楊波，章駿，倪江利

(安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，安徽 合肥，230601)

微角度測(cè)量技術(shù)廣泛地應(yīng)用于軍工、航海、航天、通訊等領(lǐng)域。隨著科技的發(fā)展，對(duì)于角度測(cè)量的精度和分辨率有著越來(lái)越高的要求。相比于傳統(tǒng)測(cè)角技術(shù)，光學(xué)測(cè)角法有著非接觸、高精度等更多的優(yōu)勢(shì)，從而受到廣泛地重視。光學(xué)測(cè)角法最常見(jiàn)的有光學(xué)自準(zhǔn)直法、光學(xué)內(nèi)反射法、光干涉法等[1-3]。其中光干涉法中主要是基于邁克爾遜干涉儀的原理，其測(cè)量精度雖然較高，但裝置較復(fù)雜?，F(xiàn)在越來(lái)越多的研究者選擇結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單緊湊的自混合干涉測(cè)量技術(shù)進(jìn)行微角度的測(cè)量[4-11]。

有研究者曾提出一種基于自混合干涉的微角度測(cè)量方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)平面鏡導(dǎo)致光束反饋回激光器諧振腔內(nèi)產(chǎn)生自混合干涉，從而測(cè)量旋轉(zhuǎn)角度的大小[12]。但該方法對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度有著嚴(yán)格的限制，一旦平面鏡旋轉(zhuǎn)的角度過(guò)大就會(huì)導(dǎo)致光束無(wú)法反饋回激光器腔內(nèi)，無(wú)法產(chǎn)生自混合干涉。

為了解決上述問(wèn)題，文中的研究者曾提出過(guò)利用一個(gè)直角棱鏡代替上述測(cè)量系統(tǒng)中的平面鏡[13-15]。根據(jù)直角棱鏡的特性可知，入射進(jìn)棱鏡的光束與棱鏡內(nèi)部出射的光束始終保持平行。通過(guò)旋轉(zhuǎn)直角棱鏡可在保證光束始終沿原路返回激光器腔內(nèi)的前提下，增大測(cè)角范圍。

文中通過(guò)將所提出的原微角度測(cè)量系統(tǒng)中的直角棱鏡更換成半五角棱鏡以及菱形棱鏡，通過(guò)選擇不同波長(zhǎng)的激光器作為光源，并且更換不同尺寸的半五角棱鏡以及菱形棱鏡進(jìn)行對(duì)比分析，可以為今后的測(cè)角系統(tǒng)提供合理的思路，同時(shí)還可以為微角度測(cè)量系統(tǒng)的進(jìn)一步改進(jìn)奠定有效的理論基礎(chǔ)。

1 測(cè)量原理

如圖1所示為基于不同棱鏡的微角度測(cè)量系統(tǒng)的裝置圖。該系統(tǒng)中分別選用波長(zhǎng)為632.8nm的氦氖激光器和波長(zhǎng)為532nm的微片激光器作為光源，由光源發(fā)出的激光光束經(jīng)過(guò)分束鏡分成兩束光，其中一束光由放置于轉(zhuǎn)盤(pán)上的半五角棱鏡的一面射入。由半五角棱鏡出射的光束經(jīng)平面鏡反射后，光束又沿原光路反饋回激光器腔內(nèi)，從而與原激光產(chǎn)生自混合干涉。根據(jù)半五角棱鏡光路改變的特點(diǎn)可知，由半五角棱鏡一面入射進(jìn)來(lái)的光束與從另一面出射的光束始終成45°角，為了確保棱鏡在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中由平面鏡反射的光可以沿原路反饋回激光器腔內(nèi)，需將平面鏡調(diào)成與入射光束成45°角的狀態(tài)。另外，在確保光束可以沿原路返回激光腔內(nèi)的前提下，可將半五角棱鏡替換成菱形棱鏡，根據(jù)菱形棱鏡的特性可知，入射進(jìn)棱鏡的光束與出射光始終保持平行。由菱形棱鏡出射的光束經(jīng)平面鏡反射后可沿原光路返回激光器腔內(nèi)。另一束光即攜帶著干涉信號(hào)的光束經(jīng)過(guò)光電探測(cè)器探測(cè)后被信號(hào)處理系統(tǒng)處理，最后被轉(zhuǎn)換成可以被計(jì)算機(jī)處理分析的數(shù)字信號(hào)。該微角度測(cè)量裝置中最關(guān)鍵的元件為可調(diào)換的棱鏡，在后續(xù)研究過(guò)程中可以通過(guò)改變不同尺寸的棱鏡或者改變不同制作材料的棱鏡進(jìn)行對(duì)比分析，從而為系統(tǒng)的優(yōu)化與改進(jìn)奠定基礎(chǔ)。

圖1 基于不同棱鏡的微角度測(cè)量系統(tǒng)裝置圖Fig.1 The micro-angle measurement system based on different prisms

該微角度測(cè)量系統(tǒng)中選取的半五角棱鏡或菱形棱鏡在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中光路會(huì)發(fā)生變化，具體光路變化如圖2所示。圖2(a)所示為半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)的光路，圖2(b)所示為半五角棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度，即半五角棱鏡的光束入射角度為θ時(shí)的光路，圖2(c)所示為菱形棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)的光路，圖2(d)所示為菱形棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路。

(a)半五角棱鏡初始時(shí)光路圖；(b)半五角棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路圖；(c)菱形棱鏡初始時(shí)光路圖；(d)菱形棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路圖；圖2 棱鏡的光路變化圖Fig.2 Optical path variation of prisms

為了便于計(jì)算棱鏡中的光路變化導(dǎo)致的光程變化，可以將棱鏡進(jìn)行展開(kāi)，利用棱鏡反射面的性質(zhì)，將發(fā)生轉(zhuǎn)折的光路拉直，從而可以將棱鏡中實(shí)線表示的實(shí)際光路用圖中所示虛線表示。半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)入射光從A點(diǎn)入射，實(shí)際中在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過(guò)兩次反射，從出射面的B點(diǎn)射出。通過(guò)棱鏡展開(kāi)，實(shí)際中的光路可以看成從A點(diǎn)入射后經(jīng)C點(diǎn)射出，因此半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)棱鏡內(nèi)部的光程可以表示為

(1)

公式(1)中：a表示半五角棱鏡的邊長(zhǎng)MN的長(zhǎng)度;L表示棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)內(nèi)部光程大小。當(dāng)棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)，實(shí)際光束由A′點(diǎn)進(jìn)入，由B′點(diǎn)出射。將半五角棱鏡展開(kāi)后光路可以看成由A′點(diǎn)射入，由C′點(diǎn)射出。經(jīng)過(guò)幾何推導(dǎo)可以得出棱鏡旋轉(zhuǎn)后的外腔長(zhǎng)變化，同時(shí)由于角度變化引起的外腔長(zhǎng)每改變半個(gè)波長(zhǎng)λ，激光自混合波形就會(huì)改變一個(gè)條紋，并且平面鏡反射后的光束又沿原路返回，因而該測(cè)量系統(tǒng)中的光程差Δh變化是棱鏡旋轉(zhuǎn)時(shí)外腔長(zhǎng)變化的兩倍：

(2)

公式(2)中：m表示條紋數(shù)，光程差大小為波長(zhǎng)的整數(shù)倍。對(duì)于菱形棱鏡在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的光程變化，同樣可以將棱鏡進(jìn)行展開(kāi)，如圖2(c)、(d)所示。菱形棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)，光路可以看成由D點(diǎn)入射，F(xiàn)點(diǎn)出射，棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)，光路可以看成由D′點(diǎn)入射，由F′點(diǎn)出射，令菱形棱鏡邊長(zhǎng)M′N(xiāo)′等于b，從而可以得出選取菱形棱鏡進(jìn)行角度測(cè)量時(shí)的光程差Δh′：

(3)

通過(guò)對(duì)比公式(2)和公式(3)，可以得出無(wú)論是選取半五角棱鏡還是菱形棱鏡進(jìn)行微角度測(cè)量，在確保折射率相同的條件下，只要邊長(zhǎng)大小相同，則兩種棱鏡的光程差表達(dá)式保持一致。接下來(lái)主要分析激光光源的波長(zhǎng)以及棱鏡的邊長(zhǎng)對(duì)于光程差的影響，從而得出與該微角度測(cè)量系統(tǒng)的分辨率有關(guān)的影響因素。

2 理論模擬

在研究過(guò)程中，研究者主要選擇了波長(zhǎng)分別為632.8nm的氦氖激光器(He-Ne)和波長(zhǎng)為532nm的微片激光器(MSL)作為光源，在選擇半五角棱鏡和菱形棱鏡的邊長(zhǎng)均為2cm時(shí)進(jìn)行模擬，獲得了如圖3所示的模擬輸出信號(hào)圖。從圖中可以看出，當(dāng)所測(cè)角度達(dá)到21mrad時(shí)，氦氖激光器作為光源的信號(hào)圖中共出現(xiàn)了8個(gè)條紋，而波長(zhǎng)較短的微片激光器作為光源時(shí)出現(xiàn)了9.5個(gè)條紋。從而可知光源波長(zhǎng)對(duì)于測(cè)角系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生明顯的影響。同時(shí)，在圖中還可以看出隨著測(cè)量角度的增大，條紋之間的間隔逐漸減小，即條紋之間對(duì)應(yīng)的角度差值逐漸減小，也就意味著角度的測(cè)量分辨率越來(lái)越高。而對(duì)于相同的測(cè)量范圍，條紋數(shù)越多表明條紋越密集，測(cè)量分辨率越高。因而選擇較短波長(zhǎng)的激光器作為光源進(jìn)行測(cè)量時(shí)可以獲得相對(duì)較高的測(cè)量分辨率。

圖3 基于不同激光光源的模擬輸出信號(hào)圖Fig.3 The simulated output signal with different laser sources

圖4 基于不同邊長(zhǎng)的半五角棱鏡及菱形棱鏡的模擬輸出信號(hào)圖Fig.4 The simulated output signal based on half pentagonal prism and rhomb prism with different side lengths

從公式(2)和公式(3)中可知，影響分辨率大小的因素除了光源的波長(zhǎng)，還有棱鏡的邊長(zhǎng)大小。圖4所示的是選取氦氖激光器作為光源，同時(shí)在選擇半五角棱鏡以及菱形棱鏡的不同邊長(zhǎng)條件下獲得的模擬輸出信號(hào)圖。從信號(hào)條紋圖中可以看出，當(dāng)所測(cè)角度達(dá)到21mrad時(shí)，利用邊長(zhǎng)為2cm的棱鏡的測(cè)量系統(tǒng)獲得8個(gè)條紋，而邊長(zhǎng)為3cm和4cm所對(duì)應(yīng)的分別為12個(gè)條紋和16個(gè)條紋，因而邊長(zhǎng)越長(zhǎng)的棱鏡對(duì)應(yīng)的條紋數(shù)越多，即更大的光程差，與公式(2)和公式(3)一致。并且隨著所測(cè)角度的逐漸增大，條紋之間的間隔越來(lái)越小，意味著測(cè)量分辨率越來(lái)越高。對(duì)于相同的測(cè)量角度，邊長(zhǎng)更長(zhǎng)的棱鏡對(duì)應(yīng)更高的測(cè)量分辨率，如邊長(zhǎng)為2cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的信號(hào)圖中的第7個(gè)條紋和第8個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為1.41mrad，邊長(zhǎng)為3cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的信號(hào)圖中的第11個(gè)條紋和第12個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為0.9mrad，邊長(zhǎng)為4cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的信號(hào)圖中的第15個(gè)條紋和第16個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為0.65mrad。因而選用棱鏡作為關(guān)鍵的測(cè)角元件時(shí)，在合適的條件下選擇邊長(zhǎng)更長(zhǎng)的棱鏡進(jìn)行測(cè)量，可以進(jìn)一步提高測(cè)量分辨率，優(yōu)化微角度測(cè)量系統(tǒng)。

為了進(jìn)一步對(duì)比分析棱鏡邊長(zhǎng)這一因素對(duì)于測(cè)角系統(tǒng)的分辨率的影響，研究者通過(guò)條紋計(jì)數(shù)法，繪制出了圖4中每個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的角度值與條紋數(shù)之間的關(guān)系圖，如圖5所示。通過(guò)分析不同棱鏡旋轉(zhuǎn)過(guò)程中導(dǎo)致光程差變化產(chǎn)生的條紋變化與所測(cè)角度之間的關(guān)系，可以清楚地反映邊長(zhǎng)對(duì)于該測(cè)角系統(tǒng)的影響。

圖5 測(cè)量角度與條紋數(shù)之間的關(guān)系Fig.5 The relationship between the measured angle and the fringe number

圖5中橫坐標(biāo)表示的是輸出信號(hào)圖中出現(xiàn)的條紋數(shù)，空心五角星、空心圓形和實(shí)心三角形分別代表邊長(zhǎng)為2cm的棱鏡、3cm的棱鏡和4cm的棱鏡在進(jìn)行測(cè)量時(shí)出現(xiàn)的每個(gè)條紋的峰值對(duì)應(yīng)的所測(cè)角度。從圖中可以看出，邊長(zhǎng)較小的棱鏡對(duì)應(yīng)的曲線始終高于邊長(zhǎng)較大的棱鏡對(duì)應(yīng)的曲線。因而對(duì)于出現(xiàn)相同的條紋數(shù)時(shí)，邊長(zhǎng)為2cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的測(cè)角系統(tǒng)所測(cè)得的角度最大，而邊長(zhǎng)為4cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的測(cè)角系統(tǒng)所測(cè)得的角度最小，同時(shí)表明了對(duì)應(yīng)相同的測(cè)量角度時(shí)，邊長(zhǎng)為4cm的棱鏡對(duì)應(yīng)的測(cè)角系統(tǒng)在測(cè)量時(shí)出現(xiàn)的條紋數(shù)更多，從而都可以說(shuō)明邊長(zhǎng)更長(zhǎng)的棱鏡對(duì)應(yīng)的測(cè)量分辨率更高。從圖中每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)還可以得出，隨著條紋數(shù)的增多，條紋數(shù)對(duì)應(yīng)所測(cè)角度之間的間隔逐漸減小，測(cè)量分辨率在逐漸提高。如五角星點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所測(cè)角度間隔分別為5.3mrad、3.84mrad、2.62mrad……1.41mrad，圓形點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所測(cè)角度分別為4.3mrad、3.12mrad、2.22mrad……0.9mrad，三角形點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所測(cè)角度分別為3.71mrad、2.72mrad、1.9mrad……0.67mrad。由此可見(jiàn)，邊長(zhǎng)越大的棱鏡出現(xiàn)每個(gè)條紋時(shí)對(duì)應(yīng)的所測(cè)角度更小，并且相鄰兩個(gè)條紋對(duì)應(yīng)的角度間隔更小，因而可知使用邊長(zhǎng)更大的半五角棱鏡或菱形棱鏡作為測(cè)角系統(tǒng)中的關(guān)鍵光學(xué)元件可以提高測(cè)量分辨率。

3 結(jié)語(yǔ)

文章主要是將曾經(jīng)研究的微角度測(cè)量系統(tǒng)中的直角棱鏡更換為半五角棱鏡以及菱形棱鏡，通過(guò)旋轉(zhuǎn)不同的棱鏡進(jìn)行微小角度的測(cè)量，可以為基于不同光學(xué)元件的微角度測(cè)量系統(tǒng)的研究提供思路。由理論分析的結(jié)果可知，該微角度測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量分辨率受光源波長(zhǎng)及棱鏡邊長(zhǎng)大小的影響。當(dāng)所測(cè)角度為21mrad時(shí)，使用波長(zhǎng)較小的微片激光器比波長(zhǎng)較大的氦氖激光器可以獲得更多的條紋數(shù)，即測(cè)量分辨率更高。同時(shí)選取了邊長(zhǎng)分別為2cm、3cm和4cm的棱鏡作為該測(cè)角系統(tǒng)的關(guān)鍵光學(xué)元件時(shí)進(jìn)行對(duì)比分析。當(dāng)所測(cè)角度達(dá)到21mrad時(shí)，邊長(zhǎng)較長(zhǎng)的4cm棱鏡出現(xiàn)了16個(gè)條紋，最高分辨率可達(dá)到0.67mrad，而邊長(zhǎng)較短的2cm棱鏡只出現(xiàn)了8個(gè)條紋，最高分辨率只有1.41mrad。因而在相同測(cè)量角度的前提下，選擇波長(zhǎng)較小的激光光源以及選取邊長(zhǎng)更長(zhǎng)的棱鏡進(jìn)行微角度測(cè)量時(shí)，可以獲得更高的測(cè)量分辨率。在今后的研究中可以通過(guò)更換合適的較大邊長(zhǎng)的棱鏡或選取合適的較小波長(zhǎng)的激光器作為光源進(jìn)行微角度的測(cè)量，進(jìn)一步優(yōu)化測(cè)角系統(tǒng)。