胡曉琳，張 婷

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海201620）

近年來，壓電傳感器和致動(dòng)器結(jié)合的智能懸臂梁系統(tǒng)引起了許多研究者的關(guān)注[1]，同時(shí)基于智能系統(tǒng)振動(dòng)控制的控制器設(shè)計(jì)也引起了學(xué)者們廣泛的關(guān)注[2]；特別地出現(xiàn)了大量關(guān)于應(yīng)用壓電材料抑制智能懸臂梁系統(tǒng)振動(dòng)的控制器設(shè)計(jì)[3–4]。Zhu 等[5]提出了采用自適應(yīng)前饋控制方法對(duì)壓電智能懸臂梁進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制；Zhang等[6]將自適應(yīng)極點(diǎn)配置控制理論應(yīng)用到在熱環(huán)境下的智能懸臂梁的振動(dòng)控制中。但將傳感與致動(dòng)一體化的壓電材料應(yīng)用于懸臂梁系統(tǒng)的研究不多。而且，目前許多研究人員致力于通過各種控制方法控制智能懸臂梁的振動(dòng)，Koofigar等[7]提出了采用自適應(yīng)控制方法對(duì)模型不確定性和環(huán)境擾動(dòng)的智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)抑制；Zhang等[8]實(shí)現(xiàn)了時(shí)滯智能梁遲滯模型的構(gòu)建，并且采用自適應(yīng)振動(dòng)抑制方法實(shí)現(xiàn)了其在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用；但應(yīng)用壓電雙晶片進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)振動(dòng)控制的設(shè)計(jì)并不多見。

鑒于目前研究現(xiàn)狀，本文通過假設(shè)模態(tài)法和哈密頓原理建立了智能懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型[9]；再基于智能懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型，采用自校正PID控制[10–12]和普通PID 控制，實(shí)現(xiàn)智能懸臂梁的自由振動(dòng)控制的理論仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。因此，為使智能懸臂梁自由振動(dòng)得到有效控制，本文基于壓電雙晶片的致動(dòng)與傳感一體化特性，通過采用自校正PID 控制方法與基于Neigler-Nicholes參數(shù)整定法的普通PID控制方法，得到智能懸臂梁主動(dòng)控制的數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再對(duì)此2種控制方法的控制結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出了自校正PID控制的效果更為顯著和更為有效的結(jié)論。

1 智能懸臂梁系統(tǒng)

1.1 壓電雙晶片

如圖1 所示為壓電雙晶片實(shí)物圖，壓電雙晶片的構(gòu)造層為三層，其中，中間層為電極片，上下層均為壓電晶片，電極片和壓電晶片之間通過膠粘方式聯(lián)接[13]。

圖1 壓電雙晶片實(shí)物圖

如圖2 所示為壓電雙晶片結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，左側(cè)為固定端，右側(cè)為自由端，當(dāng)上層為驅(qū)動(dòng)層，下層為傳感層時(shí)，對(duì)驅(qū)動(dòng)層施加一電壓，它的自由端可彎曲產(chǎn)生位移，位移的幅度和方向與施加的壓電具有函數(shù)關(guān)系；此時(shí)下層會(huì)因?yàn)樯蠈拥尿?qū)動(dòng)力而發(fā)生縱向變形，即傳感層會(huì)輸出傳感電壓。

圖2 壓電雙晶片簡(jiǎn)圖

壓電雙晶片相對(duì)于其他壓電材料的優(yōu)勢(shì)在于它輸出位移大，反應(yīng)速度快，適合慣性沖擊精密驅(qū)動(dòng)場(chǎng)合；并且將傳感與致動(dòng)兩個(gè)功能結(jié)合在一起，從而減少了元件的數(shù)量。

1.2 智能懸臂梁結(jié)構(gòu)

根據(jù)前人[14]的研究，對(duì)于1 階模態(tài)振動(dòng)，當(dāng)壓電片的位置越靠近固定端，振動(dòng)衰減速度越快；對(duì)于2階模態(tài)振動(dòng)，當(dāng)壓電雙晶片處于距懸臂梁中部某一位置時(shí)，具有較好的綜合控制性能，若同時(shí)考慮1、2階模態(tài)的控制時(shí)，壓電片位于懸臂梁固定端或中部某一位置時(shí)，具有相近且較好的控制性能，通過實(shí)驗(yàn)亦可驗(yàn)證：當(dāng)壓電片處于智能懸臂梁中間偏左處時(shí)控制效果更好。如圖3 所示為智能懸臂梁結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)智能懸臂梁右側(cè)的自由端受到外部擾動(dòng)時(shí)，利用壓電雙晶片的驅(qū)動(dòng)特性控制懸臂梁自由振動(dòng)，同時(shí)利用壓電雙晶片的傳感特性獲取相應(yīng)位置的輸出位移，從而實(shí)現(xiàn)智能懸臂梁振動(dòng)控制閉環(huán)回路。

圖3 智能懸臂梁

2 智能系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型

2.1 智能懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型

本文所研究的對(duì)象為理想的均勻懸臂梁，沿梁長(zhǎng)度x方向變化的抗彎剛度為EI(x) ，梁的質(zhì)量密度為ρ,單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m(x) ，作用在梁上的橫向荷載為P(x,t)，梁的橫向位移（撓度）w(x,t)為隨坐標(biāo)x和時(shí)間t連續(xù)變換的函數(shù)。

本智能懸臂梁系統(tǒng)的方程[15]如下

式中：CP為壓電片電容，單位法拉；

EP為壓電傳感器的彈性模量；

b為懸臂梁的寬度；

tb為懸臂梁的厚度；

e31為壓電系數(shù)；

w為柔性臂的撓度（臂的橫向位移）。

但是此系統(tǒng)致動(dòng)方程為1 階偏微分形式，被控制量w（撓度）既是時(shí)間的函數(shù)，同時(shí)又是空間的函數(shù)，對(duì)此，采用正交模態(tài)變換，將偏微分方程形式轉(zhuǎn)換成一組2階微分方程形式，從而便于設(shè)計(jì)控制器。

對(duì)于單自由度智能懸臂梁系統(tǒng)而言

式中：w(x,t)是體系的幾何位移坐標(biāo)；

?(x)是第n階振型的振型函數(shù)；

q(x)是第n階振型的廣義坐標(biāo)，也稱振型坐標(biāo)。

傳感方程的模態(tài)變換如下，將式（2）代入壓電傳感方程式可得

致動(dòng)方程的模態(tài)變換如下，當(dāng)取?(x)為正則振型，Mi=1，所以，梁的振動(dòng)微分方程為

本小節(jié)對(duì)粘貼有壓電雙晶片的智能懸臂梁建模問題進(jìn)行了研究，采用模態(tài)分析方法，利用模態(tài)振型正交性，將系統(tǒng)的偏微分方程形式轉(zhuǎn)換為一組2 階微分方程形式。動(dòng)力學(xué)模型是控制系統(tǒng)的對(duì)象，所建模型為之后的控制器的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

2.2 智能懸臂梁的狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間描述，是現(xiàn)代控制理論的基本出發(fā)點(diǎn)。將式（4）描述的壓電雙晶片智能懸臂梁用矩陣的形式表示為

式中：ψ11=?'1(x2)-?'1(x1)

取此系統(tǒng)狀態(tài)為

輸入為

則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的描述為

即

取60

3 控制器的設(shè)計(jì)

3.1 自校正PID控制器設(shè)計(jì)

3.1.1 系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

最小二乘法由于具有原理簡(jiǎn)明、收斂較快、易于理解、易于編程實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，在系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)中應(yīng)用廣泛。本文采用遞推最小二乘法[16]解決對(duì)象參數(shù)在線實(shí)時(shí)估計(jì)的問題。

已知：na、nb和d。

(2)采樣當(dāng)前輸出y(k)和輸入u(k)；

(4)k →k+1，返回第2步，繼續(xù)循環(huán)。

由遞推最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)，獲取自校正PID控制器所需的參數(shù)a和b。

3.1.2 自校正PID控制器設(shè)計(jì)

本文采用自校正PID控制抑制智能懸臂梁的自由振動(dòng)。其主要思想是尋求一個(gè)反饋控制率，使得閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于期望的位置上。圖4所示為間接自校正PID 控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，通過在線實(shí)時(shí)辨識(shí)得到系統(tǒng)參數(shù)，再根據(jù)自校正PID 控制的參數(shù)變化來實(shí)現(xiàn)期望的輸出，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度和控制精度。

以下為自校正PID控制器[16]的設(shè)計(jì)過程。

設(shè)被控對(duì)象為

式中：u(k)和y(k)表示系統(tǒng)的輸入和輸出，e(k)為外部擾動(dòng)，d?1為純延時(shí)，且

對(duì)式(13)所示系統(tǒng)采用PID控制，為消除常值干擾，控制器必須有積分作用，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的PID 控制器可表示為

式中

且

圖4 間接自校正PID控制

將式（14）代入式（13）得閉環(huán)系統(tǒng)輸出為

令閉環(huán)特征多項(xiàng)式為期望傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式，即

式中：對(duì)于Am的選擇仍需滿足極點(diǎn)配置控制（PPC）中相應(yīng)的相容性條件。

結(jié)合式（15），上式又可表示成

為保證式（18）有唯一解，令ΔAF和z-dBG的階次相同（已知degΔA=3、degG=2），且等式右邊階次小于左邊階次，即各多項(xiàng)式的階次需滿足下列關(guān)系：

則Diophantine 方程式（18）中多項(xiàng)式F、G 可用MATLAB函數(shù)diophantine.m進(jìn)行求解。

3.2 普通PID控制器設(shè)計(jì)

為了與自校正PID 控制效果對(duì)比，本文還采用了Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法[17]確定比例增益KP、積分時(shí)間TI、微分時(shí)間TD這3 個(gè)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)普通PID控制器的設(shè)計(jì)。

通過實(shí)驗(yàn)方法，根據(jù)階躍響應(yīng)信號(hào)可近似確定參數(shù)K(靜態(tài)放大系數(shù))、L(容量滯后時(shí)間)和T(時(shí)間常數(shù))，然后再根據(jù)表1 確定普通PID 控制器的有關(guān)參數(shù)。

表1 齊格勒-尼柯爾斯調(diào)整法則

4 仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真驗(yàn)證

基于自校正PID 控制和普通PID 控制理論，本文應(yīng)用MATLAB/SIMULINK 對(duì)智能懸臂梁實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制的理論仿真與分析。

圖5所示為普通PID控制框圖：基于智能懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用Ziegler-Nichols 參數(shù)整定方法，得出了普通PID 控制器參數(shù)，其中包含比例增益KP=20.00，積分時(shí)間TI=2×10-6，微分時(shí)間TD=5×10-7。

圖5 普通PID控制之SIMULINK控制模塊圖

圖6為自校正PID控制框圖：針對(duì)智能懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用MATLAB/simulink 的function 模塊編程功能，采用自校正PID控制方法，實(shí)現(xiàn)智能懸臂梁的振動(dòng)控制研究。

圖6 自校正PID控制之SIMULINK控制模塊圖

圖7（a）為仿真中普通PID控制下的控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，圖7（b）為該控制下系統(tǒng)的輸出位移與未控制下的自由振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的結(jié)果對(duì)比圖。由圖可知，其仿真中控制效果并不明顯。

圖8（a）為仿真中自校正PID控制下的控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，圖8（b）為該控制下系統(tǒng)的輸出位移與未控制下的自由振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的結(jié)果對(duì)比圖。仿真中的控制效果較明顯，與普通PID控制的仿真結(jié)果相比，自校正PID 控制能夠更明顯且更有效地控制智能懸臂梁。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

合編程軟件環(huán)境下的自校正PID 控制器或普通PID控制器進(jìn)行處理，把得到的0～10 V 控制電壓傳輸?shù)綌?shù)據(jù)采集卡，之后通過HPV系列壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源放大15倍后產(chǎn)生相應(yīng)的抑制力，加載到壓電雙晶片，實(shí)現(xiàn)對(duì)懸臂梁的振動(dòng)抑制。

首先，為了減少實(shí)驗(yàn)誤差，在進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)之前，對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備進(jìn)行檢查和調(diào)試，即檢查設(shè)備是否可以正常運(yùn)行，調(diào)試各個(gè)設(shè)備輸出與輸入的情況，觀察是否可達(dá)到實(shí)驗(yàn)所要求的標(biāo)準(zhǔn)。其次，運(yùn)行由labVIEW和MATLAB混合編程軟件；然后給智能懸臂梁施加一組干擾并觀察其相關(guān)曲線的運(yùn)行軌跡；最后收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，得出結(jié)論。

圖10（a）為實(shí)驗(yàn)中普通PID 控制下的控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，圖10（b）為該控制下系統(tǒng)的輸出電壓與控制前自由振動(dòng)的輸出電壓的結(jié)果對(duì)比圖，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其控制效果并不明顯；圖11（a）為實(shí)驗(yàn)中自校正PID控制下的控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，圖11（b）為該控制下系統(tǒng)的輸出電壓與控制前的自由振動(dòng)的輸出電壓的對(duì)比圖，結(jié)果表明，在系統(tǒng)運(yùn)行初期，系統(tǒng)需要一定時(shí)間進(jìn)行估計(jì)參數(shù)，故存在較大幅度的振蕩；一段時(shí)間之后，該系統(tǒng)具有較好的控制效果，在0.8 s 后，輸出電壓的幅值均減小到較小值，與無控制的自由振動(dòng)相比，實(shí)驗(yàn)中的控制效果較明顯，由此可知自校正PID 控制方法具有較好的輸入跟蹤能力和自適應(yīng)能力，與普通PID 控制相比，自校正PID控制在抑制自由振動(dòng)方面更為有效。

圖9 所示為智能懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，由HPV 系列壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源、MCC-USB 1808X 以及裝有l(wèi)abVIEW 和MATLAB 的電腦組成。利用labVIEW、MATLAB 混合編程技術(shù)，采用MATLAB語言編寫相應(yīng)的控制程序，構(gòu)成實(shí)驗(yàn)軟件系統(tǒng)。labVIEW所搭配的控制器用于實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)信號(hào)的分析和處理。HPV系列壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源是一種為壓電陶瓷致動(dòng)器設(shè)計(jì)開發(fā)的高品質(zhì)驅(qū)動(dòng)電源，能夠?yàn)閴弘娞沾商峁└叻€(wěn)定性、高分辨率的電壓，并且有優(yōu)良的頻率響應(yīng)和極低的靜態(tài)紋波。信號(hào)的傳輸與轉(zhuǎn)換采用數(shù)據(jù)采集卡，MCC-USB 1808X數(shù)據(jù)采集器提供18位高分辨率同步模擬輸入通道，同時(shí)具有數(shù)字I/O和計(jì)數(shù)器功能，其體積小，縮減了實(shí)物實(shí)驗(yàn)空間；本身便捷的USB 連接方式，使操作便捷且高速，削減了成本，縮短了時(shí)間，提高了實(shí)驗(yàn)效率；同時(shí)自身的高速傳輸與轉(zhuǎn)換速度較快的特性保證了振動(dòng)信號(hào)處理的及時(shí)性。

當(dāng)懸臂梁的自由端受到干擾后，壓電雙晶片采集應(yīng)變，傳感信號(hào)經(jīng)MCC-USB 1808X 數(shù)據(jù)采集卡轉(zhuǎn)換處理后，傳至電腦，由labVIEW 和MATLAB 混

圖7 普通PID控制之控制電壓和控制后與控制前輸出位移對(duì)比（仿真）

圖8 自校正PID控制之控制電壓和控制后與控制前輸出位移對(duì)比（仿真）

圖9 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

5 結(jié)語

本文通過應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法和Hamilton原理構(gòu)建智能懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型；再基于智能懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型，采用自校正PID控制和普通PID控制，實(shí)現(xiàn)了智能懸臂梁的自由振動(dòng)控制理論仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。然后通過SIMULINK 和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，分別得到了采用壓電雙晶片的智能懸臂梁主動(dòng)控制的數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再對(duì)此兩種控制方法的控制結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出了自校正PID 控制的效果更為顯著的結(jié)論。這為基于自校正PID 的控制方法，采用壓電雙晶片對(duì)智能結(jié)構(gòu)吸振減振提供了理論與實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)。

圖10 普通PID控制之控制電壓和控制后與控制前輸出位移對(duì)比（實(shí)驗(yàn)）

圖11 自校正PID控制之控制電壓和控制后與控制前輸出位移對(duì)比（實(shí)驗(yàn)）