宋 松 柏

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100; 2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 楊凌 712100)

水文頻率計(jì)算是綜合運(yùn)用水文學(xué)、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)和其它數(shù)學(xué)原理，利用計(jì)算區(qū)的水文資料，分析水文事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，定量表征水文變量設(shè)計(jì)值與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)(頻率或重現(xiàn)期)之間的關(guān)系，是各類涉水工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)確定工程規(guī)模和管理決策的主要依據(jù)[1-2]。Foster H A認(rèn)為水文頻率計(jì)算始于1880年—1890年期間[3]，Herschel C和Freeman G H應(yīng)用歷時(shí)曲線(現(xiàn)稱為頻率曲線)第一次進(jìn)行徑流序列頻率分析[3]。1896年，Horton R E根據(jù)Rafter G W的建議，采用正態(tài)分布在對(duì)數(shù)格紙上進(jìn)行徑流序列適線研究。1913年，F(xiàn)uller W E采用半對(duì)數(shù)格紙進(jìn)行重現(xiàn)期與徑流序列設(shè)計(jì)值的適線研究，一些學(xué)者認(rèn)為這是首次進(jìn)行綜合性水文頻率計(jì)算。1921年，Hazen A采用正態(tài)分布概率對(duì)數(shù)格紙進(jìn)行適線[3]。1924年，F(xiàn)oster提出了P-III分布分析方法，并計(jì)算出離均系數(shù)表格供計(jì)算者使用。1935年，前蘇聯(lián)克里茨基和門克爾提出組合概率近似分析法，是最早的水文多元概率分布研究[3]。按照金光炎的文獻(xiàn)[3]，1932年，周鎮(zhèn)綸[4]應(yīng)用美國(guó)雨量站資料，繪制了正態(tài)分布和P-III分布曲線，發(fā)表“全年雨量之常率線及常率積分線”研究論文。1933年，我國(guó)學(xué)者須愷[5]繪制了宜昌、漢口、九江、蕪湖和鎮(zhèn)江5站的年最大月雨量、日雨量頻率曲線，并通過(guò)徑流系數(shù)等參數(shù)轉(zhuǎn)化為洪水值，1935年著有“淮河洪水之頻率”研究論文。1937年，陳椿庭[6]發(fā)表“中國(guó)五大河洪水量頻率曲線之研究”論文，系統(tǒng)地介紹了Grassberger、Hazen和Foster經(jīng)驗(yàn)概率計(jì)算和概率格紙，并進(jìn)行長(zhǎng)江、黃河、永定河和淮河年最大洪水的頻率計(jì)算。1947年，他的這篇論文獲國(guó)民政府教育部?jī)?yōu)秀論文獎(jiǎng)[7]。此外，陳椿庭[8]著有“繪制洪水流量頻率曲線的簡(jiǎn)便新法”、“水文頻率曲線點(diǎn)繪方法比較”等論文。這些反映了我國(guó)早期的水文頻率計(jì)算研究成果。新中國(guó)成立后，隨著水利工程建設(shè)的發(fā)展，我國(guó)水文學(xué)者在吸收國(guó)外水文統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)上，廣泛地開(kāi)展工程水文分析計(jì)算問(wèn)題研究和實(shí)踐。20世紀(jì)80年代，丁晶、宋德敦、馬秀峰、劉光文、郭生練等學(xué)者先后提出了P-III分布參數(shù)估計(jì)的概率權(quán)重法、單權(quán)函數(shù)法、雙權(quán)函數(shù)法和非參數(shù)估計(jì)法，他們的研究成果至今被廣泛地應(yīng)用于水文頻率分布的參數(shù)估計(jì)或被許多計(jì)算手冊(cè)、教科書引用。

目前，主要代表性的研究成果和理論體系總結(jié)有《Statistical Methods in Hydrology》[9]《Fundamentals of Statistical Hydrology》[10]《Statistical Methods in Hydrology and Hydroclimatology》[11]《Flood frequency analysis》[12]《Predictive Hydrology: A Frequency Analysis Approach》[13]《Entropy-Based Parameter Estimation in Hydrology》[14]《水文統(tǒng)計(jì)學(xué)》[15]《水文學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)》[16]《設(shè)計(jì)洪水研究進(jìn)展與評(píng)價(jià)》[17]《水科學(xué)技術(shù)中的概率統(tǒng)計(jì)方法》[18]《水文氣象統(tǒng)計(jì)通用模型》[19]《統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法及應(yīng)用》[20]《水文水資源應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[21]《水文統(tǒng)計(jì)的原理與方法》[22]《實(shí)用水文統(tǒng)計(jì)法》[23]《水文統(tǒng)計(jì)計(jì)算》[24]《水文水資源隨機(jī)分析》[25]《工程數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析》[26]《水文水資源分析研究》[27]《水文水資源計(jì)算務(wù)實(shí)》[28]《統(tǒng)計(jì)水文學(xué)》[29]《水文風(fēng)險(xiǎn)分析的理論與方法》[30]《Copulas函數(shù)及其在水文中的應(yīng)用》[31]《單變量水文序列頻率計(jì)算原理與應(yīng)用》[32]《非一致性水文概率分布估計(jì)理論和方法》[33]《變化環(huán)境下地表水資源評(píng)價(jià)方法》[34]《變化環(huán)境下區(qū)域水資源變異問(wèn)題研究》[35]《變化環(huán)境下的水文頻率分析方法及應(yīng)用》[36]《淮河復(fù)合河道洪水概率預(yù)報(bào)方法與應(yīng)用》[37]《Copula函數(shù)理論在多變量水文分析計(jì)算中的應(yīng)用研究》[38]等。其中，金光炎的《水文統(tǒng)計(jì)的原理與方法》[22]專著推動(dòng)了我國(guó)水文統(tǒng)計(jì)理論的普及和應(yīng)用，黃振平等[2]主編的《水文統(tǒng)計(jì)學(xué)》至今仍是我國(guó)水文與水資源工程專業(yè)的通用教材。從1880年—1890年Herschel和Freeman的徑流序列頻率分析算起，水文頻率計(jì)算距今已有140多年的研究和實(shí)踐歷史。目前，水文頻率計(jì)算方法是水文學(xué)最為活躍的研究領(lǐng)域之一，受到國(guó)外學(xué)者和水文計(jì)算者的高度重視，經(jīng)過(guò)幾代水文科學(xué)工作者的不懈努力，他們的研究成果為涉水工程規(guī)劃建設(shè)和管理提供了堅(jiān)實(shí)的支撐。

Singh V P等[39]認(rèn)為水文頻率分析方法大致可以分為4類：(1) 經(jīng)驗(yàn)法；(2) 現(xiàn)象法；(3) 動(dòng)力法；(4) 隨機(jī)模型結(jié)合蒙特卡洛模擬法。按照采用測(cè)站的多少，水文頻率分析分為單站頻率分析和區(qū)域頻率分析。如果按照變量的數(shù)目來(lái)說(shuō)，水文頻率分析又可分為單變量頻率分析和多變量頻率分析。按照事件個(gè)數(shù)，也可以分為單事件頻率分析和游程事件頻率分析(如干旱歷時(shí)頻率分析)。經(jīng)驗(yàn)法是上述4類方法中應(yīng)用較廣泛的方法，采用經(jīng)驗(yàn)法進(jìn)行單站頻率分析是工程規(guī)劃設(shè)計(jì)使用最多的方法。水文頻率分析推求設(shè)計(jì)值主要有參數(shù)統(tǒng)計(jì)和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)兩種途徑。參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法是國(guó)內(nèi)外研究和應(yīng)用較多的方法，需事先假定水文序列的分布模型，利用參數(shù)估計(jì)方法估算樣本參數(shù)，根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)特征值與分布參數(shù)的關(guān)系，求出分布參數(shù)。這種方法涉及6個(gè)步驟[13,39]：(1) 水文樣本數(shù)據(jù)選擇和數(shù)據(jù)檢驗(yàn)；(2) 選擇經(jīng)驗(yàn)公式(繪點(diǎn)位置公式)計(jì)算樣本經(jīng)驗(yàn)概率；(3) 選擇概率分布函數(shù)，采用合適的參數(shù)估算技術(shù)擬合水文樣本；(4) 水文分布模型檢驗(yàn)；(5) 給定設(shè)計(jì)頻率，進(jìn)行水文設(shè)計(jì)值計(jì)算；(6) 水文設(shè)計(jì)值不確定性分析。根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究文獻(xiàn)的報(bào)道[9-43]，本文根據(jù)現(xiàn)有水文頻率計(jì)算研究進(jìn)展，總結(jié)了以下有關(guān)面臨的挑戰(zhàn)和研究建議，以期促進(jìn)水文頻率計(jì)算理論的進(jìn)一步發(fā)展。

1 水文序列頻率計(jì)算的前提條件

水文樣本數(shù)據(jù)一般根據(jù)實(shí)際需要選取，并形成某類特征值數(shù)據(jù)序列，如一定時(shí)空尺度的極值、月值、枯水值和年值數(shù)據(jù)等。上述序列選樣不同，其頻率和重現(xiàn)期計(jì)算有所差異。一般來(lái)說(shuō)，選取水文數(shù)據(jù)序列必須滿足下述計(jì)算前提條件[13]：(1) 數(shù)據(jù)正確地揭示水文變化規(guī)律；(2) 形成數(shù)據(jù)序列的物理機(jī)制沒(méi)有發(fā)生變化(一致性)，滿足平穩(wěn)性和同質(zhì)性；(3) 數(shù)據(jù)序列滿足隨機(jī)簡(jiǎn)單樣本特性。隨機(jī)性是指樣本數(shù)據(jù)服從同一概率分布，而簡(jiǎn)單樣本則指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)不影響后續(xù)值的發(fā)生，即數(shù)據(jù)間滿足獨(dú)立性；(4) 數(shù)據(jù)序列應(yīng)具有足夠的長(zhǎng)度。數(shù)據(jù)檢驗(yàn)分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)兩大類，包括樣本特征參數(shù)與分布參數(shù)的一致性檢驗(yàn)；兩個(gè)樣本分布的同一性檢驗(yàn)；樣本服從某一概率分布的檢驗(yàn)；樣本數(shù)據(jù)間的相依性檢驗(yàn)。水文分布模型擬合檢驗(yàn)方法有圖形法、Chi-square檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)、GPD檢驗(yàn)、Anderson-Darling檢驗(yàn)、矩圖法、線性矩圖法以及分布函數(shù)模型選優(yōu)比較法。

2 水文序列頻率分布函數(shù)與參數(shù)計(jì)算方法

Rao等在他們的《Flood frequency analysis》[12]專著中，系統(tǒng)地總結(jié)了目前常用的水文序列頻率分布函數(shù)與參數(shù)計(jì)算方法，給出了大量詳細(xì)的應(yīng)用實(shí)例。常用的單變量水文頻率線型有20多種，主要分為以下四大類：(1) Г分布類包括指數(shù)分布、兩參數(shù)Г分布、P-III分布(三參數(shù)Г分布)、對(duì)數(shù)P-III分布和四參數(shù)指數(shù)Г分布、克里茨基-門克爾分布等；(2) 極值分布類包括極值I型、II型、III型分布以及廣義極值分布；(3) 正態(tài)分布類包括正態(tài)、兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)和三參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布；(4) Wakeby分布類主要包括五參數(shù)Wakeby分布、四參數(shù)Wakeby分布和廣義Pareto分布。除上述分布外，還有一些常用的偏態(tài)非對(duì)稱分布模型。這些模型的主要特點(diǎn)是引入了一個(gè)新的參數(shù)λ控制分布模型中的偏態(tài)(skew)和峰度(kurtosis)系數(shù)，包含不完全Beta函數(shù)、第一類完全橢圓函數(shù)積分、第二類完全橢圓函數(shù)積分、廣義超幾何函數(shù)、普西函數(shù)、δ(·)函數(shù)、Riemann's zeta函數(shù)、補(bǔ)余誤差函數(shù)、不完全Γ函數(shù)、第二類修正Bessel函數(shù)積分等特殊函數(shù)，概率密度函數(shù)形式復(fù)雜，相應(yīng)的概率分布函數(shù)計(jì)算及其困難。偏態(tài)非對(duì)稱分布主要有偏正態(tài)分布、混合偏正態(tài)分布、偏態(tài)t分布、混合偏態(tài)t分布、偏態(tài)拉普拉斯分布、偏態(tài)Logistic分布、偏態(tài)均勻分布、偏態(tài)指數(shù)冪分布、偏態(tài)貝塞爾函數(shù)分布、偏態(tài)皮爾遜II分布、偏態(tài)皮爾遜Ⅶ分布、偏態(tài)廣義t分布等。四參數(shù)指數(shù)Г分布是中國(guó)水利水電科學(xué)研究院孫濟(jì)良先生根據(jù)Г分布經(jīng)過(guò)指數(shù)變換推得的分布，當(dāng)其參數(shù)取某些特定值時(shí)，四參數(shù)指數(shù)Г分布可轉(zhuǎn)化為兩參數(shù)Г分布、P-III分布、克里茨基-門克爾分布、極值III型分布、卡方分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)和極值I型分布。因而也稱為水文頻率通用模型[22]。對(duì)于刪失或截取水文序列樣本，通常也采用刪失分布或截取分布，他們是完全不同上述的概率分布。

水文頻率分布參數(shù)計(jì)算涉及高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、水文學(xué)、數(shù)值計(jì)算、優(yōu)化計(jì)算等學(xué)科的交叉和滲透。單變量水文頻率分布參數(shù)估計(jì)方法主要有：(1) 矩法；(2) 極大似然法；(3) 概率權(quán)重和線性矩法；(4) 最小二乘法；(5) 最大熵原理；(6) 混合矩法；(7) 廣義矩法；(8) 不完整均值法；(9) 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)法；(10) 部分概率權(quán)重矩法和高階概率權(quán)重矩法。其中，矩法、極大似然法和概率權(quán)重法是最廣泛的參數(shù)估計(jì)方法。由于P-III分布的分位數(shù)不能表示為相應(yīng)概率分布值的顯函數(shù)，概率權(quán)重法求解參數(shù)困難。20世紀(jì)80年代，四川大學(xué)丁晶教授和南京水利科學(xué)研究院宋德敦研究員通過(guò)積分變換，率先提出了P-III分布參數(shù)估計(jì)的概率權(quán)重法計(jì)算公式，他們的研究成果至今被各國(guó)廣泛地應(yīng)用于水文頻率分布的參數(shù)估計(jì)，并寫入計(jì)算手冊(cè)。美國(guó)地質(zhì)勘查局也使用指數(shù)洪水分析和回歸分析進(jìn)行區(qū)域頻率分析。除經(jīng)驗(yàn)法外，現(xiàn)象法、動(dòng)力法和隨機(jī)模型結(jié)合Monte Carlo 模擬法目前還處于學(xué)術(shù)研究層面，工程實(shí)際應(yīng)用較少。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法主要指在所處理對(duì)象總體分布族的數(shù)學(xué)形式未知情況下，對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究的方法。而非參數(shù)估計(jì)就是在沒(méi)有參數(shù)形式的密度函數(shù)可以表達(dá)時(shí)，直接使用獨(dú)立同分布的觀測(cè)值，對(duì)總體的密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法。主要包括概率密度核估計(jì)和非參數(shù)回歸估計(jì)模型。

對(duì)于多變量聯(lián)合概率分布來(lái)說(shuō)，常用的分布模型有二維Gamma分布、Izawa bigamma模型、Moran模型、Smith-Adelfang-Tubbs (SAT)模型、Farlie-Gumbel-Morgwnstern (FGM)模型、兩變量乘積XY的二維gamma分布、二維Gumbel Mixed(GM)分布、二維Gumbel Logistic(GL)分布、二維Nagao-Kadoya指數(shù)(BVE)分布、d維正態(tài)分布N(μ∑)、二維對(duì)數(shù)正態(tài)分布、d維studentt分布N(μ∑)等。近年來(lái)，為了克服傳統(tǒng)多變量概率分布計(jì)算的不足，Copulas函數(shù)被引入多變量水文變量聯(lián)合概率分布計(jì)算。主要的Copulas函數(shù)有對(duì)稱Archimedean Copulas、非對(duì)稱Archimedean Copulas、Plackette Copula、Metaelliptical Copulas和混合Copulas等。常見(jiàn)的對(duì)稱Archimedean copulas函數(shù)見(jiàn)表1。copulas函數(shù)參數(shù)估計(jì)方法有精確極大似然法、邊際函數(shù)推斷法和半?yún)?shù)法。

表1 對(duì)稱Archimedean copulas函數(shù)

3 水文頻率計(jì)算面臨的挑戰(zhàn)

水文頻率計(jì)算雖然經(jīng)歷了140多年的研究和實(shí)踐，由于水文序列組成和特性具有高度的復(fù)雜性，其理論體系與方法仍然需要不斷地完善和發(fā)展，面臨著許多挑戰(zhàn)。

3.1 水文頻率分布函數(shù)選擇

目前，人們還無(wú)法從水文機(jī)理上證明水文事件的概率(頻率)分布函數(shù)。實(shí)際中，計(jì)算者選用現(xiàn)有的隨機(jī)變量分布函數(shù)，根據(jù)收集的水文數(shù)據(jù)進(jìn)行審查，通過(guò)選用合理的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行分布函數(shù)參數(shù)計(jì)算，經(jīng)分布函數(shù)擬合度檢驗(yàn)后，依據(jù)水文數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)頻率與選用分布函數(shù)理論頻率之間的擬合效果來(lái)評(píng)估水文序列頻率分布函數(shù)的擬合效果。實(shí)際上，這種處理是一種近似水文頻率分布函數(shù)的選擇方法，缺乏相應(yīng)的理論支撐。另外，現(xiàn)有分布函數(shù)隨機(jī)變量的取值范圍一般為(-∞，∞) 或(a，∞)、(-∞，a)，a為某一常數(shù)，而實(shí)際水文取值可在某個(gè)可能最小與最大之間，不可能取無(wú)窮大值，這種取值范圍不符合水文值的實(shí)際取值范圍，其計(jì)算的結(jié)果必然出現(xiàn)偏差。因此，現(xiàn)有隨機(jī)單變量的概率分布實(shí)際上是對(duì)水文變量分布的逼近，頻率擬合在25%～75%的頻率段一般能夠取得較好的擬合效果，而頻率曲線的上尾或下尾部(頻率曲線的兩端外延部分)擬合出現(xiàn)較大的偏差，無(wú)法得到滿意的擬合效果。另外，在分析計(jì)算中，計(jì)算者往往需要在頻率曲線的兩端外延部分進(jìn)行設(shè)計(jì)值推求。

3.2 水文數(shù)據(jù)

現(xiàn)有水文頻率的計(jì)算方法必須滿足概率論隨機(jī)試驗(yàn)要求，依據(jù)隨機(jī)事件原理計(jì)算水文事件概率，即要求水文序列滿足獨(dú)立、同分布(一致性或平穩(wěn)性)要求。實(shí)際中，水文序列不同程度地難以完全滿足隨機(jī)試驗(yàn)條件要求。

(1) 徑流可能是由多個(gè)氣候機(jī)制形成的。對(duì)于季節(jié)性徑流選樣(如分期洪水選樣)，其值可能是暴雨、融雪、冰川融化、颶風(fēng)、臺(tái)風(fēng)等形成的徑流。對(duì)于年值徑流選樣來(lái)說(shuō)，同樣暴雨、融雪、冰川融化、颶風(fēng)、臺(tái)風(fēng)等參與徑流的形成過(guò)程。顯然，按照隨機(jī)試驗(yàn)條件，假定流域下墊面不變、流域氣候變化穩(wěn)定和不受人類活動(dòng)影響下，上述的序列也不滿足平穩(wěn)性，它們可能服從混合分布。

(2) 觀測(cè)較早或歷史推算洪水難以獲取水文值發(fā)生期內(nèi)流域下墊面和氣候變化情況。洪水頻率計(jì)算中，通常實(shí)測(cè)洪水序列與歷史特大洪水共同組成不連序系列。在洪澇災(zāi)害的記載中，清代以前和清代初期的史籍中記載非常簡(jiǎn)單，洪水記錄難以使用。因而，實(shí)際計(jì)算主要根據(jù)清代中后期的記載資料，選用距今200多年的洪水作為特大洪水。這些洪水形成的下墊面條件和氣候條件與實(shí)測(cè)期的下墊面條件和氣候條件有很大的差異。因此，這種不連序系列也難以滿足平穩(wěn)性要求。

(3) 在氣候變化和高強(qiáng)度的人類活動(dòng)影響的流域和區(qū)域，水文序列呈現(xiàn)出非平穩(wěn)性特性，不能滿足現(xiàn)有水文頻率計(jì)算的前提和條件。

3.3 分布函數(shù)參數(shù)計(jì)算

按照隨機(jī)過(guò)程原理，水文頻率計(jì)算假定水文序列具有平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)性。即一個(gè)平穩(wěn)序列的各種時(shí)間平均值依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均(大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻取值通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算平均值所得的數(shù)字特征值)。平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)性說(shuō)明了隨機(jī)序列發(fā)生的各個(gè)樣本函數(shù)都同樣地經(jīng)歷了隨機(jī)序列的各種可能狀態(tài)，任一樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性都可充分代表整個(gè)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性，也可以用這個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來(lái)代替整個(gè)隨機(jī)序列的集合平均值[44-45]。顯然，當(dāng)樣本函數(shù)序列長(zhǎng)度無(wú)限大時(shí)，樣本函數(shù)的時(shí)間平均等于隨機(jī)序列的集合平均值，可滿足水文頻率分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)要求。但是，水文序列是一個(gè)有限長(zhǎng)度的序列，特別是發(fā)展中國(guó)家，水文站建站較晚，其觀測(cè)資料長(zhǎng)度較短，無(wú)法滿足這種計(jì)算條件。因此，無(wú)論采用任何參數(shù)估計(jì)方法，有限水文序列估計(jì)水文頻率分布函數(shù)的參數(shù)不可避免地帶來(lái)計(jì)算偏差。

3.4 經(jīng)驗(yàn)頻率

經(jīng)驗(yàn)頻率，也稱繪點(diǎn)位置或秩次概率，是根據(jù)樣本按遞減(或遞增)順序排列，采用一定的計(jì)算方法估計(jì)樣本每項(xiàng)值的頻率，這個(gè)估計(jì)頻率值稱為經(jīng)驗(yàn)頻率。目前，經(jīng)驗(yàn)頻率公式種類很多，代表性的計(jì)算公式有California (1923)公式、Hazen (1930)公式、Weibull (1939)公式、Leivikov (1955)公式、Blom (1958)公式、Tukey (1962)公式、Gringorten (1963)公式、Cunnane (1978)和Hosking. (1985)公式。我國(guó)《水利水電工程設(shè)計(jì)洪水規(guī)范》推薦采用P-III型曲線和圖解適線法推求設(shè)計(jì)頻率對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)洪水值。在選定線型和適線準(zhǔn)則的前提下，經(jīng)驗(yàn)頻率是評(píng)價(jià)參數(shù)估計(jì)優(yōu)劣的依據(jù)。經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率偏差越小，則分布參數(shù)估計(jì)越好。因此，采用適線法確定水文頻率分布參數(shù)或以經(jīng)驗(yàn)頻率作為參數(shù)方法評(píng)價(jià)依據(jù)，經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算尤為重要，其計(jì)算精度主要取決經(jīng)驗(yàn)頻率。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)頻率依賴于水文序列的頻率分布函數(shù)。由于水文序列真正的頻率分布函數(shù)無(wú)法確定，在實(shí)際水文分析中，廣泛采用數(shù)學(xué)期望(Weibull，1939)公式，這是一種近似的做法。

上述單變量頻率計(jì)算的問(wèn)題同樣存在于多變量頻率計(jì)算中：(1) 人們也無(wú)法獲得機(jī)理性的聯(lián)合概率分布函數(shù)，一般在變量組合取值的兩端外延部分?jǐn)M合出現(xiàn)偏差；(2) 按照Copulas函數(shù)計(jì)算原理，單變量頻率計(jì)算精度直接地影響Copulas函數(shù)概率分布計(jì)算；(3) 單變量非平穩(wěn)性導(dǎo)致相應(yīng)的Copulas函數(shù)聯(lián)合概率的非平穩(wěn)性，其計(jì)算方法尤為復(fù)雜，計(jì)算方法帶來(lái)的偏差難以估計(jì)；(4) 高維Copulas函數(shù)較少，而Pair Copulas構(gòu)建高維聯(lián)合概率密度函數(shù)容易，但是，其高維聯(lián)合概率分布值需要通過(guò)高維數(shù)值積分進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算精度依賴于高維數(shù)值積分方法；(5) 高維的經(jīng)驗(yàn)概率分布計(jì)算公式仍缺乏相應(yīng)的理論支撐。

4 水文頻率計(jì)算研究的建議

根據(jù)現(xiàn)有水文頻率計(jì)算面臨的挑戰(zhàn)，本文建議深入開(kāi)展以下研究工作，以期為我國(guó)水文頻率計(jì)算提供參考和支撐。

(1) 刪失或截取分布。按照時(shí)間序列分析觀點(diǎn)，現(xiàn)有水文序列頻率計(jì)算一般要求水文序列為完整序列。實(shí)際中，由于儀器分辨率、觀測(cè)或選樣要求，水文序列會(huì)出現(xiàn)由超過(guò)某一門限值或低于某一門限值的數(shù)據(jù)組成。這種序列是完整序列的一個(gè)子集，稱為部分序列，超出了時(shí)間序列分析領(lǐng)域。而現(xiàn)有的水文頻率分布是假定序列為完整序列，部分序列采用完整序列的頻率計(jì)算方法，顯然是合理的。另外，水文序列分布為有界取值概率分布函數(shù)，應(yīng)用(-∞，∞)或(a，∞)、(-∞，a)取值的頻率分布進(jìn)行擬合，實(shí)際上是一種近似計(jì)算。統(tǒng)計(jì)學(xué)中刪失或截取分布隨機(jī)變量取值范圍恰好具備部分序列的取值區(qū)間。因此，刪失或截取分布可能是提供上述部分序列頻率的計(jì)算途徑。目前，刪失或截取分布應(yīng)用于工業(yè)質(zhì)量、產(chǎn)品壽命和金融等領(lǐng)域，取得了許多成功案列。因此，有必要進(jìn)一步研究刪失或截取分布在水文中的應(yīng)用。

(2) 提高頻率分布參數(shù)估計(jì)精度。如上所述，水文頻率分參數(shù)估計(jì)方法很多。從水文頻率計(jì)算研究結(jié)果來(lái)看，最大熵原理取得了較好的擬合效果。其原因是，許多分布函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)雜的數(shù)學(xué)推得，最終頻率分布參數(shù)計(jì)算歸結(jié)頻率分布參數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望方程或方程組，屬于函數(shù)的一階矩或二階矩計(jì)算，避免了高階函數(shù)矩計(jì)算。因此，低階矩約束條件下的最大熵原理推求水文頻率分參數(shù)估計(jì)有待深入研究。另外，如果計(jì)算站資料長(zhǎng)度較短，可選用計(jì)算站臨近或相似流域具有長(zhǎng)系列的測(cè)站資料，通過(guò)序列的相依性分析，進(jìn)行Copulas聯(lián)合分布計(jì)算，進(jìn)而推求計(jì)算站的設(shè)計(jì)頻率和設(shè)計(jì)值。這也是一種提高頻率分布參數(shù)估計(jì)精度的一個(gè)途徑，有待于深入研究。

(3) 實(shí)用的非平穩(wěn)水文序列頻率計(jì)算方法。由于氣候變化和高強(qiáng)度的人類活動(dòng)的影響，改變了流域的降雨特性、產(chǎn)匯流和河道水流的天然時(shí)空分配規(guī)律，使長(zhǎng)序列的統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化。另外，徑流可能是由多個(gè)氣候機(jī)制形成的。因而，這些不可避免地造成計(jì)算期內(nèi)資料序列的非平穩(wěn)性。目前，非平穩(wěn)水文序列頻率計(jì)算方法主要有水文極值系列重構(gòu)、混合分布函數(shù)、水文物理機(jī)制洪水頻率和時(shí)變參數(shù)概率分布等[41-42]。這些計(jì)算方法仍舊處在研究層面，各種方法計(jì)算結(jié)果差異較大，一般計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，且重點(diǎn)關(guān)注了非平穩(wěn)水文序列的理論頻率計(jì)算，相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率和評(píng)估依據(jù)缺乏充分的理論依據(jù)支撐。因此，亟待深入研究實(shí)用的非平穩(wěn)水文序列頻率計(jì)算方法，以滿足實(shí)際水文計(jì)算的需要。

(4) 基于Copulas隨機(jī)變量和差積商分布解析計(jì)算。流域設(shè)計(jì)斷面各部分洪水的地區(qū)組成、干旱分析中干旱歷時(shí)與非干旱歷時(shí)變量和(干旱間隔)分布、干旱歷時(shí)與干旱間隔的比值(干旱事件比例)分布、干旱強(qiáng)度與干旱歷時(shí)的乘積(干旱烈度)分布、水資源評(píng)價(jià)和配置中研究斷面來(lái)水與區(qū)間耗水量的組合分布分析等都可以歸結(jié)為水文變量和、差、積、商的分布計(jì)算。《水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算手冊(cè)》推薦使用地區(qū)組成法、頻率組合法及隨機(jī)模擬法進(jìn)行設(shè)計(jì)洪水的地區(qū)組成計(jì)算。這些方法在積分計(jì)算、信息失真、模擬序列統(tǒng)計(jì)特征保持性和人為因素等存在不足。因此，提高水文變量和、差、積、商的分布計(jì)算精度是流域水資源梯級(jí)開(kāi)發(fā)和水資源管理中亟待解決的重要科學(xué)問(wèn)題。

(5) 水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)。假定水文序列數(shù)據(jù)滿足計(jì)算要求的前提下，水文樣本長(zhǎng)度、分布函數(shù)和參數(shù)估計(jì)方法等均會(huì)對(duì)水文設(shè)計(jì)值產(chǎn)生不確定性。分布函數(shù)給定下，參數(shù)估計(jì)方法不同，其水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)方法不同。目前，矩法和極大似然估計(jì)參數(shù)的水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間一般有相應(yīng)的計(jì)算公式。但是其他估計(jì)方法和許多新型參數(shù)估計(jì)方法的水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)研究較少。另外，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)概率和理論概率的P-P圖、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)的Q-Q圖或其他誤差評(píng)定基本上屬于擬合度的定性評(píng)價(jià)，擬合度必須通過(guò)分布函數(shù)的擬合度檢驗(yàn)進(jìn)行分析。因此，有必要開(kāi)展量化水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)的不確定性研究。

(6) 多變量聯(lián)合概率分布。對(duì)稱Archimedean Copulas也稱為可交換。其最大的特點(diǎn)是有一個(gè)參數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)單，應(yīng)用較多。實(shí)際中，水文變量間可能是正、負(fù)相依性或獨(dú)立的，他們也可能是相依性不對(duì)稱的樣本序列組合。對(duì)于二維變量，其聯(lián)合分布可用對(duì)稱Archimedean Copulas描述，但是，由于對(duì)稱Archimedean Copulas要求變量為對(duì)稱相依，僅用一個(gè)生成函數(shù)描述正的相依性。因而，三維以上對(duì)稱的Archimedean Copulas不是描述高維變量聯(lián)合概率分布最好的Copulas函數(shù)選擇。因此，嵌套Archimedean構(gòu)造、層次Archimedean Copulas和配對(duì)Copula等非對(duì)稱Archimedean Copulas的構(gòu)建方法和應(yīng)用，以及非平穩(wěn)下的多變量聯(lián)合概率分布計(jì)算有待于進(jìn)一步深入研究。