武周虎

（青島理工大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033）

1 研究背景

市政、工業(yè)和其它來(lái)源的污/廢水經(jīng)處理后，通過(guò)岸邊排放口泄入河流。在河流中經(jīng)初始稀釋階段之后，污染物在垂向上可以達(dá)到均勻混合，再進(jìn)入污染帶擴(kuò)展階段。因此除近區(qū)以外，可以作為二維移流擴(kuò)散問(wèn)題處理［1-3］。通常應(yīng)用物理模型或數(shù)學(xué)模型來(lái)研究污染帶的橫向擴(kuò)展以及對(duì)于環(huán)境的影響，而橫向擴(kuò)散系數(shù)（又稱橫向混合系數(shù)）是模型的重要參數(shù)和解決問(wèn)題的關(guān)鍵之一［4-5］。在環(huán)境水力學(xué)中，常常是按照污染物濃度橫向分布服從正態(tài)分布規(guī)律，結(jié)合室內(nèi)或現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)資料采用濃度矩法、直線圖解法、線性回歸法和模型演算法等方法［6-10］，或者采用基于剪切流分散理論的橫向速度與深度平均值的偏差流速［11-13］，來(lái)確定矩形斷面明渠和天然河流橫向擴(kuò)散系數(shù)，其分析結(jié)果是將橫向擴(kuò)散系數(shù)處理成常數(shù)，即橫向擴(kuò)散系數(shù)在整個(gè)斷面上采用常數(shù)。長(zhǎng)期的研究大多致力于尋求橫向擴(kuò)散系數(shù)與河段（或斷面）平均水力學(xué)參數(shù)之間的半理論半經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式［14-20］。在實(shí)踐中，通常采用常數(shù)橫向擴(kuò)散系數(shù)來(lái)進(jìn)行河流水環(huán)境影響預(yù)測(cè)和計(jì)算河流排污混合區(qū)［21-24］。

趙振祥等［25］通過(guò)采用斷面平均方法，對(duì)具有相同橫斷面面積、水面寬度、平均水深和平均流速的矩形與梯形斷面的擴(kuò)散濃度分布比較發(fā)現(xiàn)，梯形斷面岸邊斜坡上的濃度明顯高于矩形斷面岸邊區(qū)域的濃度。Fischer H B等人［1］根據(jù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)給出橫向擴(kuò)散系數(shù)Ey∝h（其中h是平均水深），即水深淺的地方橫向擴(kuò)散系數(shù)小，據(jù)此趙振祥等［25］提出橫向擴(kuò)散系數(shù)在整個(gè)斷面上是變化的概念。并對(duì)萊茵河某河段的橫向擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，得出全斷面上無(wú)量綱橫向擴(kuò)散系數(shù)為αy=0.20，岸邊污染帶（y=60 m）內(nèi)的無(wú)量綱橫向擴(kuò)散系數(shù)為αy1=0.14，相對(duì)誤差為30%。在大江大河中岸邊排放的污染帶通常位于具有斜坡的岸邊，斜坡上的橫向擴(kuò)散系數(shù)與整個(gè)斷面上的平均橫向擴(kuò)散系數(shù)是不一樣的。因此，采用整個(gè)斷面上的平均物理量去反映河流岸邊的局部地形特征，取橫向擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)是不妥的。

由于在以往的河流橫向擴(kuò)散系數(shù)確定中，常常是根據(jù)污染物濃度的橫向分布監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行，忽視了對(duì)于河流移流擴(kuò)散污染物二維濃度分布特征的監(jiān)測(cè)分析，導(dǎo)致河流橫向擴(kuò)散系數(shù)在整個(gè)斷面上的變化特征未得到應(yīng)有的重視。直到武周虎等［26］和Wu等［27］基于河流平均流速和常數(shù)橫向擴(kuò)散系數(shù)，在順直河流岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源條件下推導(dǎo)出二維移流擴(kuò)散污染混合區(qū)邊界歸一化（等濃度）曲線方程才發(fā)現(xiàn)，據(jù)此得到的污染混合區(qū)形狀特征，如最大寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)與最大長(zhǎng)度之比等于1/e（數(shù)學(xué)常數(shù)e=2.7183），不能解釋黃真理等［28］在長(zhǎng)江三峽建水庫(kù)前庫(kù)區(qū)水環(huán)境現(xiàn)狀及水文水質(zhì)污染負(fù)荷同步觀測(cè)中得到的黃沙溪排污混合區(qū)形狀。事實(shí)上，污染混合區(qū)邊界曲線能很好地反映污染物的二維濃度分布特征，河流橫向擴(kuò)散系數(shù)在整個(gè)斷面上的變化，會(huì)直接影響污染混合區(qū)邊界曲線的形狀特征［29-31］。

Wu等［29-30］分析了河流大渦紊動(dòng)對(duì)“污染云”擴(kuò)散的主導(dǎo)作用，參照有風(fēng)時(shí)大氣擴(kuò)散參數(shù)的指數(shù)形式，假定河流變橫向擴(kuò)散系數(shù)Ey(x)=γxα，式中:γ，α為正常數(shù)。在順直河流岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，求解了二維移流擴(kuò)散方程濃度分布的解析解，推導(dǎo)出污染混合區(qū)邊界曲線方程，給出最大寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)與最大長(zhǎng)度之比等于exp［-1（/1+α）］。雖然現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)的污染混合區(qū)最大寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)位置，可以通過(guò)擬合變橫向擴(kuò)散系數(shù)中的正常數(shù)指數(shù)α得到滿足，但是污染混合區(qū)形狀曲線的吻合程度還是相差較大［28］；Wu等［31］又分析了河流從岸邊到中間的流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的變化特征，參照下層大氣水平流速和垂向擴(kuò)散系數(shù)隨高度按指數(shù)律變化的經(jīng)驗(yàn)公式，假定河流深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的橫向分布服從u=u1(y/y1)m，Ey=Ey1(y/y1)n，式中:u1和Ey1分別代表離岸橫向坐標(biāo)y（1≤W/2）點(diǎn)的流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)值，W為河流寬度。在順直河流岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，求解了二維移流擴(kuò)散方程濃度分布的解析解，推導(dǎo)出污染混合區(qū)邊界曲線方程。污染混合區(qū)最大寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)相對(duì)位置與常數(shù)橫向擴(kuò)散系數(shù)時(shí)相同，現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)的污染混合區(qū)形狀曲線的吻合程度，可以通過(guò)擬合流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)橫向分布的正常數(shù)指數(shù)m和n得到滿足。由此可以看出，單獨(dú)考慮橫向擴(kuò)散系數(shù)隨縱向坐標(biāo)x的變化，只能反映現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)的污染混合區(qū)形狀在縱向坐標(biāo)方向的變化特征；而單獨(dú)考慮流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的橫向分布，也只能反映現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)的污染混合區(qū)形狀在橫向坐標(biāo)y方向的變化特征。因此，只有同時(shí)考慮以上兩種情況，才能全面反映現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)污染混合區(qū)形狀的二維變化特征。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)長(zhǎng)江黃沙溪排污混合區(qū)平水期同步觀測(cè)資料的分析，提出深度平均流速的橫向指數(shù)分布和橫向擴(kuò)散系數(shù)的二維變化關(guān)系式。在寬闊河流順直岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，求解變系數(shù)二維移流擴(kuò)散方程濃度分布的解析解，推導(dǎo)污染混合區(qū)最大長(zhǎng)度、最大寬度和對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)以及面積的理論公式，給出污染混合區(qū)邊界歸一化（等濃度）曲線方程。在結(jié)果分析基礎(chǔ)上，提出污染混合區(qū)的類別、分類條件和變橫向擴(kuò)散系數(shù)的估算方法，可作為河流污染混合區(qū)范圍的計(jì)算依據(jù)，也可以對(duì)水質(zhì)建模起到理論指導(dǎo)作用。

2 濃度分布求解與特性分析

2.1 流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系式

（1）流速的橫向分布在分析了黃真理等［28］給出的長(zhǎng)江三峽建水庫(kù)前庫(kù)區(qū)水環(huán)境現(xiàn)狀及水文水質(zhì)污染負(fù)荷同步觀測(cè)中，黃沙溪排污混合段平水期6個(gè)斷面的深度平均流速橫向分布觀測(cè)值（如圖1數(shù)據(jù)點(diǎn)所示）的基礎(chǔ)上，對(duì)深度平均流速的橫向分布選擇指數(shù)分布規(guī)律［31］進(jìn)行曲線擬合。

式中:u和u1分別為距離排放岸橫向坐標(biāo)y點(diǎn)和y1（≤W/2）點(diǎn)的深度平均流速；W為河流寬度；m是正常數(shù)指數(shù)。

對(duì)于按順直河流進(jìn)行簡(jiǎn)化處理的黃沙溪排污混合段，將全部6個(gè)斷面的深度平均流速橫向分布觀測(cè)值一并采用指數(shù)分布式（1）進(jìn)行回歸分析得到:y1=150 m，u1=1.4 m/s，m=0.25，相關(guān)系數(shù)R2=0.7483，其相關(guān)性較好，在圖1中以實(shí)線顯示。

圖1 黃沙溪排污混合段平水期深度平均流速的橫向分布

（2）橫向擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系式根據(jù)Wu等［29-30］對(duì)河流二維移流擴(kuò)散問(wèn)題的分析，從岸邊排污口排出的污染物擴(kuò)散時(shí)間越長(zhǎng)，遷移距離越遠(yuǎn)，擴(kuò)散范圍不斷增大，大尺度渦旋體的擴(kuò)散作用逐漸增強(qiáng)。考慮到大渦對(duì)“污染云”擴(kuò)散的主導(dǎo)作用，因此有橫向擴(kuò)散系數(shù)隨著污染云的擴(kuò)散范圍增大而增大，即河流橫向擴(kuò)散系數(shù)與遷移距離x成比例。另一方面，由于河岸地形對(duì)水流的摩擦阻力作用，河流近岸區(qū)域的流速一般低于中間區(qū)域，離岸距離越大，流速越大，橫向擴(kuò)散系數(shù)也越大。Wu等［31］根據(jù)河流深度平均流速的橫向指數(shù)分布規(guī)律，提出橫向擴(kuò)散系數(shù)的橫向分布同樣服從指數(shù)分布規(guī)律。綜合以上兩種點(diǎn)，假設(shè)橫向擴(kuò)散系數(shù)既服從橫向指數(shù)分布規(guī)律，又隨縱向坐標(biāo)x呈指數(shù)變化的關(guān)系式為:

式中:Ey為從排放口沿水流縱向坐標(biāo)x、距離排放岸橫向坐標(biāo)y點(diǎn)的橫向擴(kuò)散系數(shù)；γ、α、n均為正常數(shù)。

2.2 岸邊排放源在非均勻流場(chǎng)中的擴(kuò)散根據(jù)張書(shū)農(nóng)［4］、Wu等［31］和Li［32］在穩(wěn)態(tài)條件下，對(duì)河流二維移流擴(kuò)散方程的簡(jiǎn)化處理，在離開(kāi)排放口一定距離后的遠(yuǎn)區(qū)，即xu?Ex，縱向坐標(biāo)x方向的擴(kuò)散項(xiàng)與移流項(xiàng)相比，在縱向上的擴(kuò)散作用微不足道，可以忽略不計(jì)；按照一般環(huán)境水力學(xué)概念，河流中的橫向流速可以略去，在橫向上的污染物主要表現(xiàn)為擴(kuò)散與混合。因此，河流中的簡(jiǎn)化二維移流擴(kuò)散方程為:

式中:x為自排污口沿河流流向的縱向坐標(biāo)；y為垂直于x軸從排污口指向河心的橫向坐標(biāo)；u為深度平均流速；Ex和Ey分別是縱向和橫向擴(kuò)散系數(shù)；C為污染物濃度。

將式（1）和式（2）代入式（3），整理得到變系數(shù)二維移流擴(kuò)散方程為:

令X=x1+α，E=γ/( )1+α，式（4）變?yōu)?

根據(jù)Wu等［31］在順直矩形河渠中，在岸邊穩(wěn)定線源單位時(shí)間單位水深的排放質(zhì)量m˙=M˙/H的條件下，對(duì)于保守物質(zhì)，由式（5）給出深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)均服從指數(shù)分布規(guī)律決定的河流二維移流擴(kuò)散污染物濃度分布為:

式中:p=2+m-n＞1；φ=（1+m）/p；Г（φ）為完全伽瑪函數(shù)；M˙為岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源單位時(shí)間的排放質(zhì)量；H為平均水深。

將X和E代入式（6）整理得到，由深度平均流速的橫向指數(shù)分布式（1）和橫向擴(kuò)散系數(shù)的二維變化關(guān)系式（2）確定的河流二維移流擴(kuò)散污染物濃度分布為:

2.3 濃度分布特性分析由式（7）可以得到，對(duì)于縱向坐標(biāo)的給定值（xi，i=1，2，3，…），河流岸邊排放二維移流擴(kuò)散污染物濃度的橫向分布特征主要取決于exp（-yp）。即污染物濃度隨橫向坐標(biāo)y的增大單調(diào)下降，橫向濃度分布曲線類似于半正態(tài)分布形式；當(dāng)縱向坐標(biāo)x增大時(shí)，橫截面上的最大濃度沿程逐漸減小，污染物濃度迅速在橫向上擴(kuò)展，濃度梯度迅速減小，如圖2所示。

圖2 河流岸邊排放污染物濃度分布和等濃度線

令y=0，由式（7）可以得到橫截面上污染物最大濃度的沿程分布為:

即橫截面上的最大濃度隨縱向坐標(biāo)x的［-φ（1+α）］次方下降。

由于深度平均流速的橫向分布不是常數(shù)，因此，河流中污染物濃度的橫向分布不能代表污染物通量q（xi，y）=uC的橫向分布。對(duì)于保守物質(zhì)，在縱向坐標(biāo)取任意值（xi）時(shí)，則有河流各斷面的污染物總通量相等，即有:

當(dāng)α=0時(shí)，橫向擴(kuò)散系數(shù)與縱向坐標(biāo)x無(wú)關(guān)，橫向擴(kuò)散系數(shù)和深度平均流速的橫向分布均服從指數(shù)規(guī)律，式（7）變?yōu)榕c相同條件下Wu等［31］給出的結(jié)果一致；當(dāng)m=n=0時(shí)，橫向擴(kuò)散系數(shù)和深度平均流速均在橫向上保持常數(shù)，橫向擴(kuò)散系數(shù)僅隨縱向坐標(biāo)x呈現(xiàn)指數(shù)變化規(guī)律，式（7）變?yōu)榕c相同條件下Wu等［29-30］給出的結(jié)果一致；當(dāng)α=m=n=0時(shí)，橫向擴(kuò)散系數(shù)和深度平均流速均取常數(shù)，式（7）變?yōu)榕c相同條件下Wu等［26-27］給出的結(jié)果一致。

3 污染混合區(qū)幾何特征

根據(jù)污染混合區(qū)的概念，河流背景污染物濃度Cb與排放產(chǎn)生的允許升高濃度Ca的總和應(yīng)符合水環(huán)境功能區(qū)所執(zhí)行的濃度標(biāo)準(zhǔn)值Cstd，即有Ca=Cstd-Cb，該等濃度線所包圍的區(qū)域稱為污染混合區(qū)。

由式（7）可知，河流岸邊排放的污染混合區(qū)邊界（等濃度）曲線方程為:

在圖2中，繪制了3個(gè)水平C1＞C2＞Ca的濃度等值線。在以下小節(jié)中，將由方程式（10）具體分析污染混合區(qū)邊界（等濃度）曲線幾何特征參數(shù)的理論公式。

3.1 最大長(zhǎng)度在式（10）中，令y=0，可以得到河流岸邊排放污染混合區(qū)最大長(zhǎng)度Ls的理論公式:

3.2 最大寬度和對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)為了方便推導(dǎo)河流岸邊排放污染混合區(qū)最大寬度和最大寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)位置，改寫式（10）為:

為了獲得等濃度線上橫向坐標(biāo)y達(dá)到極大值點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，給式（12）兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，并令dy/dx=0，整理得到:

注意到，式（12）與式（13）的左邊相同，則右邊應(yīng)該相等。據(jù)此，可以得到污染混合區(qū)最大寬度極值點(diǎn)的縱向坐標(biāo)Lc和橫向坐標(biāo)bs應(yīng)滿足的關(guān)系式為:

將式（14）代入式（12），整理得到污染混合區(qū)最大寬度的理論公式為:

考慮到式（11），可以得到污染混合區(qū)最大寬度與最大長(zhǎng)度的關(guān)系式為:

將式（16）代入式（14）化簡(jiǎn)得到污染混合區(qū)最大寬度對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)與最大長(zhǎng)度的關(guān)系式為:

其中:q=1+α＞1。

3.3 邊界（等濃度）曲線方程在式（10）中，對(duì)坐標(biāo)變量x除以Ls可以得到歸一化坐標(biāo)（x/Ls），同時(shí)乘以式（11）右邊的最大長(zhǎng)度表達(dá)式；對(duì)坐標(biāo)變量y除以bs可以得到歸一化坐標(biāo)（y/bs），同時(shí)乘以式（15）右邊的最大半寬度表達(dá)式，整理得到通用形式的河流岸邊排放污染混合區(qū)邊界曲線方程為:

或

值得注意的是，河流岸邊排放污染混合區(qū)歸一化坐標(biāo)邊界的曲線方程僅是p（=2+m-n）和q的函數(shù)。其它參數(shù)（m，n，γ，α，y1，u1，H，Ca和˙）僅改變用于歸一化的兩個(gè)幾何特征參數(shù)Ls和bs。

3.4 面積和面積系數(shù)在縱向坐標(biāo)x∈［0，Ls］上，對(duì)式（19）求定積分，可以推導(dǎo)河流岸邊排放的污染混合區(qū)面積S如下:

進(jìn)行變量替換，令x/Ls=ζ，積分區(qū)間變?yōu)椋?，1］，式（20）變?yōu)?

其中面積系數(shù)函數(shù)μ為:

（1）在特定條件下，面積系數(shù)的理論公式

當(dāng)p=1時(shí)，式（22）改寫為:

當(dāng)p=2時(shí)，令η=ζ(2+q)/2，代入式（22）化簡(jiǎn)得到:

（2）在其它條件下，面積系數(shù)的數(shù)值積分公式

除p=1和p=2以外，式（22）不存在直接積分公式。可以借助于梯形法求定積分的公式，由式（22）得到污染混合區(qū)面積系數(shù)的數(shù)值積分公式為:

在式（27）中，將自變量ζ的積分區(qū)間［0，1］劃分為n（=1/Δζ）等分，每一等分的長(zhǎng)度Δζ取1×10-4，一般就可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值積分值與理論值的誤差絕對(duì)值小于1×10-4。若需進(jìn)一步提高數(shù)值積分的精度，可以通過(guò)縮小等分長(zhǎng)度或更換數(shù)值積分方法。

在河流流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)均為常數(shù)（p=2，q=1）、僅橫向擴(kuò)散系數(shù)隨縱向坐標(biāo)x呈指數(shù)變化（p=2，q=1+α）以及流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)為指數(shù)分布（p=2+m-n，q=1）條件下，式（24）或式（26）或式（27）可簡(jiǎn)化為與相同條件下Wu等［27，29，31］給出的結(jié)果一致。

4 結(jié)果分析與討論

4.1 結(jié)果分析由式（18）和式（22）可以看出，河流岸邊排放污染混合區(qū)邊界歸一化曲線的形狀和面積系數(shù)，兩者都只是參數(shù)p（=2+m-n）和q（=1+α）的函數(shù)。下面分別繪制污染混合區(qū)邊界歸一化曲線分類圖譜和面積系數(shù)變化曲線族來(lái)做進(jìn)一步分析。

首先，選擇參數(shù)p=2、p＜2（以p=1代表）、p＞2（以p=4代表）和q=1、q＞1（以q=3代表），針對(duì)（p，q）的6種組合情況，由式（18）分別繪制污染混合區(qū)邊界歸一化曲線，見(jiàn)圖3。圖中，標(biāo)準(zhǔn)型、Ⅰ型、Ⅱ型分別對(duì)應(yīng)（p=2，q=1）、（p＜2，q=1）、（p＞2，q=1）情況，此時(shí)α=0，污染混合區(qū)最大寬度對(duì)應(yīng)的歸一化縱向坐標(biāo)Lc/Ls=1/e≈0.368；α-標(biāo)準(zhǔn)型、α-Ⅰ型、α-Ⅱ型分別對(duì)應(yīng)（p=2，q＞1）、（p＜2，q＞1）、（p＞2，q＞1）情況，此時(shí)α＞0，污染混合區(qū)最大寬度對(duì)應(yīng)的歸一化縱向坐標(biāo)Lc/Ls＞0.368。

其次，選擇參數(shù)p=1.0，1.5，2.0，3.0，4.0和5.0，在參數(shù)q=1～5區(qū)間內(nèi)取一系列值，采用式（24）或式（26）或式（27）分別計(jì)算污染混合區(qū)面積系數(shù)μ（p，q），給出以p為參數(shù)的面積系數(shù)μ（q）變化曲線族，見(jiàn)圖4。

圖3 河流岸邊排放污染混合區(qū)邊界歸一化曲線分類圖譜

圖4 河流岸邊排放污染混合區(qū)面積系數(shù)變化曲線族

由圖3和繪制條件可知，當(dāng)參數(shù)q不變，參數(shù)p變化時(shí)，污染混合區(qū)邊界歸一化曲線最大寬度對(duì)應(yīng)的歸一化縱向坐標(biāo)位置保持不變，只有污染混合區(qū)邊界歸一化曲線的形狀隨著參數(shù)p的增大，逐漸由尖瘦變?yōu)殁g肥；而當(dāng)參數(shù)p不變，參數(shù)q變化時(shí)，污染混合區(qū)邊界歸一化曲線最大寬度對(duì)應(yīng)的歸一化縱向坐標(biāo)位置將隨著參數(shù)q的增大，沿著流向逐漸偏離原來(lái)位置，其形狀隨之發(fā)生變化。

由圖4可以看出，當(dāng)參數(shù)p不變時(shí)，污染混合區(qū)的面積系數(shù)μ（q）為單調(diào)下降曲線，在q=1時(shí)的面積系數(shù)最大；當(dāng)參數(shù)q不變時(shí)，污染混合區(qū)的面積系數(shù)隨著參數(shù)p的增大而增加，這一點(diǎn)與污染混合區(qū)邊界歸一化曲線形狀的分析結(jié)果一致。

通過(guò)以上分析，并注意到式（17）和式（18），可以得出的重要結(jié)論是:參數(shù)q值決定著污染混合區(qū)形狀最大寬度對(duì)應(yīng)的歸一化縱向坐標(biāo)位置，參數(shù)p值決定著污染混合區(qū)形狀的豐滿程度。

4.2 污染混合區(qū)的分類條件通過(guò)上述對(duì)河流岸邊排放污染混合區(qū)邊界歸一化曲線分類圖譜和面積系數(shù)變化曲線族的規(guī)律分析，發(fā)現(xiàn):

當(dāng)參數(shù)（p=2，q=1）時(shí)，對(duì)應(yīng)河流流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)均為常數(shù)（m=n=0）以及流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)均服從橫向指數(shù)分布（滿足m=n）情況，這時(shí)的污染混合區(qū)形狀定義為標(biāo)準(zhǔn)型；當(dāng)（p＜2，q=1）時(shí)，對(duì)應(yīng)流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)橫向分布（滿足0＜m＜n）情況，定義為Ⅰ型；當(dāng)（p＞2，q=1）時(shí)，對(duì)應(yīng)流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)橫向分布（滿足m＞n＞0）情況，定義為Ⅱ型。

當(dāng)（p=2，q＞1）時(shí)，對(duì)應(yīng)流速為常數(shù)，橫向擴(kuò)散系數(shù)僅隨縱向坐標(biāo)x呈指數(shù)變化（滿足m=n=0、α＞0）以及流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)均服從橫向指數(shù)分布，同時(shí)橫向擴(kuò)散系數(shù)又隨縱向坐標(biāo)x呈指數(shù)變化（滿足m=n、α＞0）情況，定義為α-標(biāo)準(zhǔn)型；當(dāng)（p＜2，q＞1）時(shí)，對(duì)應(yīng)流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)分布（滿足0＜m＜n、α＞0）情況，定義為α-Ⅰ型；當(dāng)（p＞2，q＞1）時(shí)，對(duì)應(yīng)流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)分布（滿足m＞n＞0、α＞0）情況，定義為α-Ⅱ型。具體描述，詳見(jiàn)表1。

由表1可以看出，河流岸邊排放污染混合區(qū)的形狀與深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)變化的特性參數(shù)（p=2+m-n，q=1+α），具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在表1分類中，河流岸邊排放污染混合區(qū)的部分類型與已有研究特例的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:標(biāo)準(zhǔn)型與文獻(xiàn)［26-27］、α-標(biāo)準(zhǔn)型與文獻(xiàn)［29-30］、Ⅰ型和Ⅱ型與文獻(xiàn)［31］中的研究條件和結(jié)果分別對(duì)應(yīng)一致。表1給出的河流岸邊排放污染混合區(qū)類別、形狀特征與分類條件是科學(xué)探究從特殊性到普遍性的系列研究成果。該成果全面科學(xué)系統(tǒng)地反映了用于表征河流深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)變化的特性參數(shù)（m，n和α）直接影響河流二維移流擴(kuò)散污染物濃度分布規(guī)律和污染混合區(qū)幾何形狀特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 河流岸邊排放污染混合區(qū)類別、形狀特征與分類條件

長(zhǎng)期以來(lái)，尋找河流斷面平均橫向擴(kuò)散系數(shù)（常數(shù)）的通常做法是根據(jù)橫向濃度分布與斷面平均水力學(xué)要素之間的關(guān)系，來(lái)建立基于常數(shù)的橫向擴(kuò)散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式。而忽視了對(duì)河流二維濃度分布和水力學(xué)要素的同步觀測(cè)與綜合分析，使得各自給出的橫向擴(kuò)散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式數(shù)量多，形式繁雜，各個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果撲朔迷離［5］。其問(wèn)題可能出在人們一直試圖采用常數(shù)橫向擴(kuò)散系數(shù)來(lái)表征縱、橫向變化的河流橫向擴(kuò)散系數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)寬闊河流的中部深槽和遠(yuǎn)岸地形變化，對(duì)排放岸附近污染混合區(qū)的污染物輸移擴(kuò)散作用很小，因此在大江大河采用斷面平均橫向擴(kuò)散系數(shù)是不合適的。

4.3 反問(wèn)題：變橫向擴(kuò)散系數(shù)的估算方法河流岸邊排放污染混合區(qū)邊界幾何特征尺度的理論公式和等濃度線方程，可以反向使用以便獲得變橫向擴(kuò)散系數(shù)的具體表達(dá)式。該方法僅需要對(duì)岸邊污染混合區(qū)邊界曲線的宏觀幾何特征尺度和流速橫向分布進(jìn)行測(cè)量，為從業(yè)者提供現(xiàn)場(chǎng)使用的有效方法，在大江大河中非常實(shí)用。

首先，在擬觀測(cè)的寬闊河流上，選擇一個(gè)穩(wěn)定的岸邊排污口或排放點(diǎn)，在排水中以恒定速率均勻地投加無(wú)毒害有色熒光染料（如羅丹明B）溶液。岸邊污染混合區(qū)中的染料濃度與顏色的陰影成比例，即有同色度線表示等濃度線。需強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)河岸傾角小于28°時(shí)，水面與深度平均濃度近似相等，水面濃度分布可作為污染混合區(qū)的確定依據(jù)［33］。這種要求通常在天然河流中很容易得到滿足。

其次，按照水文測(cè)量技術(shù)觀測(cè)河流中的流速橫向分布，采用式（1）擬合確定u1，y1和m的值。速度測(cè)量不需要覆蓋整個(gè)河流，只需要覆蓋形成污染混合區(qū)的近岸區(qū)域。

第三，采用無(wú)人機(jī)攝像裝置，從上空拍攝岸邊污染混合區(qū)的彩色圖像資料。經(jīng)導(dǎo)入計(jì)算機(jī)、圖像篩選、坐標(biāo)定位和圖像處理，初步讀取單條同色度線的最大長(zhǎng)度Ls、最大寬度bs與對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)Lc。采用式（17）反推得到q的初值:

再對(duì)污染混合區(qū)邊界（等濃度）曲線的形狀，采用式（18）進(jìn)行試錯(cuò)法擬合比較，最終確定出一條與該單條同色度線吻合程度較高曲線的最大長(zhǎng)度Ls、最大寬度bs和參數(shù)p、q值，從而可以求出正常數(shù)指數(shù)n=2+m-p和α=q-1。進(jìn)而采用式（16）反推出正常數(shù)系數(shù)γ:

最后，將γ，α，y1和n代入式（2）得到變橫向擴(kuò)散系數(shù)的具體表達(dá)式。

該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需測(cè)量排污量和濃度分布的具體數(shù)值，因?yàn)楹恿髁魉俸蜋M向擴(kuò)散系數(shù)變化形式?jīng)Q定了污染混合區(qū)的不同形狀，而排污量和濃度分布的具體數(shù)值主要是影響河流污染混合區(qū)的范圍大小。

5 實(shí)例

下面根據(jù)黃真理等［28］在長(zhǎng)江三峽建水庫(kù)前庫(kù)區(qū)水環(huán)境現(xiàn)狀及水文水質(zhì)污染負(fù)荷同步觀測(cè)中，給出的黃沙溪排污混合區(qū)平水期同步觀測(cè)資料，采用本文理論來(lái)估算該河段岸邊排放的變橫向擴(kuò)散系數(shù)式（2）中的正常數(shù)參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)公式。

黃沙溪排污混合區(qū)平水期CODCr現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)等值線與理論擬合曲線，參見(jiàn)圖5。圖中彩色渲染濃度部分摘自文獻(xiàn)［28］，3條濃度等值線均由式（18）擬合而得。表2給出了黃沙溪排污混合區(qū)平水期CODCr=9.85、10.00和10.81 mg/L相應(yīng)的等值線最大長(zhǎng)度、最大寬度和其對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)的觀測(cè)值。經(jīng)采用同一組參數(shù)（p，q）值和式（18）對(duì)圖5中的3條濃度等值線分別進(jìn)行理論擬合。結(jié)果表明，當(dāng)參數(shù)（p=1.50，q=1.65）時(shí)，對(duì)應(yīng)表1中的α-Ⅰ型污染混合區(qū)，Lc/Ls=0.545，面積系數(shù)μ=0.713，3條濃度等值線的總體吻合程度最好，并給出了3條CODCr等值線的最大長(zhǎng)度、最大寬度和其對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)的理論擬合值，見(jiàn)表2。

圖5 黃沙溪排污混合區(qū)平水期CODCr現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)等值線與理論擬合曲線

表2 黃沙溪排污混合區(qū)平水期CODCr等值線幾何特征參數(shù)

由表2可以看出，黃沙溪排污混合區(qū)平水期3條CODCr等值線最大長(zhǎng)度、最大寬度和其對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)的理論擬合值與觀測(cè)值的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為1.9%，7.1%和5.8%，結(jié)合圖5判斷兩者吻合良好。

基于2.1節(jié)中獲得的黃沙溪排污混合段平水期深度平均流速橫向分布式（1）中的有關(guān)參數(shù):y1=150 m，u1=1.4 m/s，m=0.25，考慮到參數(shù)（p=1.50，q=1.65），求出正常數(shù)指數(shù)n=0.75和α=0.65。再根據(jù)黃沙溪排污混合區(qū)平水期3條CODCr等值線理論擬合的最大長(zhǎng)度Ls、最大寬度bs和有關(guān)參數(shù)，采用式（29）分別計(jì)算出變橫向擴(kuò)散系數(shù)中正常數(shù)系數(shù)，從而得到其平均值γ=5.96。最后，將γ，α，y1和n代入式（2）得到長(zhǎng)江黃沙溪排污混合區(qū)平水期的變橫向擴(kuò)散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式為:

式中物理量采用國(guó)際單位制。

長(zhǎng)江黃沙溪排污混合區(qū)平水期深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的橫向分布指數(shù)m、n之和恰巧等于1，這與Li［32］在低層大氣擴(kuò)散研究中，建議n值通常取為（1-m）一致。這是巧合還是有某種規(guī)律有待進(jìn)一步深入研究。

需要說(shuō)明的是:在野外水體中，雖然CODCr具有一定的降減能力，但根據(jù)文獻(xiàn)［26］給出的判別條件，當(dāng)降解數(shù)De=KLs/U≤0.027時(shí)，可以忽略反應(yīng)降解作用，按保守物質(zhì)計(jì)算污染混合區(qū)范圍。如果取CODCr的較大降解系數(shù)K=0.4 d-1=4.63×10-6s-1，黃沙溪岸邊區(qū)域的平均流速U≈1.0 m/s，當(dāng)CODCr=9.85 mg/L時(shí)的污染混合區(qū)最大長(zhǎng)度Ls=265.0 m，由此計(jì)算得到降解數(shù)De=KLs/U=0.0012?0.027。所以，上述實(shí)例計(jì)算忽略反應(yīng)降解作用是合理的。在文獻(xiàn)［28］中，對(duì)于黃沙溪排污混合區(qū)CODCr濃度場(chǎng)的驗(yàn)證、污染混合區(qū)的模擬預(yù)測(cè)和實(shí)用化計(jì)算公式，同樣忽略了CODCr的降解作用。

6 結(jié)論

（1）這項(xiàng)研究在寬闊河流順直岸邊穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，考慮深度平均流速的橫向指數(shù)分布和橫向擴(kuò)散系數(shù)的二維變化關(guān)系，基于變系數(shù)二維移流擴(kuò)散方程，推導(dǎo)了污染物濃度分布解析解，提出了污染混合區(qū)最大長(zhǎng)度、最大寬度和對(duì)應(yīng)縱向坐標(biāo)以及面積的理論公式。

（2）給出了污染混合區(qū)邊界歸一化曲線方程。表明河流岸邊排放污染混合區(qū)的形狀與深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)變化特性參數(shù)（p=2+m-n，q=1+α），具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，提出了河流岸邊排放污染混合區(qū)的類別、形狀特征、分類條件和變橫向擴(kuò)散系數(shù)的估算方法。

（3）實(shí)例表明，α-Ⅰ型污染混合區(qū)能夠較好地表征長(zhǎng)江黃沙溪排污混合區(qū)平水期CODCr現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)等值線形狀。給出了黃沙溪深度平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)變化特性參數(shù)以及排污混合區(qū)平水期的變橫向擴(kuò)散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式。

（4）研究發(fā)現(xiàn)寬闊河流的中部深槽和遠(yuǎn)岸地形變化，對(duì)排放岸附近污染混合區(qū)范圍的影響很小。因此，在大江大河考慮河流流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)的變化特性非常必要，應(yīng)引起河流污染混合區(qū)幾何特征計(jì)算和水質(zhì)建模工作者的高度重視。