姚海云，舒紅，汪善華，曾坤

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪遙感信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430079； 2. 深圳市地籍測(cè)繪大隊(duì)，廣東 深圳 518034；3.武漢益士天慧科技有限公司，湖北 武漢 430000)

1 引 言

由于障礙物遮擋、墻壁阻隔和多路徑效應(yīng)等因素存在以及室內(nèi)環(huán)境極為復(fù)雜，全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)室內(nèi)精確定位。近年來(lái)，隨著近距離無(wú)線通信和移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展，基于位置的服務(wù)(LBS)越來(lái)越受到重視[1]。根據(jù)美國(guó)環(huán)境保護(hù)局報(bào)告統(tǒng)計(jì)，人們有近70% ～ 90%的時(shí)間是在室內(nèi)度過(guò)[2]。為了克服衛(wèi)星定位缺陷并實(shí)現(xiàn)在室內(nèi)環(huán)境中的精確定位，國(guó)內(nèi)外研究人員在室內(nèi)定位中引入了紅外傳播、WLAN、超聲波、射頻識(shí)別(RFID)、低功耗藍(lán)牙、紫蜂(ZigBee)、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSNs)等多種技術(shù)[3]，但是以上技術(shù)多數(shù)要布設(shè)相應(yīng)定位設(shè)備方可展開定位工作。室內(nèi)定位源合理布設(shè)對(duì)于最終的定位精度存在很大的影響。文獻(xiàn)[4]將評(píng)價(jià)衛(wèi)星空間幾何布局結(jié)構(gòu)的定位精度影響的PDOP指標(biāo)借鑒到UWB技術(shù)室內(nèi)定位中，仿真PDOP值研究了室內(nèi)定位測(cè)站布設(shè)的定位精度影響，結(jié)論是合理位置的測(cè)站布設(shè)會(huì)降低環(huán)境對(duì)信號(hào)的干擾，提高定位精度。本文通過(guò)特征向量空間濾波模型分離表達(dá)定位源結(jié)果的空間自相關(guān)獲得更為可靠的定位結(jié)果。為了更方便表征定位源的空間布局，仿真的定位源是發(fā)射定位源，即需要布設(shè)相應(yīng)測(cè)站的定位源，仿真情景參考現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，如應(yīng)用UWB、Wi-Fi、LED、超聲波、藍(lán)牙等一系列定位源定位時(shí)均需要布設(shè)測(cè)站。

1970年，美國(guó)地理學(xué)家W.R.Tobler提出了“地理學(xué)第一定律(Everything is related to everything else，but near things are more related than distant things)”[5]，指導(dǎo)著自然地理和人文地理的觀測(cè)數(shù)據(jù)分析。室內(nèi)定位中，眾多定位源結(jié)果可以看作是多個(gè)相關(guān)隨機(jī)變量的一次實(shí)現(xiàn)。同樣，眾多定位源存在一定的空間布局及空間結(jié)構(gòu)效應(yīng)，可以統(tǒng)計(jì)解釋為定位源結(jié)果的空間自相關(guān)。空間自相關(guān)會(huì)導(dǎo)致不同定位源影響系數(shù)(回歸系數(shù))的方差膨脹效應(yīng)，方差膨脹導(dǎo)致參數(shù)估值的不確定性被低估[6]，導(dǎo)致回歸模型正確性檢驗(yàn)不顯著，定位粗差的誤判性也將大大增加。從定位系統(tǒng)功能角度，定位粗差可近似解譯為系統(tǒng)故障。Griffith(2000，2003)、Tiefelsdorf和Griffith(2007)提出了特征向量空間濾波方法，空間濾波的基本思想是通過(guò)對(duì)空間鄰接矩陣進(jìn)行特征向量分解，從中提取一組特征向量作為解釋變量或空間結(jié)構(gòu)代理變量加入模型中，這樣可以保證回歸模型滿足空間獨(dú)立性前提假設(shè)(非空間自相關(guān)假設(shè))[7，8]。該方法最大的優(yōu)勢(shì)在于利用這些代理變量有助于空間數(shù)據(jù)空間自相關(guān)性識(shí)別并分離開來(lái)，使得空間結(jié)構(gòu)效應(yīng)分離后的隨機(jī)變量間是彼此獨(dú)立的，再使用傳統(tǒng)回歸模型來(lái)分析數(shù)據(jù)?？臻g濾波的思想來(lái)源于時(shí)間序列濾波的思想，通過(guò)不同手段來(lái)分離表征時(shí)間或空間自相關(guān)性。空間統(tǒng)計(jì)及空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，空間濾波(Spatial Filtering)可以看作地理數(shù)據(jù)穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法，構(gòu)造的數(shù)理算子用于將空間結(jié)構(gòu)效應(yīng)(正向結(jié)構(gòu)信息或負(fù)向冗余影響)、趨勢(shì)和噪聲從信號(hào)中逐一分離出來(lái)，最終獲得更加自然更加準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果[8]。

本文設(shè)定一種定位源布設(shè)，在此基礎(chǔ)上展開研究。通過(guò)空間鄰接矩陣來(lái)表達(dá)定位源的空間布局，對(duì)空間鄰接矩陣進(jìn)行特征向量的分解，運(yùn)用特征向量空間濾波模型來(lái)分離定位源空間自相關(guān)。仿真結(jié)果表明，通過(guò)特征向量空間濾波模型，使得用戶定位結(jié)果和回歸系數(shù)的估值得到了明顯的提高。本文研究為定位源空間自相關(guān)的分離表達(dá)提供了一種簡(jiǎn)便可行的方法。

2 多定位源空間鄰接矩陣與特征向量空間濾波模型

2.1 定位源空間鄰接矩陣

空間鄰接矩陣(Spatial Adjacency Matrix，SAM)直接表達(dá)了定位源之間的鄰接關(guān)系或空間布局。同時(shí)，空間鄰接的確定也是度量空間相關(guān)性的基礎(chǔ)，猶如集合鄰域定義作為拓?fù)淠Ｐ偷幕A(chǔ)。基于定位源兩兩可見(無(wú)信號(hào)傳輸遮擋)來(lái)定義定位源空間鄰接矩陣。定位源之間可見，則認(rèn)為它們是空間鄰接(直接鄰接或一階鄰接)，設(shè)置權(quán)重值為1，反之，權(quán)重值為0。具體的表達(dá)式為：

(1)

其中，i和j是不同的定位源，假設(shè)有n個(gè)定位源，則空間鄰接矩陣W是n×n階。這里，假設(shè)場(chǎng)景存在12個(gè)定位源，一種定位源布局如圖1所示，圖中帶有雙向箭頭的線段表示定位源是互相可見的。由定位源布局圖以及式(1)進(jìn)而可以給出多定位源鄰接矩陣如表1所示：

圖1 室內(nèi)定位定位源布局示意圖

定位源鄰接矩陣 表1

由表1可知，定位源網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)無(wú)向圖，SAM是對(duì)稱方陣。

2.2 特征向量空間濾波模型

特征向量空間濾波模型使用了一組特征向量合成的代理變量，特征向量通過(guò)表達(dá)多定位源空間結(jié)構(gòu)關(guān)系的n×n空間鄰接矩陣W分解獲得，這些代理變量表征并分離了定位源數(shù)據(jù)空間相關(guān)性。代理或控制變量加入一個(gè)傳統(tǒng)設(shè)定模型(線性回歸模型)，就可以用于具有空間結(jié)構(gòu)的多定位源變量或觀測(cè)變量的數(shù)據(jù)融合分析。

空間統(tǒng)計(jì)中，存在兩種空間自相關(guān)性建模方式：①空間濾波中空間代理變量的回歸系數(shù)；②空間自回歸中Moran系數(shù)?？臻g濾波中，空間結(jié)構(gòu)代理變量直接來(lái)自鄰接矩陣的特征向量分解。自然地，表達(dá)空間自相關(guān)性的這兩種方法存在內(nèi)在聯(lián)系。

給出n×n空間權(quán)重矩陣W，取值為0和1，則隨機(jī)變量y的空間自相關(guān)度量可以用Moran系數(shù)表示：

(2)

寫成矩陣形式可表示為：

(3)

(4)

進(jìn)而可解得n個(gè)特征值λ=λ1，λ2，…，λn，亦可通過(guò)(W*-λI)E=0解得特征向量E，每個(gè)特征值λj都有一組對(duì)應(yīng)的特征向量Eij=E1j，E2j，…，Enj，這些特征向量的均值為0，并且互為正交。對(duì)于每個(gè)獨(dú)特的空間組合，Moran系數(shù)由對(duì)應(yīng)的特征值決定：

(5)

3 多定位源數(shù)據(jù)融合的統(tǒng)計(jì)模型及仿真分析

3.1 多定位源數(shù)據(jù)融合模型

多個(gè)定位源協(xié)同工作時(shí)，單個(gè)定位源融合以得到精度更高的用戶定位結(jié)果。我們研究應(yīng)用特征向量空間濾波分離表達(dá)不同定位源空間自相關(guān)，暫且沒(méi)有給定不同類型定位源的具體觀測(cè)方程，這里將多元線性回歸模型作為定位源數(shù)據(jù)融合模型。通常，Wi-Fi指紋匹配定位和LED等定位方式下，觀測(cè)方程均為線性觀測(cè)方程。再者，一般非線性化觀測(cè)方程可進(jìn)行線性化觀測(cè)方程。所以這里的定位源數(shù)據(jù)融合模型采用多元線性回歸模型。

假設(shè)場(chǎng)景存在6個(gè)定位源正常工作，分別記為X1，X2，X3，X4，X5，X6，最終的多定位源數(shù)據(jù)融合的統(tǒng)計(jì)模型如下表示：

Y=β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+β6X6+ε

(6)

其中，ε表示擾動(dòng)項(xiàng)，假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)為服從獨(dú)立同分布的高斯變量，Y表示最終融合的用戶定位結(jié)果。

在上述模型中加入空間代理變量后，模型結(jié)構(gòu)調(diào)整為：

Y=β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+β6X6

(7)

其中，空間代理變量Eq是從W*中提取的向量，γq是空間效應(yīng)系數(shù)。關(guān)于n維定位源向量中提取有代表性的特征向量作為空間代理項(xiàng)，Griffith(2009)給出了一種經(jīng)驗(yàn)方案，即從所有的特征向量中提取一組特征值大于某一閾值的候選特征向量，該閾值滿足下列Moran系數(shù)條件式(8)：

I/Imax>0.25

(8)

上式中I是通過(guò)式(5)求出的Moran系數(shù)，Imax為Moran系數(shù)最大值。

3.2 特定空間布局的多定位源仿真數(shù)據(jù)生成

正如引言中提到的，定位源結(jié)果是存在一定空間自相關(guān)的。所以在本文研究中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用高斯分布空間自相關(guān)隨機(jī)變量的計(jì)算機(jī)抽樣隨機(jī)數(shù)。由于高斯分布具有線性變換下保持分布規(guī)律不變的性質(zhì)，因此多維相關(guān)高斯分布隨機(jī)數(shù)可以通過(guò)協(xié)方差矩陣的Cholesky因子對(duì)獨(dú)立高斯分布隨機(jī)變量抽樣序列進(jìn)行線性變換來(lái)產(chǎn)生[9～14]。令每個(gè)變量Xi(i=1，2，…，n) 均為m個(gè)隨機(jī)數(shù)序列構(gòu)成的列向量，Xm×n=(X1，X2，…，Xn)為需要產(chǎn)生的n維統(tǒng)計(jì)相關(guān)的高斯分布隨機(jī)變量抽樣序列，其均值為μ=(μ1，μ2，…，μn)，協(xié)方差矩陣為：

(9)

則產(chǎn)生隨機(jī)變量X的n維相關(guān)高斯分布的隨機(jī)數(shù)步驟如下：

(1)產(chǎn)生n維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)高斯分布隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)，Ym×n=(Y1，Y2，…，Yn)，每個(gè)序列的隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)為m；

(3)進(jìn)行線性變換，令：

Xm×n=Ym×n·Cv+μm×n

(10)

即可生成n維相關(guān)高斯分布隨機(jī)變量Xm×n=(X1，X2，…，Xn)抽樣序列。

4 室內(nèi)定位多源數(shù)據(jù)融合的場(chǎng)景仿真分析

相對(duì)于室外定位，比如在大型商場(chǎng)、電影院、展館、機(jī)場(chǎng)等室內(nèi)環(huán)境相當(dāng)復(fù)雜，外界干擾無(wú)法控制。運(yùn)用仿真分析方法可控制上述無(wú)法預(yù)測(cè)的環(huán)境干擾，實(shí)現(xiàn)局部環(huán)節(jié)技術(shù)的針對(duì)性研究。因而，本文研究場(chǎng)景采用仿真的方式實(shí)現(xiàn)，定位源布局采用2.1中的解決方案。

4.1 多元線性回歸模型仿真

根據(jù)3.2章節(jié)內(nèi)容生成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，假設(shè)場(chǎng)景有6個(gè)定位源工作，假設(shè)它們定位結(jié)果均值分別為 0.8 m、1.7 m、1.0 m、0.5 m、1.6 m、0.7 m，定位源融合后均值為 1.0 m。協(xié)方差矩陣為設(shè)定的滿足對(duì)稱正定7×7矩陣。令式(10)中的m=12，n=7，將X12×7矩陣中的第7列作為多定位源數(shù)據(jù)融合結(jié)果，X12×7矩陣中的第1～第6列作為各個(gè)定位源結(jié)果。生成的這些數(shù)據(jù)均為高斯分布相關(guān)隨機(jī)變量的樣本，對(duì)其應(yīng)用多元線性回歸分析，顯著性水平α=0.01，得到結(jié)果如表2所示：

傳統(tǒng)多元線性回歸模型估計(jì)結(jié)果 表2

表2中，R2表示判定系數(shù)，R2越接近1說(shuō)明回歸方程越顯著；F表示統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)值越大，說(shuō)明回歸方程越顯著，p值越小說(shuō)明模型參數(shù)越顯著，RMSE表示多定位源數(shù)據(jù)融合結(jié)果的中誤差。

4.2 特征向量空間濾波模型仿真

在4.1的基礎(chǔ)上，在一般多元線性回歸變量中根據(jù)式(8)加入空間代理變量，再次進(jìn)行特征向量空間濾波模型ESF分析，回歸分析結(jié)果如表3所示：

空間濾波模型估計(jì)結(jié)果 表3

以上結(jié)果均是在0.01顯著性水平下得到的估計(jì)結(jié)果。顯然，由表2和表3對(duì)比可以看出，在傳統(tǒng)多元回歸模型的基礎(chǔ)上加入空間代理變量后的空間濾波模型，衡量模型擬合優(yōu)度的判決系數(shù)R2從 0.701 9提高至 0.946 7，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量從 37.689 5增大到 58.324 9。RMSE從 1.437 4 m降低到 1.121 0 m。其次，空間濾波模型回歸系數(shù)估計(jì)值以及回歸系數(shù)置信區(qū)間相對(duì)于多元線性回歸系數(shù)估計(jì)值以及置信區(qū)間也有所改善。

5 結(jié)論與展望

應(yīng)用特征向量空間濾波，我們將多定位源空間布局這一重要因素通過(guò)空間代理變量加入多元線性回歸模型中，進(jìn)行多定位源數(shù)據(jù)融合分析。仿真分析表明，在多元線性回歸模型的基礎(chǔ)上加入空間代理變量可分離表征回歸原始解釋變量的空間自相關(guān)，消除回歸變量系數(shù)估計(jì)的方差膨脹。特征向量空間濾波模型更加顯著(統(tǒng)計(jì)模型更加符合實(shí)際定位源數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu))，融合定位精度得到了進(jìn)一步提高。

事實(shí)上，考慮空間結(jié)構(gòu)信息(空間自相關(guān)效應(yīng))，不僅可以改善統(tǒng)計(jì)推斷(參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn))準(zhǔn)確性，而且可以優(yōu)化統(tǒng)計(jì)抽樣設(shè)計(jì)(即室內(nèi)定位的定位源網(wǎng)絡(luò)布設(shè)方案設(shè)計(jì))。室內(nèi)定位融合分析(統(tǒng)計(jì)推斷)與室內(nèi)定位源布設(shè)(統(tǒng)計(jì)抽樣)存在辯證關(guān)系，優(yōu)化室內(nèi)定位源布局有助于提高室內(nèi)定位精度。下一步，我們將繼續(xù)考慮特征向量空間濾波模型來(lái)優(yōu)化室內(nèi)定位源觀測(cè)網(wǎng)絡(luò)布局。