羅登菊，戴家佳，羅興甸

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

隨機(jī)效應(yīng)模型的一般形式為：

(1)

模型(1)的主要優(yōu)點(diǎn)在于，在一定條件下提供了對(duì)個(gè)體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的可能性。為了解決此模型估計(jì)的參數(shù)估計(jì)問題，大部分的文獻(xiàn)通過普通最小二乘和加權(quán)最小二乘等方式來解決此問題，舉例說，最小二乘估計(jì)計(jì)算簡單，其得到的結(jié)果擁有令人滿意的表達(dá)式，尤其是在誤差項(xiàng)遵循常態(tài)分布的前提下，最小二乘估計(jì)是有效的，而且是一致最小方差無偏估計(jì)。但是實(shí)際數(shù)據(jù)往往不滿足方差相等、獨(dú)立并服從正態(tài)分布等嚴(yán)苛條件。隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展以及各種行業(yè)之間相互影響，我們所面臨的數(shù)據(jù)維度不僅大還結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過最小二乘估計(jì)無法滿足現(xiàn)階段所需理想的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

于是，加拿大學(xué)者KOENKER提出了一種回歸估計(jì)，就是分位數(shù)回歸估計(jì)，目的是為了擺脫最小二乘估計(jì)的局限性，更廣泛的將中位數(shù)回歸應(yīng)用于所有的分位數(shù)中。使用條件分位數(shù)來進(jìn)行建模，使最小二乘估計(jì)最小化平方誤差的思想變?yōu)樽钚』訖?quán)的絕對(duì)誤差，該方法可以刻畫解釋變量隨響應(yīng)變量變動(dòng)的大體特征，呈現(xiàn)響應(yīng)變量在不同分位點(diǎn)下的條件分布函數(shù)。分位數(shù)回歸有眾多優(yōu)勢(shì)，它既不需要誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，也對(duì)異常值不敏感，甚至可以擬合響應(yīng)變量任何分位點(diǎn)的回歸方程，因此具有很好的穩(wěn)健性，在各個(gè)模型的估計(jì)中被廣泛運(yùn)用，例如，WU[1]在研究單指標(biāo)模型的估計(jì)問題時(shí)，使用了分位數(shù)回歸估計(jì)；YANG[2]應(yīng)用分位數(shù)回歸研究了變系數(shù)單指標(biāo)模型的參數(shù)估計(jì)和變量選擇問題；KONEKER[3]更是史無前例的將分位數(shù)回歸方法應(yīng)用到縱向數(shù)據(jù)中，并指出對(duì)于固定效應(yīng)模型，在進(jìn)行分位數(shù)回歸時(shí)，將L1懲罰項(xiàng)加入到目標(biāo)函數(shù)中，并在估計(jì)未知參數(shù)時(shí)使用懲罰函數(shù)法；WANG[4]在探究面板數(shù)據(jù)中固定效應(yīng)模型的經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)值的過程中，分位數(shù)得分函數(shù)被平滑經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)過程所替代，從而得到經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)似然率和極大經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)。CANAY[5]在去除面板數(shù)據(jù)模型中的固定效應(yīng)時(shí)，采用了一種簡潔的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，之后利用分位數(shù)回歸預(yù)估模型中的參數(shù)，同時(shí)還驗(yàn)證了該估計(jì)量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性；KATO[6]以與非線性面板數(shù)據(jù)的研究相似為前提，研究面板數(shù)據(jù)下固定效應(yīng)分位數(shù)回歸模型估計(jì)的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性條件，得出一個(gè)結(jié)論，即參數(shù)估計(jì)量的一致性；何曉霞等[7]利用分位數(shù)回歸研究了縱向數(shù)據(jù)下回歸模型的參數(shù)估計(jì)和變量選擇問題。根據(jù)以上文獻(xiàn)得知，即便分位數(shù)回歸可以融合多條曲線，但在實(shí)際問題中卻存在部分分位點(diǎn)偏離過大的問題，因此，ZOU和YUAN[8]通過綜合考慮將多個(gè)分位點(diǎn)，第一次提出了復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)，得到了回歸系數(shù)β一個(gè)精度更高的估計(jì)。王琪鋒[9]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到線性時(shí)間序列數(shù)據(jù)中；王江峰[10]在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下研究了非參數(shù)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)；呂亞召[11]利用復(fù)合分位數(shù)回歸研究了部分線性單指標(biāo)模型的變量選擇問題；JIANG[12]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到DTARCH模型中；JIANG[13]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到具有重尾自相關(guān)誤差的線性模型中；CHEN[14]利用復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)半?yún)?shù)模型中的未知函數(shù)與參數(shù)；JIANG[15]將加權(quán)復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)引入到部分線性變系數(shù)模型中；徐潔和楊宜平[16]首次將復(fù)合分位回歸應(yīng)用到縱向數(shù)據(jù)中，研究了固定效應(yīng)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)，在一定正則條件的前提下，證明了該估計(jì)的大樣本漸近正態(tài)性質(zhì)。

本文基于復(fù)合分位數(shù)回歸方法研究了縱向數(shù)據(jù)下隨機(jī)效應(yīng)模型的參數(shù)估計(jì)，首先，給出該估計(jì)的定義與在該模型下的目標(biāo)函數(shù)；再次，證明了在隨機(jī)效應(yīng)模型下的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的大樣本漸近正態(tài)性質(zhì)；最后，通過模擬研究了該估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，同時(shí)，與最小二乘估計(jì)、中位數(shù)估計(jì)結(jié)果的精度做比較。

1 模型和估計(jì)方法

我們將模型(1)改寫為：

(2)

其中

ρτk(s)=τksI(s≥0)+(1-τk)sI(s<0)。

設(shè)ck是e的τk分位點(diǎn)，記σ=σα(x)+σε(x)，定義σ的估計(jì)為[15]：

(a)

(b)

2 漸近性質(zhì)

為更好的得到參數(shù)β估計(jì)的大樣本性質(zhì)，給出以下正則條件：

其中

(c)

根據(jù)KNIGHT[17]

有

ρτ(r-s)-ρτ(r)=s(I(r<0)-τ)+

因此，Ln可表示為

其中

根據(jù)Cramer-Wald理論和中心極限定理可得，對(duì)任意∑，有

有

→0。

因此

因此可以得到

由于Ln是凸函數(shù)，有

其中

因此

證畢。

3 模擬研究

在模擬研究中，主要進(jìn)行模擬研究來驗(yàn)證所提方法的有限樣本表現(xiàn)。

考慮如下隨機(jī)效應(yīng)模型(3):

yit=xitβ+αi+εit

(3)

其中i(i=1,2,…,n)和t(t=1,2,…,T)分別表示個(gè)體和觀測(cè)時(shí)間，觀測(cè)周期取3，xit服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，考慮了模型誤差項(xiàng)εit分布服從3種分布的情形，包括：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)；自由度為3的t分布t(3)以及標(biāo)準(zhǔn)柯西分布c(0,1)。

取樣本量n=50,100,200分別模擬500次。用傳統(tǒng)最小二乘(LS)、中位數(shù)回歸(QR0.5)以及復(fù)合分位數(shù)回歸(CQRk)，復(fù)合分位數(shù)回歸的分位點(diǎn)K值設(shè)定為5、9、 和19。在檢驗(yàn)估計(jì)精度的好壞上，選擇了偏差(Bias)、均方根誤差(RMSE)以及標(biāo)準(zhǔn)差(SD)三個(gè)指標(biāo)參數(shù)來衡量。模擬結(jié)果見表1，指標(biāo)計(jì)算如下：

表1 參數(shù)估計(jì)的Bias,SD,RMSE模擬結(jié)果Tab.1 Parametric estimation of Bias, SD, RMSE simulation results 10-2

由表1可知：

(1)當(dāng)樣本量相同時(shí)，三種估計(jì)方法的精度比較，復(fù)合分位數(shù)回歸的Bias、SD以及RMSE都是最優(yōu)的。當(dāng)模型誤差服從N(0,1)時(shí)，最小二乘回歸和中位數(shù)回歸、復(fù)合分位數(shù)回歸的結(jié)果之間的相近程度很高，甚至于最小二乘回歸所表現(xiàn)出來的結(jié)果更優(yōu)；然而在誤差項(xiàng)服從非正態(tài)分布時(shí)，復(fù)合分位數(shù)回歸和中位數(shù)回歸表現(xiàn)更好，而最小二乘回歸的表現(xiàn)卻并不是很好。特別是在誤差服從c(0,1)時(shí)，中位數(shù)回歸估計(jì)和復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的表現(xiàn)優(yōu)于最小二乘回歸，此時(shí)的最小二乘估計(jì)卻完全無法發(fā)揮效用。就估計(jì)結(jié)果的精度而言，復(fù)合分位數(shù)回歸精度高，而中位數(shù)回歸則略遜一籌。

(3)通過對(duì)復(fù)合分位數(shù)回歸中K的取值不同，可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)情況都是K=19時(shí)，參數(shù)的估計(jì)精度更高，說明隨著分位數(shù)個(gè)數(shù)的增加，復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的表現(xiàn)更好，從模擬結(jié)果可以看出，K=19與K=9時(shí)的結(jié)果相差不大，但是K=19會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)的增大計(jì)算量，所以在應(yīng)用中選擇K=9。

圖1 參數(shù)估計(jì)的Q-Q圖Fig.1 Q-Q graph of parameter estimation

4 結(jié)論

本文通過引入了復(fù)合分位數(shù)回歸方法來估計(jì)隨機(jī)效應(yīng)模型的未知參數(shù)，得出的結(jié)論如下：

(1)在隨機(jī)效應(yīng)模型中，利用復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)來估計(jì)未知參數(shù)，滿足大樣本性質(zhì)。

(2)在樣本量相同的情況下，復(fù)合分位數(shù)回歸比中位數(shù)回歸和均值回歸的精度高，效果優(yōu)。隨著樣本量的增加，所有估計(jì)的精度均增加，但是復(fù)合分位數(shù)回歸效果最好。隨著復(fù)合分位點(diǎn)的增加，復(fù)合分位數(shù)回歸的精度也隨著增加。