林 凡，陳穎頻，2，陳育群，喻 飛

(1.閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建漳州 363000；2.電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川成都 610054)

由于成像系統(tǒng)、環(huán)境條件、記錄設(shè)備、人為因素等方面的影響，數(shù)字圖像往往會(huì)出現(xiàn)一定程度的降質(zhì)現(xiàn)象，如圖像模糊、圖像噪聲、部分圖像信息丟失等。合理地利用降質(zhì)圖像及某些先驗(yàn)信息，設(shè)計(jì)圖像優(yōu)化模型并提出高效的求解算法，恢復(fù)和重建出清晰的圖像，對(duì)后期的圖像處理和機(jī)器視覺的研究有著重要的意義。

基于正則化的圖像復(fù)原模型是行之有效的方法，1992年Rudin、Osher和Fatemi開創(chuàng)性地提出全變分(Total Variation，TV)正則化方法，該方法也被稱為ROF模型[1]，它能較好地保持圖像邊緣特征，在圖像去噪領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。全變分模型分為各向異性全變分(Anisotropic Total Variation，ATV)模型和各向同性全變分(Isotropic Total Variation，ITV)模型[2]。在一階TV模型中，圖像是分片光滑的，在保持圖像邊緣方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，但容易產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。同時(shí)，由于全變分泛函的不可微性，使得求解較為困難。此后，基于TV模型，一些延伸模型及其算法相繼被提出[3-7]，被廣泛地應(yīng)用到圖像去噪[8]、圖像重建[9]和圖像解模糊[10]等方面，很多圖像解模糊方法通常也能起到抑制噪聲的作用。例如，總廣義全變分(Total Generalized Variation，TGV)模型[11]、分?jǐn)?shù)階全變分(Fractional order TV，F(xiàn)TV)模型[12]、非局部全變分(Nonlocal Total Variation，NLTV)模型[13]等。2011年，Sakurai等人提出四方向全變分(Four directional Total Variation，4-TV)模型[14]，將傳統(tǒng)變分方法中僅考慮垂直和水平方向梯度信息擴(kuò)展到四個(gè)方向上，以期改善去噪性能，但他們沒有給出完整的數(shù)學(xué)證明。Wu等人將四方向全變分正則項(xiàng)進(jìn)一步推廣為四方向分?jǐn)?shù)階全變分稀疏正則項(xiàng)[15]。

為求解全變分模型，Chambolle提出了一種基于梯度的全局收斂一階對(duì)偶算法[7]，Beck和Teboulle將投影梯度法(Gradient Projection，GP)應(yīng)用到TV模型的約束性去噪問(wèn)題中[16]。然而，值得指出的是，GP算法的效率取決于更新率。當(dāng)更新率過(guò)大時(shí)，梯度投影法不收斂；當(dāng)更新率過(guò)小時(shí)，運(yùn)算效率較低。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文在圖像解模糊和去噪過(guò)程中，將挖掘圖像梯度的鄰域結(jié)構(gòu)相似性，對(duì)四方向全變分(Quaternion Total Variation，QTV)模型進(jìn)行改進(jìn)和完善，使用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)進(jìn)行求解。同時(shí)，在假設(shè)圖像滿足周期邊界條件的前提下，引入快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)，將時(shí)域圖像差分操作變換到頻域中實(shí)現(xiàn)，有效避免大型矩陣相乘運(yùn)算，從而降低計(jì)算時(shí)間，并提高計(jì)算準(zhǔn)確度。

1 圖像解模糊模型

1.1 傳統(tǒng)的全變分模型

在圖像解模糊中，考慮如下圖像降質(zhì)模型：

G=H*F+N.

(1)

其中，G∈N×N表示觀測(cè)到的含噪聲的模糊圖像；F∈N×N表示由模型恢復(fù)出的圖像；H∈N×N表示模糊核函數(shù)，符號(hào)*表示卷積算子。N∈N×N表示方差為σ2的加性高斯噪聲。全變分正則化ROF模型表示為：

(2)

ATV模型中，R(F)定義如下：

RATV(F)=‖Kh*F‖1+‖Kv*F‖1.

(3)

ITV模型中，R(F)定義如下[2]：

(4)

其中，Kh=[-1,1],Kv=[-1,1]T分別表示橫向和縱向差分卷積算子；‖·‖1表示歐式L1范數(shù)；‖·‖2表示歐式L2范數(shù)。

1.2 四方向全變分模型

從式(3)(4)可以看出，傳統(tǒng)的全變分模型僅考慮橫向和縱向這兩方向的梯度信息。一個(gè)像素點(diǎn)被噪聲污染的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于周圍四個(gè)點(diǎn)同時(shí)都被噪聲污染的概率，為了獲得更好的圖像重構(gòu)效果，四方向全變分模型考慮更充分的鄰域梯度信息，將對(duì)角線方向(45°方向和135°方向)的圖像梯度作為正則約束條件[14,17]，從而提高圖像復(fù)原的質(zhì)量。圖1為兩方向全變分和四方向全變分梯度信息選取示意圖[3]。

圖1 四方向全變分正則項(xiàng)示意圖

四方向全變分模型正則項(xiàng)定義為：

RQTV(F)=‖Kh*F‖1+‖Kv*F‖1+‖K45°*F‖1+‖K135°*F‖1.

(5)

為了方便討論，這里令K1=Kh，K2=Kv，K3=K45°，K4=K135°，四方向全變分正則化解模糊去噪模型簡(jiǎn)化為：

(6)

2 求解方法

令Xi=Ki*F(i=1,2,3,4)，利用增廣Lagrangian方法(Augmented Lagrangian Multiplier method，ALM)解決形如式(6)的約束優(yōu)化問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)換成無(wú)約束問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)可寫作[18]：

(7)

(8)

其中，變量相互獨(dú)立，對(duì)于每個(gè)變量可轉(zhuǎn)化為子問(wèn)題進(jìn)行單獨(dú)求解，于是得到如下的迭代格式，k為迭代次數(shù)：

(9)

2.1 F子問(wèn)題求解

對(duì)于F子問(wèn)題，為了有效避免大矩陣相乘運(yùn)算所帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜性，引入快速二維傅里葉變換將時(shí)域圖像差分操作變換到頻域。F子問(wèn)題的頻域表達(dá)式為：

(10)

(11)

利用二維傅里葉反變換得到F子問(wèn)題的最優(yōu)解，整理得：

(12)

2.2 Xi(i=1,2,3,4)子問(wèn)題求解

Xi(i=1,2,3,4)子問(wèn)題：

(13)

可以采用軟閾值化算子(soft threshold operator)進(jìn)行收縮，得到：

(14)

(15)

將整個(gè)算法總結(jié)于算法1，并命名為QTV-FFT。

算法1：QTV-FFT圖像解模糊偽代碼

輸入：G

輸出：F

while‖F(xiàn)k+1-Fk‖2/‖F(xiàn)k‖2>toldo

k←k+1；

end while

ReturnF

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

選取不同風(fēng)格的圖像組作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，以考量本文提出的模型，測(cè)試圖像如圖1所示，圖像大小為256×256像素。為了驗(yàn)證本文提出的模型的合理性和有效性，針對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象加入高斯模糊(Gaussian blur)或高斯隨機(jī)白噪聲(White Gaussian Random Noise)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。硬件環(huán)境：處理器為Inter?CoreTMi7-6700CPU@3.4 GHz，內(nèi)存16.0 GB。仿真平臺(tái)：Matlab R2014a。對(duì)比參數(shù)主要采用圖像處理領(lǐng)域常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)：峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性信息(Structural Similarity，SSIM)[20]。PSNR和SSIM的定義如下：

(16)

(17)

實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比各向異性全變分ATV模型、各向同性全變分ITV模型、分?jǐn)?shù)階全變分FTV模型和本文所提頻域四方向全變分QTV-FFT模型的圖像恢復(fù)結(jié)果，為了保證評(píng)價(jià)的客觀性和公平性，上述算法的迭代條件均當(dāng)滿足式(18)時(shí)迭代終止。同時(shí)，調(diào)節(jié)各種算法的正則參數(shù)，以達(dá)到各自的最佳效果，保證測(cè)試的公平性。

(18)

3.2 幾種算法解模糊去噪效果的測(cè)試與比較

以圖2圖像組為測(cè)試對(duì)象，測(cè)試中使用的模糊核均由Matlab的內(nèi)置函數(shù)生成，為fspecial(’gaussian’,[33],3)生成的窗口大小為3×3、標(biāo)準(zhǔn)差為3的高斯模糊核；噪聲為加性高斯隨機(jī)白噪聲，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為10、20、30、40。對(duì)不同圖像的測(cè)試結(jié)果如表1所示，將最優(yōu)指標(biāo)用黑色粗體標(biāo)出。

圖2 測(cè)試圖像組

圖像標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)TVITVFTVQTV-FFTPSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIMLena1028.1670.82228.4620.82728.3350.82428.6360.8322026.4060.73926.7910.76426.5980.76126.8800.7693025.5630.72025.7390.72125.5420.70825.9280.7324024.6210.68024.7830.68624.6500.68324.9510.691Butterfly1026.4290.78126.6700.79126.5440.78426.8150.7872025.0280.70625.2430.71825.0600.70925.4190.7283024.0220.65024.1000.65324.1750.65924.3410.6714023.2760.60523.3750.61123.2560.60323.5570.625Plane1032.1560.87432.5530.88632.3120.87432.7420.8962030.1550.81630.6610.83330.4850.83930.6980.8283029.2720.81529.5260.81129.3720.81529.6450.8154028.4610.79328.8010.80228.6260.78728.8280.804Sailingboat1026.7990.82626.7810.82726.7260.82327.0280.8272025.2890.75625.2620.76225.2200.76325.3690.7643024.2830.72824.3090.72424.3000.72624.3920.7294023.7010.69823.7210.69923.7000.70223.7990.707Seabird1029.3800.85329.4810.85229.4330.85429.6880.8622027.5960.78927.8170.80027.6480.79027.9490.8033026.4590.76326.6450.76926.4710.74626.7280.7814025.4680.72925.5100.73325.4710.73225.6290.734House1026.2950.73026.2820.72926.3120.73026.5210.7322025.0480.64725.0670.66225.0350.66325.1730.6653024.1310.61524.1730.61324.1440.61424.2640.6194023.4880.58423.4820.58423.4780.58723.5890.585

從表1可以看出，在對(duì)不同圖像加入不同程度的模糊和噪聲后，本文提出的模型對(duì)圖像重建時(shí)的PSNR值均高于其它幾種方法，SSIM值也基本高于其它幾種方法。這表明該模型具有較好的解模糊和去噪效果，同時(shí)恢復(fù)出的圖像與原始圖像更為接近。為了進(jìn)一步觀察測(cè)試結(jié)果，下面給出幾組測(cè)試結(jié)果對(duì)比圖。

圖3 幾種算法恢復(fù)圖像對(duì)比圖

圖4 幾種算法恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)對(duì)比圖

圖3是對(duì)Sailingboat圖像加入窗口大小為3×3、標(biāo)準(zhǔn)差為3的高斯模糊核和σ=30的高斯噪聲后幾種算法恢復(fù)的圖像對(duì)比圖；圖4是對(duì)Butterfly圖像加入窗口大小為5×5、標(biāo)準(zhǔn)差為5的高斯模糊核和σ=30的高斯噪聲后幾種算法恢復(fù)的圖像細(xì)節(jié)放大對(duì)比圖。從恢復(fù)圖像的視覺效果來(lái)看，本文方法在保護(hù)圖像輪廓邊緣的同時(shí)，較好地處理了圖像平滑區(qū)域灰度值相近的像素點(diǎn)的重建，避免了階梯效應(yīng)，去噪整體性能良好。

以Plane圖像為測(cè)試對(duì)象，測(cè)試中使用的模糊核分別為窗口大小為3×3、5×5、7×7、9×9，標(biāo)準(zhǔn)差為5的高斯模糊核，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=50。采用本文方法復(fù)原圖像如圖5所示。圖6是對(duì)House、Butterfly、Lena、Seabird圖像使用的模糊核窗口大小為5×5、標(biāo)準(zhǔn)差為5的高斯模糊核并加入不同標(biāo)準(zhǔn)差的高斯噪聲后，分別用ATV模型和QTV-FFT模型恢復(fù)圖像的對(duì)比圖。從圖5、圖6恢復(fù)圖像的視覺效果來(lái)看，本文方法在不同模糊核和不同噪聲濃度的情況下復(fù)原圖像均有不俗的表現(xiàn)。在高污染噪聲的情況下，本文方法恢復(fù)的圖像依然具有良好的視覺效果。

圖5 不同模糊核下QTV恢復(fù)圖像效果圖

圖6 不同噪聲下ATV和QTV-FFT恢復(fù)圖像對(duì)比圖

3.3 幾種算法圖像恢復(fù)時(shí)間測(cè)試與比較

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)所提模型的時(shí)效性，在保證測(cè)試公平性的前提下，本節(jié)對(duì)比了ATV、FTV、QTV-GP、QTV-FFT模型對(duì)圖像重建時(shí)的平均耗時(shí)(Mean Time)。其中，把時(shí)域中利用投影梯度法算法(Gradient Projection，GP)求解四方向全變分的模型記為QTV-GP模型，本文提出的頻域四方向全變分ADMM算法記為QTV-FFT模型。測(cè)試中，向圖1測(cè)試圖像組加入窗口大小為3×3、標(biāo)準(zhǔn)差為3的高斯模糊核和σ分別為10、20、30、40的高斯噪聲。測(cè)試結(jié)果如表2所示。

表2 幾種算法對(duì)不同圖像解模糊去噪的平均耗時(shí)(s)

分析表2數(shù)據(jù)可以看出，四方向全變分模型考慮更充分的鄰域梯度信息，增加了對(duì)角線方向的圖像梯度作為正則約束條件，增大了計(jì)算量，因此QTV-GP模型對(duì)圖像重建的耗時(shí)較長(zhǎng)，均高于ATV和FTV模型的耗時(shí)。而本文提出的QTV-FFT模型，引入快速傅立葉變換，將時(shí)域圖像差分操作變換到頻域，有效避免大矩陣相乘運(yùn)算，不僅降低了計(jì)算時(shí)間，還提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度。

4 結(jié)論

本文從四方向全變分正則項(xiàng)出發(fā)，結(jié)合全變分圖像解模糊去噪方法，基于ADMM算法和快速傅立葉變換提出一種改進(jìn)的廣義全變分圖像復(fù)原方法。充分挖掘了圖像梯度的各方向信息，通過(guò)設(shè)定合理的閾值，有效去除圖像模糊和噪聲，減弱階梯效應(yīng)，較好地保留圖像的邊緣信息。同時(shí)將時(shí)域圖像差分操作變換到頻域，有效避免大矩陣相乘運(yùn)算，提高算法效率。為驗(yàn)證算法的合理性和有效性，將提出方法與幾種經(jīng)典算法進(jìn)行比較。測(cè)試結(jié)果表明，本文方法圖像恢復(fù)效果優(yōu)于其它幾種算法，對(duì)圖像重構(gòu)整體性能良好。