安 方，張萬良，段 勇，熊晨熙

（中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫214082）

0 引 言

水下結構振動是引起水下聲輻射的主要原因，研究水下結構振動的主動控制技術能有效解決水下結構減振降噪問題。而性能優(yōu)良的主動控制器，依賴于傳感器與作動器能夠發(fā)揮最大的效能，這就需要建立有效的優(yōu)化模型及優(yōu)化準則。水下壓電智能結構需要考慮壓電作動、傳感功能[1-2]及流體加載效應[2-3]，具有壓電—流體—結構三場耦合復雜特性[2]，優(yōu)化模型及優(yōu)化準則難于建立，導致水下壓電智能結構的傳感器/作動器位置優(yōu)化問題難以解決。

依賴于Abaqus 軟件建立的有限元模型，能夠基本反映壓電—流體—結構三場耦合復雜特性[2]。但由于耦合模型維數(shù)較高，無法作為優(yōu)化模型進行傳感器、作動器的位置優(yōu)化。文獻[4]基于有限元模型，對水下壓電智能殼體結構振動采取了主動控制方案，但未對其傳感器/作動器進行優(yōu)化配置。文獻[5]雖然對傳感器/作動器進行了優(yōu)化配置，但是針對的是空氣中的簡單模型，不適用于水下智能結構這種復雜模型。因此，水下壓電智能結構的傳感器/作動器優(yōu)化，需要首先解決水下智能結構的優(yōu)化模型建立問題，再解決優(yōu)化準則問題，從而最終獲得壓電傳感器/作動器的最佳粘貼位置。

本文針對以上兩個問題，搭建了水下智能結構的Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺，獲得考慮壓電—流體—結構三場耦合特性的低維優(yōu)化模型?；诖藘?yōu)化模型，建立基于能量傳遞的作動器、傳感器位置優(yōu)化準則，最終獲得傳感器、作動器的最佳粘貼位置。以粘貼有壓電纖維（Micro Fiber Composite，簡稱MFC）作動器/傳感器的壓電圓柱殼為研究對象，通過相同激勵信號下，不同配置位置的水下壓電智能圓柱殼振動能量傳遞的大小，驗證了優(yōu)選位置的合理性。

1 研究對象

本文研究如圖1 所示的壓電智能圓柱殼體水下振動控制中傳感器與作動器的位置優(yōu)化問題。所采用的作動器為可粘貼于曲面結構的MFC（見圖3），圓柱殼主體尺寸及壓電纖維尺寸見圖2 及圖3。圓柱殼上粘貼4 片MFC，一片用作激勵，兩片用作作動，一片用作傳感。在位置優(yōu)化之前，先假定4 片壓電片粘貼在圓柱殼中間位置，呈等角分布（圖4），其中，壓電外激勵作動器放置在圓柱殼中間位置，不作優(yōu)化。

圖1 壓電圓柱殼水下模型示意圖Fig.1 Underwater model of piezoelectric cylindrical shell

圖2 圓柱殼尺寸Fig.2 Cylindrical shell size

圖3 MFC 實物圖和MFC 尺寸Fig.3 MFC and its size

圖4 未優(yōu)化前作動器/傳感器分布位置及電壓/位移測點分布位置Fig.4 The unoptimal position of the actuators/sensors and voltage/displacement measurement points

2 優(yōu)化模型建立方法

2.1 壓電—結構耦合動力學模型

考慮壓電電勢自由度的機電耦合有限元模型的振動方程具有如下形式[2，6-8]：

式中：自由度u 與v 分別為結構的廣義位移自由度和壓電結構的電勢自由度；Ms，Cs，Ks分別為結構的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；Kp與Ksp分別為壓電結構的剛度矩陣及結構與壓電耦合的機電耦合剛度矩陣；Fv為施加在結構上的外力矩陣；Qp為電荷矩陣。

壓電—結構耦合的動力學方程具有（1）式所示的形式。由此式可以看出，壓電的存在只影響到剛度矩陣，質(zhì)量、阻尼矩陣只在結構處存在非零元素，其余位置為零元素。當借助有限元軟件建立壓電圓柱殼的有限元模型時，軟件內(nèi)部會自動產(chǎn)生剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣，若能夠從中提取出來，便可獲取到壓電圓柱殼的動力學方程。

圖5 壓電圓柱殼體整體阻尼矩陣Fig.5 Global damping matrix of the piezoelectric cylinder

圖6 壓電圓柱殼體整體剛度矩陣Fig.6 Global stiff matrix of the piezoelectric cylinder

圖7 壓電圓柱殼體整體質(zhì)量矩陣Fig.7 Global mass matrix of the piezoelectric cylinder

圖8 壓電圓柱殼有限元模型和優(yōu)化模型電壓、位移對比Fig.8 Voltage and displacement comparison between the finite element model and optimal model for the piezoelectric cylindrical shell

圖9 壓電圓柱殼有限元模型與優(yōu)化模型掃頻激勵輸出電壓對比Fig.9 Voltage comparison in frequency domain between the finite element model and optimal model for the piezoelectric cylindrical shell

基于Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺，首先獲取Abaqus 建立的壓電圓柱殼有限元模型，圓柱殼部分賦殼單元S4R 屬性；MFC 應用壓電體單元C3D8E屬性?；贏baqus 建立的有限元模型，提取結構的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣，基于這些數(shù)據(jù)信息，在MATLAB 中組裝矩陣阻尼、剛度和質(zhì)量矩陣。在組裝過程中，將9 自由度改寫為7 自由度，按照位移自

2.2 流體—壓電—結構耦合動力學模型建立方法

表1 壓電圓柱殼有限元模型與優(yōu)化模型頻率對比（單位：Hz）Tab.1 Frequency comparison between the finite element model and the optimal model for piezoelectric cylindrical shell(Unit：Hz)

繼續(xù)考慮流體單元，建立流體—壓電—結構的耦合動力學模型。基于以上壓電圓柱殼有限元模型（1），考慮水的作用，在流固耦合方程中，采用流場壓力p 作為水的基本未知量，得到機—電—流耦合動力學方程為[2]

其中

壓電—結構耦合的動力學方程具有（1）式所示的形式，而流體-壓電-結構耦合的動力學方程具有（2）式所示的形式。由此式可以看出，流體的存在只影響到結構的質(zhì)量、剛度矩陣，在右下角處的Mf、Kf為流體的質(zhì)量、剛度矩陣。（2）式中剛度矩陣的右上角及質(zhì)量矩陣的左下角-Ssf處為非零陣，兩者互為轉(zhuǎn)置，且相差一個負號，代表流體與結構的耦合質(zhì)量、剛度矩陣。阻尼矩陣只在結構處存在非零元素，其余位置為零元素。pf為流體加載力。這是有限元所建立的流體—壓電—結構耦合動力學方程。

圖10 水下壓電圓柱殼整體阻尼矩陣Fig.10 Global damping matrix of the piezoelectric cylinder submerged in water

圖11 水下壓電圓柱殼整體剛度矩陣Fig.11 Global stiff matrix of the piezoelectric cylinder submerged in water

圖12 水下壓電圓柱殼整體質(zhì)量矩陣Fig.12 Global mass matrix of the piezoelectric cylinder submerged in water

基于Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺，首先提取Abaqus 模型中的阻尼、質(zhì)量和剛度信息，分析出結構矩陣信息，在MATLAB 中組裝阻尼、質(zhì)量和剛度矩陣，見圖10～12。在組裝過程中，將9 自由度改寫為7 自由度，按照位移自由度電勢自由度v=及壓力自由度的順序排列。圖10～12 與理論模型（2）中的質(zhì)量、剛度矩陣的形狀完全一致。由此說明組裝矩陣的結構形式是正確的。又由表2 中計算的前5 階頻率可驗證組裝有限元模型的剛度、質(zhì)量矩陣的有效性。再進一步由時域及頻域的響應（圖13 和圖14），可驗證阻尼矩陣、作動和傳感矩陣的正確性。

表2 水下壓電圓柱殼有限元模型與優(yōu)化模型頻率對比（單位：Hz）Tab.2 Frequency comparison of the finite element model and optimal model for piezoelectric cylindrical shell submerged in water(Unit：Hz)

圖13 水下壓電圓柱殼有限元模型和優(yōu)化模型電壓、位移對比Fig.13 Voltage and displacement comparison between the finite element model and the optimal model for the piezoelectric cylindrical shell submerged in water

圖14 水下壓電圓柱殼有限元模型與優(yōu)化模型掃頻激勵輸出電壓對比Fig.14 Voltage comparison in frequency domain between the finite element model and the optimal model for the piezoelectric cylindrical shell submerged in water

由以上結果可以確保水下壓電圓柱殼體的優(yōu)化模型是有效的，此模型可以作為作動器與傳感器的位置優(yōu)化模型。

3 傳感器/作動器位置優(yōu)化

控制系統(tǒng)中，一定數(shù)量的作動器、傳感器能發(fā)揮最大效能的一個標準是使用最小的輸入能量，測得最大的輸出，達到最終的控制目的。依托第2 章所建立的水下壓電智能圓柱殼體結構的優(yōu)化模型，建立優(yōu)化準則，對傳感器/作動器位置進行優(yōu)化。

則（2）式可變?yōu)?/p>

則

式中：ζi為結構的阻尼比，ωi為結構的固有角頻率。

令

則（5）式可轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標下的狀態(tài)空間模型形式為

式中：B 矩陣為輸入陣，C 矩陣為輸出陣。

3.1 基于能量傳遞的傳感器/作動器位置優(yōu)化方法

3.1.1 作動器位置優(yōu)化

若在同一傳感測試位置下，輸入能量的大小可考量作動器的作動功能的大小?；跔顟B(tài)方程描述的振動系統(tǒng)（7），輸入能量用如下公式表示[6]：

式中Tf為終止時間。

又

其中

WcTf（）被稱為可控Gram 矩陣，WcTf（）的范數(shù)越高，輸入能量越小。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，當t→∞時，

其中

由此，最小化輸入能量J 等同于Gram 矩陣Wc范數(shù)最大化。又Wc可由如下Lyapunov 方程求得：

由以上方程可以看出，可控性的大小不僅依賴于系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A，還依賴于輸入矩陣B。其中，當振動系統(tǒng)確定之后，A 矩陣是不可變的。若想求得最大可控性矩陣，可通過變化輸入矩陣B 來實現(xiàn)，而輸入矩陣B 就決定了作動器的位置。由此，作動器的位置優(yōu)化問題，等效于可控Gram 矩陣Wc范數(shù)最大化。

3.1.2 傳感器位置優(yōu)化傳感器測試信號的能量可用下式表示[6]：

因此，傳感器功能最大化意味著（14）式所表示的能量最大。類似于作動器的推導方法，可將其等效于可觀Gram 矩陣的特征值配置最大化?？捎^Gram 矩陣表示為

Wo滿足如下Lyapunov 方程

由以上方程可以看出，可觀性的大小依賴于輸出矩陣C，而輸出矩陣C 可表示傳感器位置信息。由此，傳感器的位置優(yōu)化問題，等效于可觀Gram 矩陣Wo特征值最大化。

3.1.3 傳感器/作動器位置優(yōu)化準則

定義如下優(yōu)化準則[6]

這個準則包含三項，第一項trace（）W，它與作動器傳遞給結構的總能量或傳感器的輸出能量成正比，即能夠反映更適合結構和作動器/傳感器進行能量交換的位置；）代表特征值的幾何平均值；最后一項σ λi（）表示Gram 矩陣特征值的標準差，它懲罰那種同時具有很大和很小特征值的位置，也就是用可控性或可觀性好的狀態(tài)去掩蓋可控性或可觀性差的狀態(tài)。當考慮安置作動器時，W=Wc，當用于安置傳感器時，W=Wo。

3.2 位置優(yōu)化結果

該圓柱殼的傳感器數(shù)量為1，作動器數(shù)量為2，依托Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺建立的優(yōu)化模型（7），優(yōu)化這3 片壓電片的位置，獲取傳感器與作動器的最佳粘貼位置。之后，通過同一激勵下的響應大小驗證結果的正確性，其中，外激勵壓電作動器的位置不做優(yōu)化。

圖15 壓電傳感器可選位置Fig.15 Optional locations of the piezoelectric sensor

圖16 傳感器不同位置的可觀度Fig.16 Observability of the sensor in different optional locations

3.2.1 傳感器的位置優(yōu)化結果

由圓柱殼模型的對稱性，沿圓柱殼長度方向，將傳感器可選位置選定為圖15 所示的位置。在圖15 所示位置施加指向半徑方向的1 000 N 的隨機激勵信號，由（17）式可計算不同位置處的可觀性見圖16。由此圖可以看出，傳感器的最佳位置為位置4。為了說明此位置確為最佳位置，關注該結構的前5 階模態(tài)，評價傳感器在100～600 Hz 處的電壓輸出的功率譜的大小，給出傳感器輸出電壓的總功率譜密度如圖17 所示，總功率譜密度的最大值也出現(xiàn)在位置4 處，由此說明位置4 確為能量輸出的最大位置。

3.2.2 作動器位置優(yōu)化結果

將傳感器粘貼于最佳位置4 處，結合圓柱殼的對稱性，將作動器的可能布放位置選定為圖18 所示的位置，即沿長度方向布放11 個位置，沿圓周方向布放5 個位置（圖18），計算55 個位置的可控度，關于長度及圓柱方向上的可控度結果見圖19 所示。選定可控度最高的兩個位置作為兩個作動器的粘貼位置，由此可知，作動器的兩個最佳位置一個位于長度方向為0.338 6 m，圓周方向為45°方向，另一個位移長度方向0.161 4 m，圓周方向135°。由此，傳感器/作動器優(yōu)化后的位置分布見圖20 所示。

圖17 傳感器輸出電壓在100～600 Hz 處的總功率譜密度Fig.17 Total power spectral density of the output voltage from sensor in 100～600 Hz

圖18 作動器長度方向及圓周方向的可選位置Fig.18 Optional locations of the piezoelectric actuator at length direction and circumferential direction

圖19 作動器在不同位置的可控度Fig.19 Controllability of the actuator in different optional locations

圖21 未優(yōu)化模型-1Fig.21 Unoptimal model-1

圖22 未優(yōu)化模型-2Fig.22 Unoptimal model-2

為了說明該位置的優(yōu)越性，隨意挑選了兩個作動器與傳感器不處在最優(yōu)位置的模型（圖21 與圖22），給水下模型在兩個作動器處施加相同的幅值為1 000 V 的Gauss 白噪聲外激勵電壓，在壓電傳感器處輸出電壓響應見圖23。由此圖可以看出，三者時域響應的幅值差別明顯，頻率響應中未優(yōu)化位置-2 的響應幅值明顯小于其他兩個位置。未優(yōu)化位置-1 在第一個線譜處的幅值與優(yōu)化位置的幅值差別不大，在其他線譜的幅值與優(yōu)化位置處的幅值差別較大?？傊?，優(yōu)化后的輸出電壓明顯大于優(yōu)化前的輸出電壓。由此可說明相同的外激勵，優(yōu)化后作動器、傳感器能發(fā)揮最大效能。

4 結 論

本文圍繞壓電智能圓柱殼體水下振動時傳感器/作動器的位置優(yōu)化問題，采用Abaqus-Matlab聯(lián)合建模技術，獲取壓電—流體—結構三場耦合的優(yōu)化模型，基于此模型，建立作動器傳感器位置優(yōu)化準則，得到了傳感器作動器的最佳粘貼位置。由以上內(nèi)容得出如下結論：

（1）采用Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺所建立的優(yōu)化模型是有效的。基于流體-結構及壓電-結構有限元理論，依托Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺，獲得水下壓電圓柱殼體優(yōu)化模型。由阻尼、剛度、質(zhì)量矩陣的結構形式及固有頻率計算結果、正弦激勵下的時域響應結果及掃頻激勵下的頻率響應結果，驗證了該建模方法的有效性。由此說明所建立的Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺， 可解決流體—壓電—結構三場耦合優(yōu)化模型建立問題。

（2）依據(jù)基于能量傳遞的可控可觀性傳感器/作動器位置優(yōu)化準則是正確的。 基于Abaqus-Matlab 聯(lián)合建模平臺所獲取的優(yōu)化模型，考慮該模型的前5 階模態(tài)，對頻段為0～600 Hz 處的水下模型傳感器及作動器的位置進行了優(yōu)化，并通過傳遞到壓電傳感器的電壓大小驗證了該配置結果的合理性，由此可保證傳感器、作動器在控制器實施過程中發(fā)揮最大效能。

圖23 優(yōu)化前和優(yōu)化后的輸出電壓對比Fig.23 Output voltage comparison between the optimal model and the unoptimal model