廣東省東莞市光明中學(xué) 黃王華

數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：學(xué)生思維的發(fā)展、能力的提高都要通過(guò)解題來(lái)習(xí)得?？v觀身邊一線教師對(duì)試題的評(píng)講，對(duì)解題教學(xué)還停留在只為解決某個(gè)問(wèn)題的水平，缺少題后反思，沒(méi)有把問(wèn)題教學(xué)提升到形成思想方法和解題策略的層面，因此教師的教育理論水平有待提高，教學(xué)方法也急待改變。

一、問(wèn)題情境呈現(xiàn)，把握所需要的數(shù)學(xué)基本知識(shí)

近年來(lái)，廣東省中考數(shù)學(xué)9分題中代數(shù)綜合題考查拋物線知識(shí)的情況比較多，于是把涉及的考點(diǎn)及思想方法歸納起來(lái)做了這個(gè)模型：

【已知條件】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）。

【問(wèn)題風(fēng)暴1】求拋物線的解析式 （注：1.一般式：y=ax2+bx+c。2.交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2））

求拋物線解析式是中考的常考考點(diǎn)，本題有多種解法，利用交點(diǎn)式解決計(jì)算量是最少的，如果使用一般式，計(jì)算量就大得多。壓軸題中的9分題如果第一問(wèn)計(jì)算出錯(cuò)，將會(huì)導(dǎo)致后面的幾問(wèn)全盤(pán)皆輸。

解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），C（2，0），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2）。

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-4），∴有-4=a（0+4）（0-2），

當(dāng)我們所研究的數(shù)學(xué)式子具有某種特定形式時(shí)，要確定它，只要求出式子中待確定的字母的值就可以了。另外，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合尋求解題思路。

二、問(wèn)題升級(jí)，針對(duì)考點(diǎn)歸納思想方法

“掌握數(shù)學(xué)思想和方法可以使數(shù)學(xué)更容易理解和更容易記憶，領(lǐng)會(huì)基本思想和方法是通向遷移大道的光明之路。”布魯納這樣建議我們。因此，在解題教學(xué)中，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法找到思路。

【問(wèn)題風(fēng)暴2】對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP的周長(zhǎng)最小？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

要使△BCP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)其周長(zhǎng)=BC+CP+BP，可以發(fā)現(xiàn)BC是固定的，所以就是要CP+BP的值最小，不難發(fā)現(xiàn)，本問(wèn)題就是對(duì)稱性問(wèn)題了。所以P的位置確認(rèn)是本題的關(guān)鍵。

解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），C（2，0），

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1。

要使得△BCP的周長(zhǎng)最小，即CP+BP最小，C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A（-4，0），直線AB與對(duì)稱軸：直線x=-1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∴直線AB的解析式為y=-x-4，∴直線AB與直線x=-1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-3）。

本題是通?？挤?，但根據(jù)中考數(shù)學(xué)，也會(huì)出現(xiàn)其他類型的考題，表面看起來(lái)差不多，卻發(fā)生了根本性的變化。

【問(wèn)題風(fēng)暴3】對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC-PB最大，如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

本題主要考查三角形的三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，所以直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)的位置。

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b。

∴直線BC的解析式為y=2x-4。

∴直線BC與對(duì)稱軸：直線x=-1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-6）。

【變異風(fēng)暴3】對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得︱PA-PB︱的值最大？如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

本問(wèn)題同樣難點(diǎn)在于找P點(diǎn)的位置，只要位置確定，計(jì)算就不難，其實(shí)它是風(fēng)暴3的變異。聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想完全可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)學(xué)學(xué)科的各部分之間也是相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化的。解題時(shí)如果能恰當(dāng)處理，往往可以化繁為簡(jiǎn)。

三、考點(diǎn)升級(jí)，數(shù)學(xué)思想方法突顯

在數(shù)學(xué)中，常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以考查，這種分類思考的方法是一種重要的解題策略。在解答題中，等腰三角形與相似三角形問(wèn)題的分類討論尤為重要，以下為例。

【問(wèn)題風(fēng)暴4】對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

本題除了分三種情況進(jìn)行分類討論外，解法也是值得繼續(xù)研究的，一種是代數(shù)方法，利用兩點(diǎn)間的距離公式可以得到方程；一種是幾何方法，分別把三種情況下的圖形畫(huà)出來(lái)，進(jìn)行特殊情況的計(jì)算。

解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形，設(shè)P（-1，y），則會(huì)有三種情況：

（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，即AB2=AP2，即（-4-0）2+（0+4）2=（-4+1）2+（0-y）2；

（2）當(dāng)AB=BP時(shí)，則AB2=BP2，則（-4-0）2+（0+4）2=（0+1）2+（-4-y）2；

（3）當(dāng)AP=BP時(shí)，則AP2=BP2，則（-4+1）2+（0-y）2=（0+1）2+（-4-y）2。

【問(wèn)題風(fēng)暴5】點(diǎn)N為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BOC與△ANP相似？如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

三角形相似的分類討論問(wèn)題主要在對(duì)應(yīng)邊上，通常這類題都會(huì)有一個(gè)條件是對(duì)應(yīng)的，如本題首先就會(huì)有一個(gè)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那就是直角，接下來(lái)就是圍繞直角的兩邊進(jìn)行分類討論，所以就分兩種情況：

四、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，幾何問(wèn)題代數(shù)化

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題對(duì)學(xué)生能力水平有較高要求，如果能夠以靜制動(dòng)，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，對(duì)于解題能力將會(huì)是一種質(zhì)的提高。

【問(wèn)題風(fēng)暴6】在直線y=x+4上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q（P在Q點(diǎn)上方），求PQ最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)。

本題的問(wèn)題主要涉及動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題，可以用代數(shù)的方法表示線段PQ的長(zhǎng)度，要使PQ最大，只需要把PQ的長(zhǎng)度表示出來(lái)。