-b|<|e-d|的充要條件.

方法總結(jié)通常無(wú)理不等式或分式不等式的證明要用分析法，即從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)成立的事實(shí)（定義、公理定理、性質(zhì)或已證明的命題）從而得出要證的命題成立.這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法，它更符合人們的思維規(guī)律，思路自然，利于思考.

例7（2014年I卷）若a>0，b>0，且一;b=√ab.

（1）求a3+b3的最小值;

（2）是否存在a，b使得2a+3b=6？并說(shuō)明理由.

2 解析由√ab=→+1b～√at≥得ab≥2，且當(dāng)a=b=v2時(shí)等號(hào)成立.

故a+b°≥2√aB≥4、2，且當(dāng)a=b=/2時(shí)等號(hào)成立.所以a3+b3的最小值為4、2.

（2）由（1）知，2a+3b≥2v6√ab≥4/3.

由于4、3>6，從而不存在a，b，使得2a+3b=6.

方法總結(jié)用基本不等式求出ab的最小值是本題解決的關(guān)鍵.

總之，新課程高考中不等式選講考查的是絕對(duì)值不等式的各種解法和簡(jiǎn)單不等式的證明，解決的方法是緊扣絕對(duì)值的意義和不等式常用的證明方法。