王大澳，菅利榮，王 慧，劉思峰

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；2.北京交通大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，北京 100044)

1 引言

產(chǎn)業(yè)集群作為當(dāng)前產(chǎn)業(yè)發(fā)展中的一種重要形式，具有技術(shù)創(chuàng)新密集、規(guī)模經(jīng)濟突出和知識溢出等特征。產(chǎn)業(yè)集群形成后，集群內(nèi)部的企業(yè)組成協(xié)同創(chuàng)新聯(lián)盟，通過聯(lián)盟合作促進集群內(nèi)新興創(chuàng)新企業(yè)的快速繁衍、成長，使相關(guān)產(chǎn)業(yè)得到延伸，逐漸形成協(xié)同創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成完整的產(chǎn)業(yè)鏈條，提升科技與知識創(chuàng)新的效率，形成持續(xù)創(chuàng)新發(fā)展的機制，進而有力帶動整個新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。然而影響聯(lián)盟企業(yè)合作最為關(guān)鍵的因素是如何合理公平的對組成聯(lián)盟所獲取的利益進行分配，利益分配是否合理直接影響聯(lián)盟創(chuàng)新的可持續(xù)性和穩(wěn)定性。

如何有效解決合作聯(lián)盟內(nèi)的收益分配問題已成為國內(nèi)外研究的重要課題。Shapley值及其改進的方法是研究合作聯(lián)盟企業(yè)利益分配問題的重要方法之一。Shapley值是由Shapley于1953年提出的一種用以解決n人合作中利益分配問題的數(shù)學(xué)方法[1]。傳統(tǒng)的Shapley值方法以合作聯(lián)盟中每位成員具有相同的邊際貢獻為前提假設(shè)，然而在實際情況中，政治、經(jīng)濟、環(huán)境等因素可能會對聯(lián)盟成員形成一定的約束。Aumann和Maschler最早提出了具有限制的合作博弈模型[2]。隨后學(xué)者們探討了參與成員之間其他形式的合作限制。Myerson通過無向圖來描述成員之間是否具有雙邊交流，將連通圖作為對可行聯(lián)盟的限制，只有成員之間具有連接關(guān)系，他們才可以形成合作[3]。Gilles假設(shè)一個成員必須獲得至少一個他的上級成員的許可才能和其他成員進行合作[4]；Derks假設(shè)上級和下級所具有的權(quán)重不同，任何上級可以否決其下屬的行為，因此成員必須得到所有上級的許可才可參與合作[5-6]； Béal 等[7]在研究具有限制性可能的合作博弈中，擴展了Herings等[8]提出的樹形結(jié)構(gòu)的平均邊際樹解，并獲得了這些解的一些新的特性；孫紅霞和張強[9]基于Faigle和Kern[10]提出的格結(jié)構(gòu)思想，研究了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的限制合作博弈。張瑜等[11]利用網(wǎng)絡(luò)協(xié)同系數(shù)對Shapley值進行優(yōu)化對產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟中的創(chuàng)新主體在合作過程中的利益協(xié)調(diào)問題進行了研究。上述文獻中考慮具有限制的合作博弈問題，前提條件都是參與人之間的依賴關(guān)系必須是完整的，即在一個聯(lián)盟中一個成員要么被允許完全合作，否則他們不能參與合作。

然而在實際的聯(lián)盟合作中，企業(yè)在參與合作時，由于自生技術(shù)的局限性，產(chǎn)業(yè)集群環(huán)境的不確定性，企業(yè)只能發(fā)揮出一部分能力。企業(yè)之間以一定的參與率參加到聯(lián)盟合作中，他們之間的收益分配問題具有非可加性。為了解釋和刻畫這種問題，就要弱化概率公理化刻畫中可加性的條件。法國數(shù)學(xué)家Choquet[12]在1954年提出了關(guān)于容度的理論，來解釋非可加的測度，并提出了有界隨機變量關(guān)于容度的Choquet積分。Choquet積分是一種不滿足可加性測度的非線性積分，是解決屬性之間具有關(guān)聯(lián)性的問題有效方法。如趙樹平等[13]運用Choquet積分解決屬性之間具有關(guān)聯(lián)性的決策問題?，F(xiàn)有的文獻中已有很多學(xué)者利用Choquet理論對聯(lián)盟成員以某種程度參與到聯(lián)盟合作中的情況進行了研究。Gallardo等[14]考慮到聯(lián)盟中的成員可能具有一定的自由度參與合作的情況，構(gòu)建了聯(lián)盟中參與人可主觀的確定限制的博弈模型。孫紅霞和張強[15]將經(jīng)典合作博弈中的勢函數(shù)和一致性推廣到具有模糊聯(lián)盟的合作博弈中，研究了具有模糊聯(lián)盟博弈的Shapley值。孫紅霞[16]研究了模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策的分配問題，定義了Chouqet積分形式的模糊聯(lián)盟核心，并證明了Chouqet積分形式模糊Owen值屬于其所對應(yīng)的模糊聯(lián)盟核心。孟凡永和張強[17]研究了具有Choquet積分形式的模糊合作對策，并對其單調(diào)性和連續(xù)性進行了研究。單而芳和張廣[18]結(jié)合權(quán)重的思想對準許樹結(jié)構(gòu)(即局中人的活動需要經(jīng)得其他局中人的準許才能生效)的博弈進行了研究，并對準許樹博弈限制核的研究，證明了當(dāng)準許樹博弈滿足錐模性質(zhì)時由權(quán)重系統(tǒng)集確定的解集與它的準許樹限制核是等價的。楊靛青等[19]針對模糊環(huán)境下有限制的聯(lián)盟合作情況，利用Choquet積分定義了模糊聯(lián)盟圖合作對策τ值，證明了其存在性和其他重要性質(zhì)。

上述文獻中考慮了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作博弈問題，但在實際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，由于集群環(huán)境的復(fù)雜性、不確定性和企業(yè)自我認識的局限性，有時很難完全確定信息的精確值。然而鄧聚龍[20]提出的灰色系統(tǒng)理論對這類 “部分信息已知，部分信息未知”的小樣本，貧信息的問題可以進行很好的刻畫。鑒于此，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文將灰數(shù)、Choquet積分和Shapley值模型相結(jié)合，提出了基于灰色授權(quán)機制的限制合作博弈，進而解決產(chǎn)業(yè)集群中企業(yè)的合作能力和聯(lián)盟收益值均為區(qū)間灰數(shù)，且企業(yè)之間具有關(guān)聯(lián)性的聯(lián)盟利益分配問題。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 合作博弈

設(shè)有限局中人集合N={1,2,3,…,n}上具有效用可轉(zhuǎn)移的合作對策，是一個二元組，(N,v)，其中v:2N→是定義在所有子集上的特征函數(shù)，且滿足v(?)=0；對任意S1,S2∈2N滿足S1∩S2=?，v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)。一般情況下，通過特征函數(shù)v來識別一個合作博弈(N,v)，給定一個聯(lián)盟E?N，v(E)為聯(lián)盟E的值，表示在聯(lián)盟E中局中人共同協(xié)作獲得的收益。如果博弈v是單調(diào)的，對于任意F?E?N，則有v(F)≤v(E)。將N上所有經(jīng)典合作對策記為G(N)。

定義1 在n人合作博弈(N,v)中，G(N)的Shapley值是n維向量：φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))，φi(v)的值為i在G(N)中獲得的收益：

×[v(E)-v(E{i})]

(1)

其中|E|表示聯(lián)盟E中局中人的數(shù)量，且Shapley值滿足以下三條公理：

可加性公理：對任意ω,v∈G(N)及任意的S∈2Ni∈N，有(ω+v)(S)=ω(S)+v(S)，則φi(ω+v)=φi(ω)+φi(v), ?i∈N。

對稱性公理：如果對于N集合中所有不包含i和j的子集E，有v(E∪{i})=v(E∪{j})，則φi(v)=φj(v)。

啞元性公理：令v∈G(N)，對任意的i∈N，如果v(E)=v(E{i})，E?N，則i為啞元，即φi(v)=v({i})。

2.2 區(qū)間灰數(shù)

定義2 設(shè)?1∈[a,b],a0；?1-?2∈[a-c,b-d]。

定義4[22]設(shè)區(qū)間灰數(shù)?1,?2為兩個標準灰數(shù)，S(?1),S(?2)為對應(yīng)的相對核，P(?1),P(?2)為對應(yīng)的精確度。

(1)若S(?1)

(2)若S(?1)>S(?2)，則標準灰數(shù)?1??2；

(3)若S(?1)=S(?2)，則

①若P(?1)=P(?2)，則標準灰數(shù)?1=?2；

②若P(?1)

③若P(?1)>P(?2)，則標準灰數(shù)?1??2。

2.3 Choquet積分

定義5 設(shè)X={x1,x2,…,xn}為非空集合，P(X)是X的冪集，f:(X,P(X))為定義在X上的非負函數(shù)，μ為定義在P(X)上的容量，則f關(guān)于容量μ的Choquet積分為：

(2)

其中，0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={x1,x2,…,xi}且A(0)=0。

Choquet積分具有以下性質(zhì)：

3 構(gòu)建產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作的灰色授權(quán)機制的Shapley值

在實際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，企業(yè)由于自生技術(shù)的局限性只能發(fā)揮出一部分能力，當(dāng)和其他企業(yè)形成聯(lián)盟時在其他企業(yè)技術(shù)的支持下獲得更多的生產(chǎn)能力，即為其他企業(yè)對該企業(yè)進行的授權(quán)?；疑跈?quán)機制是指企業(yè)在聯(lián)盟中的合作能力為不確定的灰色信息。

定義6 設(shè)τ:2N→[0,1]N為N上的灰色授權(quán)算子，記為gso(N)，且滿足：

(1)τ(E)≤1E,E?N

(2)如果E?F?N，則

τ(E)≤τ(F)。

假設(shè)τ是一個灰色授權(quán)算子，v是N上的博弈。給定一個聯(lián)盟E?N和i∈N，則τi(E)為企業(yè)i在聯(lián)盟E中的合作程度。

定義7 設(shè)v∈G(N)和τ∈gso(N)。v在τ上的限制博弈vτ∈G(N)的Choquet積分定義為：

(3)

(4)

其中0=?(0)

定義8 在n個企業(yè)的灰色授權(quán)機制的合作博弈為φ:G(N)×gso(N)→，則有φ(v,τ)=φ(vτ);v∈G(N),τ∈gso(N)。

定義9 在n個企業(yè)的灰色授權(quán)機制的合作博弈τ∈gso(N)中，設(shè)D?N是一個聯(lián)盟。如果對任意聯(lián)盟E?N，都有

(5)

則稱聯(lián)盟D為一個支柱。

定義10 在n個企業(yè)的灰色授權(quán)機制的合作博弈τ∈gso(N)中，的Shapley值是n維向量φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))。

滿足以下四條公理：

(2)對稱性公理：對于置換π，有φπi(πvτ)=φi(vτ)。

(3)可加性公理：對于任意v,ω∈G(N),τ∈gso(N)對任意的i∈N，有φi(v,τ)+φi(ω,τ)=φi(v+ω,τ)。

(4)啞元性公理：對于任意v∈G(N),τ∈gso(N)，D為支柱，D?N，對任意的i∈ND，有φi(v,τ)=vτ({i})。

引理1 設(shè)合作博弈G=(N,uT)是一個簡單的博弈，其中合作聯(lián)盟T?N實值函數(shù)uT的取值為：如果T?N，則uT(N)=1；否則，uT(N)=0。

具體證明參考文獻[23]。

定理1具有灰色授權(quán)機制的限制合作博弈，若滿足有效性、對稱性、可加性和啞元性，則存在唯一的Shapley 值：

×[vτ(E)-vτ(E{i})]

(6)

證明：對定理1的證明分為兩部分，第一部分先證明由公理可以推導(dǎo)出唯一的式(6)表示的Shapley值。第二部分證明公式(6)滿足四條公理。

由引理2可得：

由公理3和引理1的推論式，有

將引理2中的cT代入上式，并將聯(lián)盟R換成聯(lián)盟E，有

(7)

對式(7)分開討論，前一部分有：

(8)

后一項中，因為i?E令E′=E∪{i}則E=E′{i}，|E|=|E′|-1，于是，后一項為

(9)

將式(9)代入到式(7)，再將式(8)代入，有

(10)

在i?E的時候式(10)中vτ(E)-vτ(E{i})=0，則式(10)和式(6)沒有區(qū)別，這樣我們完成了由公理可以推導(dǎo)出唯一的式(6)表示的Shapley值。

證明的第二部分驗證唯一的Shapley 值滿足合作博弈的四個公理。

驗證對稱性：對任意一個置換π，都是對N中n個元素的一種排序。令π2=π*π也是一種置換，π和π2的逆變換也是如此。因此對任意的E?N，有|π(E)|=|π-1(E)|=|E|。

令ε=(π*π)-1=(π2)-1

×[πvτ(πE)-πvτ(πE{i})]

×[vτ(E)-vτ(E{i})]=φi(v)

驗證有效性：設(shè)v∈G(N),τ∈gso(N)E?N，D為一個支柱，運用Shapley值的有效性和Choquet積分的公理1。

對式(6)關(guān)于i求和得到：

(11)

考慮一個固定的聯(lián)盟L?N，則式(11)括號中的第一項變?yōu)関τ(L)，且總共出現(xiàn)|L|次，則整個和式中vτ(L)的系數(shù)為：

(12)

上式對于一切聯(lián)盟L?N都成立。

式(11)括號中的第二項變?yōu)関τ(L{i})，且總共出現(xiàn)n-|L|次，則整個和式中vτ(L{i})的系數(shù)為：

其中(|L|+1)是指聯(lián)盟E選取的L∪{i}，上式對于一切聯(lián)盟L?N都成立。

當(dāng)L=N時，則式(12)等于1，因此，式(11)可化簡為：

(13)

設(shè)D是一個支柱，根據(jù)支柱的定義和式(13)可得到

因此有效性公理得到驗證。

驗證可加性：設(shè)v,μ,v+μ∈G(N),τ∈gso(N),E?N，根據(jù)Choquet積分的性質(zhì)5，

因此，(v+μ)τ=vτ+μτ

-vτ(E{i}))+(μτ(E)-μτ(E{i}))]

-μτ(E{i}))=φi(v,τ)+φi(μ,τ)

驗證啞元性：設(shè)v∈G(N),τ∈gso(N)

D為支柱，D?N，對任意的i∈ND

表明啞元參加到聯(lián)盟D中，沒有新的貢獻，因此他能得到保留的收益vτ({i})。

若i不屬于支柱D，對于聯(lián)盟E?N,i∈S有

vτ(E∩D)=vτ((E{i})∩D)

將該式代入式(10)，有

所有具有灰色授權(quán)機制的限制合作博弈的Shapley值滿足啞元性。

以上證明了灰色授權(quán)Shapley值滿足合作博弈的四個公理。

4 應(yīng)用算例

假設(shè)在某產(chǎn)業(yè)集群中企業(yè)i=1,2,3協(xié)同研制一種復(fù)雜產(chǎn)品，企業(yè)i生產(chǎn)組件i。由于客觀環(huán)境的復(fù)雜性、不確定性和技術(shù)的局限性，企業(yè)3在獨自生產(chǎn)時只能利用其自身0.3的生產(chǎn)能力；而企業(yè)3當(dāng)與企業(yè)1組成聯(lián)盟時企業(yè)3被授予利用?13∈[0.4,0.5]的生產(chǎn)能力；而企業(yè)3與企業(yè)2組成聯(lián)盟時企業(yè)3被授予利用?23∈[0.7,0.8]的生產(chǎn)能力；當(dāng)形成一個大聯(lián)盟時3個企業(yè)都被授予利用各自的全部生產(chǎn)能力。這種情況可以建立合作博弈模型({1,2,3},v)，對于任意的聯(lián)盟E?{1,2,3}，v(E)表示聯(lián)盟E獲得的收益。

v({1})=5,v({2})=6,v({3})=8

v({1,2})=20,v({1,3})=[16,19],

v({2,3})=[28,30],v({1,2,3})=60

對于任意的聯(lián)盟E?{1,2,3}，和i∈{1,2,3}，τi(E)表明企業(yè)i的生產(chǎn)能力：

表1 企業(yè)在不同聯(lián)盟中的生產(chǎn)能力

計算限制博弈：

vτ({1})=v({1})=5,，

vτ({2})=v({2})=6，

vτ({3})=v({3})=0.3×8=2.4，

vτ({1,2})=v({1,2})=20，

vτ({1,2,3})=v({1,2,3})=60。

計算3個企業(yè)分別獲得的報酬：

表2 企業(yè)3的Shapley值計算

φ3(v?)=[17.25,18.68]

同理可得：φ1(v?)=[16.48,18.75]，φ2(v?)=[23.4,25.43]。

根據(jù)算例計算出的結(jié)果，φ1(v?)+φ2(v?)+φ3(v?)=[57.13,62.89]聯(lián)盟支柱的收益v({1,2,3})=60在區(qū)間[57.13,62.89]范圍內(nèi)，所以滿足有效性，φi(v?)>vτ({i})，說明企業(yè)通過聯(lián)盟合作得到的利益大于企業(yè)自己單獨生產(chǎn)所產(chǎn)生的利益，所以分配結(jié)果滿足企業(yè)形成聯(lián)盟合作的個體的合理性。

引入?yún)^(qū)間灰數(shù)來表征企業(yè)在聯(lián)盟中的參與度和聯(lián)盟利益，可以更加直觀的描述因企業(yè)自我認識的局限性而造成的對企業(yè)在聯(lián)盟中的參與度和聯(lián)盟利益信息認知的部分明確和部分信息不明確的實際情況。由于區(qū)間灰數(shù)是一個區(qū)間內(nèi)的某個真值，相比于表達整個區(qū)間的區(qū)間數(shù)，這就降低了在利益分配過程中采用區(qū)間數(shù)進行分配而帶來的不確定性。其次，應(yīng)用Choquet積分對具有區(qū)間灰數(shù)信息的合作能力進行集成，保證了區(qū)間灰數(shù)的本質(zhì)特征得以延續(xù)，因此也保證了聯(lián)盟利益分配的公平性。從計算步驟和計算結(jié)果方面分析，本文直接對區(qū)間灰數(shù)進行計算，有效的避免了因數(shù)據(jù)處理過程而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不確定性放大或縮小的失真情況。

5 結(jié)語

考慮到在實際的產(chǎn)業(yè)集群協(xié)同研制過程中企業(yè)由于自身技術(shù)的局限性，在沒有和其他企業(yè)形成聯(lián)盟合作時難以發(fā)揮出全部的生產(chǎn)能力。因此，本文首先對合作能力信息為灰數(shù)的情況，建立了灰色授權(quán)算子，其次運用Choquet積分對合作企業(yè)之間不完整的依賴關(guān)系進行集成，最后將集成信息和Shapley值模型結(jié)合起來，建立了具有灰色授權(quán)機制的限制合作博弈模型，最后通過應(yīng)用算例，驗證了模型在產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟企業(yè)合作中利益分配的公平性和合理性。

本文中，在建立灰色授權(quán)機制合作博弈模型時默認了企業(yè)之間都是相互促進的關(guān)系，然而在實際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，企業(yè)之間不可避免的會存在一些競爭與沖突關(guān)系，如何處理在聯(lián)盟合作中企業(yè)之間的競爭與沖突關(guān)系是今后的研究方向。