劉雷， 姚建勇， 馬大為， 王廣文

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

電液位置伺服系統(tǒng)具有抗負(fù)載剛性大、響應(yīng)快及功率密度大等突出優(yōu)點(diǎn)，在國防和很多重要民用工業(yè)領(lǐng)域[1-2]都得到了廣泛應(yīng)用。同時(shí)電液位置伺服系統(tǒng)也是一個(gè)典型多因素影響的強(qiáng)不確定非線性系統(tǒng)[3-4]，包含許多非線性特性和模型不確定性[5]，其中模型不確定性又可分為參數(shù)不確定性[6]和不確定性非線性[7]兩類。近年來，隨著電液位置伺服系統(tǒng)向高精度、高頻響的方向發(fā)展，對系統(tǒng)跟蹤性能的要求越來越高，電液位置伺服系統(tǒng)中固有的非線性特性和各種不確定性因素，尤其是系統(tǒng)存在高頻干擾和傳感器測量噪聲，使得傳統(tǒng)的線性控制策略難以滿足系統(tǒng)的高性能要求，迫切需要先進(jìn)的非線性控制策略。

為了獲得高性能的跟蹤效果，各種非線性控制方法相繼被提出。針對系統(tǒng)存在的非線性特性，反饋線性化控制策略被引入，通過在控制器設(shè)計(jì)中對非線性項(xiàng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償以使誤差動(dòng)態(tài)線性化。由于自適應(yīng)控制技術(shù)處理參數(shù)不確定性問題的優(yōu)越性，考慮到系統(tǒng)的不確定性，許多學(xué)者提出了各種自適應(yīng)控制器，如基于反演設(shè)計(jì)[8]的非線性自適應(yīng)控制、自適應(yīng)反饋線性化技術(shù)、自適應(yīng)魯棒、期望補(bǔ)償[9]以及基于干擾觀測器的控制[10]等。這些控制器不僅很好地解決了不確定性系統(tǒng)的控制問題，而且相比于線性控制器有更好的控制性能。實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械柔度、高壓流體的流態(tài)等均表現(xiàn)為高頻干擾，加之傳感器本身的精度，難以保證準(zhǔn)確地測量物理量，系統(tǒng)很難取得滿意的跟蹤性能。為了保證系統(tǒng)的跟蹤誤差，通常會(huì)增大自適應(yīng)律增益，但這在實(shí)際運(yùn)用中很可能激發(fā)高頻顫振，進(jìn)而引發(fā)系統(tǒng)的不穩(wěn)定，甚至發(fā)散[11]。Yucelen等[12-13]提出了基于參考模型的低頻學(xué)習(xí)自適應(yīng)控制理論，在系統(tǒng)不發(fā)生高頻顫振的情況下，通過提高增益達(dá)到快速自適應(yīng)的目的，并通過仿真驗(yàn)證了這種低頻學(xué)習(xí)方法[14-15]的有效性。

基于以上分析，本文針對電液位置伺服系統(tǒng)存在的高頻干擾和傳感器測量噪聲導(dǎo)致傳統(tǒng)自適應(yīng)控制參數(shù)收斂性差、性能一致性低等問題，提出一種基于低頻學(xué)習(xí)的魯棒自適應(yīng)控制策略。通過在傳統(tǒng)自適應(yīng)律基礎(chǔ)上引入基于低通濾波的修正項(xiàng)，以盡可能消除自適應(yīng)律中的高頻成分，調(diào)整修正增益，從而使得系統(tǒng)自適應(yīng)參數(shù)穩(wěn)定收斂，提高系統(tǒng)跟蹤性能。

1 系統(tǒng)建模與問題描述

電液位置伺服系統(tǒng)如圖1所示，其慣性負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

圖1 電液位置伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of electro-hydraulic position servo system

忽略外部泄露，液壓缸左右兩腔的壓力動(dòng)態(tài)方程為

(2)

式中：VL和VR分別為液壓缸左右兩腔的容積，VL=VL0+Ay，VR=VR0-Ay，VL0和VR0分別為液壓缸兩腔初始容積；βe為液壓油的有效彈性模量；qL和qR分別為左右兩腔的建模誤差；Δq為內(nèi)部泄露量，Δq=CtΔp，Ct為液壓缸內(nèi)泄露系數(shù)。

Qs和Qr與伺服閥的閥芯位移xv的關(guān)系為

(3)

式中：kq為流量增益；

(4)

由于實(shí)驗(yàn)使用的是高頻響伺服閥，其閥芯位移與輸入近似為比例環(huán)節(jié)，即xv=kiu，ki為位置常數(shù)，因此從(4)式可知，s(xv)=s(u)，進(jìn)而(3)式可以寫為

(5)

式中：kt=kqki為總流量增益。

(6)

對于大多數(shù)應(yīng)用場合，結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化的不確定性程度是已知的，因此以下假設(shè)總是成立的。

假設(shè)1電液位置伺服系統(tǒng)在正常工況下工作，兩腔壓力pL和pR需滿足0

假設(shè)2期望位置指令3階連續(xù)且可微。

假設(shè)2為基于模型的非線性控制基本假設(shè)，現(xiàn)實(shí)中不連續(xù)的測試信號(hào)(如階躍信號(hào)等)可通過恰當(dāng)?shù)能壽E規(guī)劃來滿足此假設(shè)。

假設(shè)3系統(tǒng)參數(shù)集滿足

θ∈Ωθ={θ:θmin≤θ≤θmax}，

(7)

式中：θmin=[θ0min,θ1min,θ2min,θ3min]T、θmax=[θ0max,θ1max,θ2max,θ3max]T是已知的；Ωθ表示參數(shù)范圍的集合。

假設(shè)4f(x,t)足夠光滑且滿足

|f(x,t)|≤d，

(8)

式中：d為擾動(dòng)的上界且為未知常數(shù)。

在設(shè)計(jì)之前，引入一個(gè)足夠光滑的單調(diào)函數(shù)w(t)且滿足：

(9)

式中：μ、μ*為正常數(shù)。

2 控制器的設(shè)計(jì)

(10)

式中：i=0,1,2,3；τi為自適應(yīng)函數(shù)。令

(11)

式中：Γ為對角自適應(yīng)矩陣，其具有以下屬性：

(12)

定義如下誤差變量：

(13)

結(jié)合(6)式和(13)式可得

(14)

基于(6)式，設(shè)計(jì)的實(shí)際控制輸入和自適應(yīng)函數(shù)τ分別為u=ua+us和τ=φz3，

(15)

式中：ua為模型補(bǔ)償項(xiàng)；us為魯棒項(xiàng)；k3和ks均為正的反饋增益；為d的估計(jì)；w(t)>0為單調(diào)遞減函數(shù)；φ=[1,x2,x3,ua]T為回歸向量。

3 新型參數(shù)自適應(yīng)律的設(shè)計(jì)

(16)

式中：Γf>0為參數(shù)自適應(yīng)增益。

J(,

(17)

J(,f)為關(guān)于的負(fù)梯度，即修正項(xiàng)的結(jié)構(gòu)：

(18)

將(18)式代入(11)式，得

(19)

式中：σ>0為修正系數(shù)。

4 穩(wěn)定性證明

選取Lyapunov函數(shù)

(20)

(21)

最后根據(jù)引理及運(yùn)用楊氏不等式，將(16)式、(19)式代入(21)式，整理可得

(22)

對(21)式積分可得

(23)

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

5.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)及性能指標(biāo)

為驗(yàn)證所提的控制策略，實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用4種性能測量指標(biāo)(最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、歸一化的控制輸入變化量)來評(píng)價(jià)跟蹤的性能，分別定義如下：

1) 跟蹤誤差的最大絕對值Me：

(24)

式中：N為記錄的數(shù)字信號(hào)數(shù)量。

2) 跟蹤誤差的平均值ε：

(25)

3) 跟蹤誤差的標(biāo)準(zhǔn)差δ：

(26)

4) 歸一化的控制輸入變化量Lc：

(27)

式中：u(i)為控制輸入；Δt為采樣間隔。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示，液壓缸系統(tǒng)參數(shù)見文獻(xiàn)[16-18]，(0)=[0 m2·Pa/(s·kg)，-10 000 m·Pa/K，-40 N·s/(m·kg)，210 m2·Pa/(s·V·kg)]T，θmax=[100 m2·Pa/(s·kg)，1×106m·Pa/K，100 N·s/(m·kg)，600 m2·Pa/(s·V·kg)]T，θmin=[-1.2×106m2·Pa/(s·kg)，-1×108m·Pa/K，-1×107N·s/(m·kg)，8 m2·Pa/(s·V·kg)]T，1(0)=0 m2·Pa/(s·kg). 其中，向量(0)中各元素代表參數(shù)θ的初始估計(jì)值，1(0)代表參數(shù)d1的初始估計(jì)值?？紤]到實(shí)驗(yàn)臺(tái)采用的是高精度傳感器，一般工程應(yīng)用中傳感器的精度比較低，為了與實(shí)際狀況具有可比性，不失一般性，以及驗(yàn)證所提出算法的有效性，采用數(shù)字模擬的形式在實(shí)驗(yàn)室傳感器測得的物理量中加入高頻噪聲和高頻干擾模擬信號(hào)，在所有測試工況中均選擇幅值為1×10-5～1×10-4的虛擬隨機(jī)高頻白噪聲信號(hào)，并將之加入實(shí)際系統(tǒng)位置測量中。

圖2 電液位置伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Experimental platform for electro-hydraulic position servo system

選取以下3種控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比：

1)基于低頻學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)含有修正項(xiàng)的魯棒自適應(yīng)控制器(MRAC)，具體形式為(15)式、(19)式；

2)電液位置伺服系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)控制器(RAC)，具體形式為(11)式、(15)式；

3)電液位置伺服系統(tǒng)速度前饋PI控制器(VFPI)，具體形式為

(28)

式中：e1(t)=x1-xd為位置誤差；kv=35.55 s·V/mm為系統(tǒng)速度常數(shù)；kP、kI分別為比例常數(shù)、積分常數(shù)。

5.2 0.5 Hz工況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選取期望指令信號(hào)xd=10arctan(sin(πt))·(1-e-t)/0.785 4 mm. 各控制策略參數(shù)取值如下：

1)MRAC參數(shù)：k1=1 800，k2=600，k3=105，ks=1，λ=0.01，Γ0=1 000 m·Pa/kg，Γ1=1.15×106s·Pa/kg，Γ2=2.65×104N·s2/kg，Γ3=5×10-4m·Pa/(V·kg)，σ0=5×10-6s-1，σ1=1×10-8s-1，σ2=0.15 s-1，σ3=1×10-6s-1，Γf0=5 m·Pa/kg，Γf1=2 s·Pa/kg，Γf2=2 N·s2/kg，Γf3=0.5 m·Pa/(V·kg)；

2)RAC參數(shù)：k1=1 800，k2=600，k3=105，ks=1，Γ0=1 000 m·Pa/kg，Γ1=1.15×106s·Pa/kg，Γ2=2.65×104N·s2/kg，Γ3=5×10-4m·Pa/(V·kg)，λ=0.01；

3)VFPI參數(shù)：kP=8 000，kI=2 000.

圖3 0.5 Hz工況下參數(shù)θ和d1估計(jì)Fig.3 θ and d1 estimations at 0.5 Hz

圖3所示為參數(shù)自適應(yīng)過程，從圖3可以看出，相比于傳統(tǒng)的RAC，帶有修正項(xiàng)的MRAC可以濾除系統(tǒng)中的高頻成分，使參數(shù)自適應(yīng)的收斂更穩(wěn)定，有效地防止了參數(shù)的漂移，同時(shí)在控制策略設(shè)計(jì)中補(bǔ)償了此修正的影響，確保了系統(tǒng)的跟蹤精度。圖4所示為各控制器輸入的變化情況，圖5所示為各控制器作用下系統(tǒng)位置的跟蹤誤差對比，表1為最后兩個(gè)跟蹤周期的各項(xiàng)性能指標(biāo)。由以上數(shù)據(jù)可知，本文所提出的MRAC控制效果在跟蹤誤差的最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差等方面均優(yōu)于RAC和VFPI.
圖6為MRAC作用系統(tǒng)的壓力曲線。

圖4 0.5 Hz工況下控制輸入對比圖Fig.4 Comparison of control inputs at 0.5 Hz

圖5 0.5 Hz工況下跟蹤誤差對比圖Fig.5 Comparison of tracking errors at 0.5 Hz表1 0.5 Hz工況下性能指標(biāo)表Tab.1 Performance indices at 0.5 Hz

控制策略Me/mmμ/mmδ/mmLc/mmVFPI0.06820.01950.01260.0106RAC0.04380.00870.00720.0099MRAC0.03590.00730.00570.0099

圖6 0.5 Hz工況下MRAC壓力曲線圖Fig.6 Pressure signals of MRAC system at 0.5 Hz

5.3 0.2 Hz工況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

系統(tǒng)參數(shù)取值同0.5 Hz工況，期望指令信號(hào)為xd=10arctan(sin(0.4πt))(1-e-t)/0.785 4 mm，0.2 Hz工況中各控制策略參數(shù)取值同0.5 Hz工況。

3種控制器作用下系統(tǒng)位置的跟蹤誤差如圖7所示，其各項(xiàng)性能指標(biāo)如表2所示。由于MRAC中的修正項(xiàng)可以濾除系統(tǒng)中的高頻成分，頻率越高干擾的頻率也隨之升高，此時(shí)這種控制器的作用越明顯，可以看出MRAC的控制性能整體上優(yōu)于其他兩種控制器，且相比于上述兩種工況，控制輸入的顫抖惡化程度更小。由此可以看出MRAC的控制性能整體上優(yōu)于其他兩種控制器。

圖7 0.2 Hz工況下跟蹤誤差對比圖Fig.7 Comparison of tracking errors at 0.2 Hz 表2 0.2 Hz工況下性能指標(biāo)表Tab.2 Performance indexes at 0.2 Hz

控制策略Me/mmμ/mmδ/mmLc/mmVFPI0.01830.00370.00290.3080RAC0.01950.00660.00270.2794MRAC0.01520.00660.00240.2739

6 結(jié)論

本文根據(jù)液壓缸非線性數(shù)學(xué)模型建立了狀態(tài)方程，基于狀態(tài)方程，經(jīng)過一系列公式推導(dǎo)出了魯棒自適應(yīng)控制器；針對高頻干擾和傳感器測量噪聲引起的傳統(tǒng)自適應(yīng)控制參數(shù)收斂性差、性能一致性低等問題，在魯棒自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)上，提出一種基于低頻學(xué)習(xí)的控制策略，并且基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。得出以下結(jié)論：

1)設(shè)計(jì)的修正項(xiàng)可以濾除自適應(yīng)律中的高頻成分，避免由此引起的高頻顫振，有效降低了參數(shù)的高頻波動(dòng)，防止了自適應(yīng)參數(shù)的漂移，同時(shí)控制輸入的顫抖程度得到了有效的改善。

2)基于低頻學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)控制器保留了漸進(jìn)跟蹤的性能，對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明跟蹤誤差幅值也有較大程度的降低。

考慮到液壓管路的動(dòng)態(tài)、伺服閥自激諧振等因素會(huì)對電液位置伺服系統(tǒng)高頻動(dòng)態(tài)行為產(chǎn)生重要影響，后續(xù)將針對這些影響因素開展更深入的研究。