江秀紅， 段富海， 胡愛玲

(1.沈陽航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110136； 2.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 116024)

0 引言

目前，針對復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性分析一般假設(shè)系統(tǒng)及其組成單元只有成功和故障兩種狀態(tài)。例如常用的可靠性框圖和故障樹(FTA)等系統(tǒng)可靠性分析方法，一般將研究對象劃分為成功和故障兩種狀態(tài)，用“是”與“否”的二值邏輯關(guān)系來描述系統(tǒng)能否完成規(guī)定的功能。近年來，系統(tǒng)日益朝著大型化、復(fù)雜化、精密化、智能化的方向發(fā)展，這時再將系統(tǒng)及其組成單元粗略的劃分為兩種狀態(tài)，顯然不符合實際情況，也不能很好地解決復(fù)雜系統(tǒng)的諸多可靠性分析問題[1]。

多態(tài)系統(tǒng)(MSS)是指具有兩種以上性能狀態(tài)(或稱工作效率狀態(tài))的系統(tǒng)[2-3]。與二態(tài)系統(tǒng)相比，MSS能夠更好地揭示系統(tǒng)潛在的失效機理、預(yù)測系統(tǒng)剩余壽命[2]。但MSS的非布爾邏輯屬性增加了系統(tǒng)可靠性分析難度，目前MSS采用的可靠性建模和分析方法主要有4大類：1) 基于二態(tài)系統(tǒng)布爾模型擴展出的多值模型[4-6]；2) 隨機過程模型[7-9]；3) 通用生成函數(shù)(UGF)[10-11]；4)隨機仿真等[12-13]。GO法是一種有效的系統(tǒng)可靠性分析方法，非常適合解決多態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)可靠性建模分析問題，目前已在核電、電網(wǎng)配電、軌道交通等高可靠領(lǐng)域得到成功應(yīng)用[14-16]。但縱觀現(xiàn)有的17種GO操作符，并不存在能模擬任意多態(tài)單元的操作符，尤其是對輸入輸出存在復(fù)雜映射關(guān)系的多態(tài)單元建模時，現(xiàn)有GO操作符仍顯不足。為滿足MSS可靠性建模的需求，有必要引入新的GO操作符模型。

本文首先介紹了多態(tài)系統(tǒng)的定義，然后引入多態(tài)操作符的概念，給出其運算規(guī)則和定量算式。分別以某供水系統(tǒng)和捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)為例，基于多態(tài)操作符建立系統(tǒng)的可靠性分析模型，并通過仿真計算給出了多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果，驗證了所提多態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析方法的可行性。

1 多態(tài)系統(tǒng)

某MSS由n個單元(元件、部件或子系統(tǒng))構(gòu)成，其中單元i具有mi個可能的性能狀態(tài)，其狀態(tài)集合可以表示為

si={si,1,si,2,…,si,j,…,si,mi} ，

(1)

式中：si∈S，S為系統(tǒng)可能的狀態(tài)取值；si,j表示單元i處于狀態(tài)j. 單元i在時刻t處于各狀態(tài)的概率可表示為

Pi(t)={Pi,1(t),Pi,2(t),…,Pi,j(t),…,Pi,mi(t)}，

(2)

式中：Pi,j(t)為單元i在時刻t處于狀態(tài)j的概率。系統(tǒng)輸出狀態(tài)ss∈S，且ss是各單元狀態(tài)si的函數(shù)，即

ss=ψ(s1,s2,…,sn)=ψ(s):{s1,1,s1,2,…,s1,m1}×…× {sn,1,sn,2,…,sn,mn}→{1,2,…,N},

(3)

式中：ψ(·)為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。對ψ(·)作如下假設(shè)：1) 結(jié)構(gòu)函數(shù)是單調(diào)的；2) 所有單元相互獨立，并且與系統(tǒng)相關(guān)。

2 多態(tài)操作符

2.1 現(xiàn)有GO操作符存在的不足

GO法通過把原理圖、流程圖或工程圖翻譯成GO圖，利用操作符和信號流來描述具體單元的運行和邏輯關(guān)系，最后根據(jù)操作符的運算規(guī)則實現(xiàn)系統(tǒng)可靠性的定量分析。

GO法包含表征單元輸入輸出不同邏輯關(guān)系的17類操作符，但除信號發(fā)生器和多信號發(fā)生器外(類型4和類型5)，其余操作符或是邏輯操作符(類型2，類型10，類型11)；或是類似于邏輯操作符，僅對輸入信號進行各種處理以產(chǎn)生輸出(類型8，類型9，類型12，類型13，類型14，類型15)；或是雖模擬具體單元，但要求單元的狀態(tài)數(shù)不超過3(類型1，類型3，類型6，類型7，類型16，類型17)。因此GO法中并不存在能模擬任意多態(tài)單元的操作符，同樣也無法為多態(tài)系統(tǒng)構(gòu)建出準(zhǔn)確的可靠性分析模型。雖然類型13操作符從定義來看能模擬單元更廣泛、更復(fù)雜的功能，原則上可以用該操作符來模擬多態(tài)單元的功能(多態(tài)單元的狀態(tài)數(shù)據(jù)作為該操作符的一個輸入)，但是該操作符由于運算規(guī)則較復(fù)雜，故應(yīng)用較少。鑒于此，下面引入一類新的GO操作符—多態(tài)操作符。

2.2 相關(guān)定義

仍沿用GO法對狀態(tài)的定義，用整數(shù)1～N來表示各性能狀態(tài)，1代表成功，N代表失效；2～(N-1)表示介于成功和失效間的(N-2)個中間狀態(tài)。

定義1聯(lián)合狀態(tài)矩陣。兩獨立單元各具有mi個狀態(tài)，且狀態(tài)xi∈S，S={1,2，…，N}，i=1,2，兩單元構(gòu)成系統(tǒng)的輸出狀態(tài)為xs=ψ(x1,x2)，則系統(tǒng)輸出狀態(tài)與兩單元狀態(tài)之間的關(guān)系用矩陣表示為

(4)

矩陣XS中元素為兩獨立單元不同狀態(tài)組合下對應(yīng)的系統(tǒng)輸出狀態(tài)值，m1×m2個元素遍歷了兩單元所有可能的狀態(tài)組合，稱XS為兩獨立單元的聯(lián)合狀態(tài)矩陣。ψ(x1,x2)可根據(jù)單元的實際工作情況來確定。

例如，圖1為某三單元MSS可靠性框圖。若單元間的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

圖1 某三單元MSS的可靠性框圖
Fig.1 Block diagram of reliability of some MSS with three units

x

1

與

x

2

的聯(lián)合狀態(tài)矩陣

以及與

x

3

作用后的聯(lián)合狀態(tài)矩陣

X

S

分別為

s1～s4代表4個臨時狀態(tài)。

(5)

2.3 多態(tài)操作符

圖2 多態(tài)操作符
Fig.2 Multi-state operator

基于以上定義引出多態(tài)操作符，其符號如圖2所示，圖中

S

I

為輸入信號，

S

O

為輸出信號，多態(tài)操作符模擬具有

N

個狀態(tài)的單元，其中

N

為大于等于2的整數(shù)。運算規(guī)則如表1所示，表中：

x

I

為輸入信號的狀態(tài)值，假設(shè)有

m

1

個狀態(tài)，分別為

S

I,1

,

S

I,2

, …,

S

I,m1

；

x

C

為操作符所代表單元的狀態(tài)值，假設(shè)有

m

2

個狀態(tài)，分別為

S

C,1

,

S

C,2

, …,

S

C,m2

；

x

O

為輸出信號的狀態(tài)值。

表1 多態(tài)操作符的運算規(guī)則Tab.1 Algorithm of multi-state operator

(6)

3 算例

3.1 算例1：某供水系統(tǒng)可靠性分析

3臺水泵正常工作時的流量均為10 t/s，降級工作時流量為5 t/s，出現(xiàn)失效時流量降為0 t/s. 現(xiàn)利用3臺水泵給某設(shè)備供水，當(dāng)供水量WS≥20 t/s時，設(shè)備正常工作；當(dāng)10 t/s≤WS<20 t/s時，設(shè)備降級工作；當(dāng)WS<10 t/s時，設(shè)備停止工作。已知3臺水泵正常工作的概率均為0.80，降級工作的概率為0.15，停止工作的概率為0.05，求設(shè)備處于正常、降級和失效3種狀態(tài)的概率。

由已知條件，水泵有3個狀態(tài)：正常狀態(tài)1(10 t/s)、降級狀態(tài)2(5 t/s)和失效狀態(tài)3(0 t/s)；設(shè)備也有對應(yīng)的3個狀態(tài)：正常狀態(tài)1(供水量≥20 t/s)、降級狀態(tài)2(20 t/s>供水量≥10 t/s)和失效狀態(tài)3(供水量<10 t/s)。此系統(tǒng)具有多個輸入多個狀態(tài)，可采用本文所引入的多態(tài)操作符進行系統(tǒng)可靠性分析：

1) 畫出系統(tǒng)GO圖，如圖3所示。操作符5-1、操作符5-2、操作符18-3分別表示水泵1～水泵3，操作符5-1和操作符5-2合并后的輸出信號，再與操作符18-3作運算。

圖3 供水系統(tǒng)GO圖Fig.3 GO diagram of water supply system

2) 確定各操作符的狀態(tài)概率矩陣：

3) 計算3個水泵輸出的聯(lián)合狀態(tài)矩陣XS：

4) 計算3個水泵間的聯(lián)合狀態(tài)概率矩陣：

5) 計算輸出信號SO的狀態(tài)概率矩陣：

因此3個水泵供水量≥20 t/s(設(shè)備正常工作)的概率為0.950 0，20 t/s>供水量≥10 t/s(設(shè)備降級工作)的概率是0.048 7，供水量<10 t/s(設(shè)備發(fā)生失效)的概率是0.001 3.

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(BN)具有圖形化表達和不確定性推理的優(yōu)勢，近年來也成功應(yīng)用于多態(tài)系統(tǒng)的可靠性分析。下面采用BN對算例1進行可靠性分析[17]。首先建立系統(tǒng)的BN模型如圖4所示。

C1C2C3X|C1,C2,C3C1C2C3X|C1,C2,C3111122321121231211312322121123331221311112323122131131321322321213323222211132332121331221323323221133332222

圖4 供水系統(tǒng)的BN模型

Fig.4 BN model of water supply system

結(jié)點C1、C2、C3代表基本事件水泵供水，X表示需水設(shè)備，水泵及需水設(shè)備的狀態(tài)劃分與前文相同。分別給定水泵3種狀態(tài)的初始概率，并以C1、C2、C3的不同狀態(tài)為條件，用條件概率表分析結(jié)點X的狀態(tài)，即P(C1=1)=P(C2=1)=P(C3=1)=0.80，P(C1=2)=P(C2=2)=P(C3=2)=0.15，P(C1=3)=P(C2=3)=P(C3=3)=0.05.

系統(tǒng)狀態(tài)為1時的概率可表示為

P(X=1)=P(C1=1)P(C2=1)+P(C1=1)P(C2=2)· [1-P(C3=3)]+P(C1=1)P(C2=3)P(C3=1)+P(C1=2)P(C2=1)[1-P(C3=3)]+P(C1=2)P(C2=2)P(C3=1)+P(C1=3)P(C2=1)P(C3=1)=0.95，

同樣，可得系統(tǒng)狀態(tài)為2和3時的概率分別為P(X=2)=0.048 7、P(X=3)=0.001 3.

此結(jié)果與本文所提算法計算結(jié)果一致，但本文的多態(tài)操作符與BN等傳統(tǒng)方法相比，在以下3個方面更具有優(yōu)勢：

1)多態(tài)操作符對單元的狀態(tài)維數(shù)和系統(tǒng)復(fù)雜度不敏感，只要能確定單元的結(jié)構(gòu)函數(shù)及狀態(tài)概率數(shù)據(jù)，沿信號流的流向，按多態(tài)操作符的算式逐一計算，即可獲得系統(tǒng)最終輸出信號的概率數(shù)據(jù)。

2)多態(tài)操作符可描述輸入輸出間的多種復(fù)雜映射關(guān)系，能更好地模擬具有復(fù)雜邏輯關(guān)系的單元。

3)若單元的結(jié)構(gòu)函數(shù)發(fā)生變化，則只需調(diào)整聯(lián)合狀態(tài)矩陣及相應(yīng)的布爾矩陣，無需推翻先前設(shè)計好的計算程序。

3.2 算例2：某慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性分析

圖5是某慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的簡化GO圖，該系統(tǒng)更為復(fù)雜，且存在冗余。

表2為圖5 GO操作符的數(shù)據(jù)信息(冗余單元具有相同的概率分布)。表2中λi,0為轉(zhuǎn)移到提前狀態(tài)的瞬時概率，λi,2、λi,3為轉(zhuǎn)移到兩種故障狀態(tài)的瞬時概率，λi,1=1-λi,0-λi,2-λi,3為轉(zhuǎn)移到成功狀態(tài)的瞬時概率。

圖5 某SINS的簡化GO圖Fig.5 Simplified GO diagram of some SINS

表2 操作符狀態(tài)轉(zhuǎn)移率Tab.2 Operator state transition probability

假設(shè)采樣時間Δt=1 h，則部分單元和系統(tǒng)(以控顯臺輸出信息有效為成功目標(biāo))的動態(tài)可靠性輸出曲線如圖6所示，表3列出了部分可靠性分析數(shù)據(jù)。由圖6和表3可見，隨著時間t的增長，各單元以及系統(tǒng)的可靠度(狀態(tài)1)逐漸降低，完全失效概率(狀態(tài)3)升高。當(dāng)t=1 265 h時系統(tǒng)可靠度低于0.99，當(dāng)t=4 918 h時系統(tǒng)可靠度低于0.95.
表3中t=4 918△h所在行表示所有單元為最小配置(無冗余)時的可靠性數(shù)據(jù)，此時系統(tǒng)可靠度僅為1.657×10-2. 與t=4 918 h所在行的數(shù)據(jù)對比可見(存在冗余)，多單元復(fù)雜系統(tǒng)中，關(guān)鍵單元的冗余配置對于提高系統(tǒng)可靠性具有至關(guān)重要的作用。

圖6 單元和系統(tǒng)的動態(tài)可靠性輸出曲線Fig.6 Dynamic reliability curves of components and system

4 結(jié)論

為提高GO法構(gòu)建多態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析模型的準(zhǔn)確性與靈活性，本文補充了一種新的GO操作符—多態(tài)操作符。給出了該操作符的運算規(guī)則和定量算式，并將所提的多態(tài)操作符應(yīng)用于某供水系統(tǒng)和慣導(dǎo)系統(tǒng)進行了可靠性分析，結(jié)果驗證了所提多態(tài)操作符的可行性，評價結(jié)果可為系統(tǒng)和單元性能的實時準(zhǔn)確判斷提供可信依據(jù)。所得主要結(jié)論如下：

表3 部分單元和系統(tǒng)的動態(tài)可靠性數(shù)據(jù)Tab.3 Reliability data of some components and system

1)多態(tài)操作符可實現(xiàn)輸入與輸出間的多種復(fù)雜映射關(guān)系，彌補了GO操作符存在的不足，理論上可替代GO法中的任何一種操作符。

2)多態(tài)操作符對狀態(tài)維數(shù)和系統(tǒng)的復(fù)雜程度不敏感，只要單元的結(jié)構(gòu)函數(shù)和狀態(tài)概率確定，便可獲得系統(tǒng)最終輸出信號的狀態(tài)概率數(shù)據(jù)。

3)當(dāng)單元的結(jié)構(gòu)函數(shù)發(fā)生變化時，無需推翻先前的程序設(shè)計，提高了程序的可移植性。