唐紹友

摘要：極端法是通過考慮問題的極端狀態(tài)，探求解題方向或轉(zhuǎn)化途徑的一種常用方法.具有如下積極的考查功能：有利于數(shù)形結(jié)合思想的考查;有利于轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的考查;有利于運動變化中的空間想象能力的考查.當(dāng)然也有一定的消極功能：負(fù)面影響高中函數(shù)最值理論的學(xué)習(xí);負(fù)面影響高中解析幾何理論的學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;化歸思想;空間想象;負(fù)面影響

極端法是通過考慮問題的極端狀態(tài)，探求解題方向或轉(zhuǎn)化途徑的一種常用方法.在中考中主要表現(xiàn)為如下形式：一是在研究幾何變量（包括動點、動線、動角、動圖等）中，以幾何變量的極端位置為主要研究對象，探求問題的結(jié)論，必要時再進(jìn)行一般性的討論;二是在研究代數(shù)問題中，通過考察代數(shù)變量的極值為突破口，尋找解決思路.這種問題具有較強(qiáng)的綜合性，考查的知識點較多，考查的數(shù)學(xué)思想方法層面較高，所以在中考中命制這類問題，具有如下積極的考查功能：有利于數(shù)形結(jié)合思想的考查;有利于轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的考查;有利于運動變化中的空間想象能力的考查.當(dāng)然也有一定的消極功能：負(fù)面影響高中函數(shù)最值理論的學(xué)習(xí);負(fù)面影響高中解析幾何理論的學(xué)習(xí).

1極端法問題積極的考查功能

1.1有利于數(shù)形結(jié)合思想的考查

數(shù)形結(jié)合思想是最基本的數(shù)學(xué)思想之一，所以在中考中占重要地位，特別是幾何問題代數(shù)化與代數(shù)問題幾何化等問題都集中體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)思想，在相當(dāng)多省市的中考試卷中出現(xiàn)了極端法與數(shù)形結(jié)合的綜合問題，讓試題更具特色，使試題的解法更具活力，對思維深刻性的考查更有層次性.

例1 （2012年安徽中考）如圖1，點A在半徑為2的?O上，過線段OA上的一點P作直線l，與?O過點A的切線交于點B，且?APB=60°，設(shè)OP=x，則△PAB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）（注：求解本題時可將點視為三角形的特殊情況），

分析由于點P是線段OA上的動點，所以容易想到點P的兩個極端位置O與A.當(dāng)點P在O處時，y取得最大值;當(dāng)點P在A處時，y=0，故可以排除選項A與C，但這兩個極端位置無法判斷選項B與D的正確性，所以從圖形抽象數(shù)量關(guān)系

考慮，由此可知選項B錯，D對.當(dāng)然本題也可不求函數(shù)關(guān)系，只需一個特殊點，比如取OA的中點P，計算出此時的y=，

而選項B的圖象對應(yīng)y=，

只有選項D符合要求.本題的解決是通過幾何圖形的特殊點（包括極端位置）提煉數(shù)量特征（由圖到數(shù)），再從數(shù)量特征回到圖象（由數(shù)到形），分析圖象的正確性，顯然是對數(shù)形結(jié)合思想的重點考查.

例2 （2012年珠海中考）如圖2，二次函數(shù)y=（x-2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B.

（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范圍.

分析（1）容易求得二次函數(shù)是y=（x-2）2-1，一次函數(shù)是y=x-1;

（2）因為A、B坐標(biāo)為（1，0），（4，3），所以當(dāng)kx+b≥（x-2）2+m時，1≤x≤4.A，B是滿足不等式hx+b≥（x-2）=+m的兩個極端位置，最后得到結(jié)論1≤x≤4，其依據(jù)是圖形.思路是先求出極端位置的坐標(biāo)（即代數(shù)特征），再由這個代數(shù)特征控制圖形特征：線段AB在拋物線段的上方，端點重合.本題實現(xiàn)了極端位置的代數(shù)特征與圖形特征相融的命題目標(biāo)，正是數(shù)形結(jié)合的標(biāo)志.

1.2有利于轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的考查

加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查一直是中考的主流，包括數(shù)與形、方程與函數(shù)、高次與低次、特殊與一般、未知與已知、正面與反面、整體與局部、分散與集中等之間的相互轉(zhuǎn)化都是重要的轉(zhuǎn)化形式，利用極端值問題可以實現(xiàn)其中的一些轉(zhuǎn)化目標(biāo).比如求范圍問題有時可以轉(zhuǎn)化為求邊界值問題，根據(jù)動點條件選擇函數(shù)圖象問題，可以轉(zhuǎn)化為研究動點在一些極端位置的情形.

例3 （2012年嘉興中考）如圖3，正方形ABCD的邊長為a，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→D→C→A的路徑運動，回到點A時運動停止.設(shè)點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）.

分析按常規(guī)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式可以找到答案，但運算量大.若取幾個特殊點驗證圖象，更容易找到正確答案.當(dāng)點P運動到BD的中點時，此時，函數(shù)圖象應(yīng)該在第二段中點處取得最小值，這樣可排除選項B，當(dāng)點P運動到點C時，函數(shù)圖象應(yīng)該在第三段右端點取最大值，且此最大值比其它值都大，這樣可確定選項D正確.考查這樣的問題，有利于考查轉(zhuǎn)化思想，將選擇整體圖象問題轉(zhuǎn)化為研究原圖形與圖象的幾個關(guān)鍵點，體現(xiàn)了整體與局部、一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化.

例4（2014年北京東城一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0（m>1）.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1>x2），若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x1-3x2，求這個函數(shù)的解析式;

（3）將（2）中所得的函數(shù)的圖象在直線m=2的左側(cè)部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)關(guān)于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

分析（1）略;（2）y=-3/m（m>1）.

（3）作出函數(shù)y=-3/m（m>1）的圖象，并將圖象在直線m=2左側(cè)部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖4所示.易知點A，B的坐標(biāo)分別為A（3，-3），B（2，-3/2）.當(dāng)直線y=2m+b過點A時，可求得b=-9;過點B時，可求得b=-11/2;因此，-9

第（3）問的成功解決，是將求范圍問題轉(zhuǎn)化為求兩個極端值問題.其主要依據(jù)是根據(jù)圖形特征抽象代數(shù)特征.

1.3有利于運動變化中的空間想象能力的考查

課標(biāo)指出：“在探索圖形的性質(zhì)圖形的變換以及平面圖形與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)換等活動過程中，初步建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺.”這說明圖形的運動變化是幾何的重點內(nèi)容，在圖形的運動變化中抽象數(shù)量關(guān)系，特別是通過圖形的極端位置，尋找數(shù)量關(guān)系有利于抓住問題的關(guān)鍵，從而找到問題的解決思路.這恰好是中考的主要題型之一.

例5（2014年北京西城一模）拋物線y=x2-kx-3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其中點B坐標(biāo)為（1+k，0）.

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（2）將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移，使其頂點M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（3）將線段BC平移得到線段BC（B的對應(yīng)點記作B，C的對應(yīng)點記作C），使其經(jīng)過（2）中所得拋物線G的頂點M，且與拋物線G另有一個交點N，求點B到直線OC的距離h的取值范圍.

分析（1）y=x2-2x-3;

（2）y=x2-2x-1;

（3）作OE⊥BC于點E.所以BC=BC=32，OE=1/2BC=32/2.所以SxoprCr=-OC.h=tBC.OE

所以5≤0C≤/17.所以9/17≤h≤.9√5.

第（3）問在平移線段BC的過程中，雖然線段BC的位置變了，但是長度是不變的，且原點0到線段BC所在直線的距離是不變的，即△BCO的面積是不變的，所以求點B到OC的距離h變化范圍，即需求0C的取值范圍，找到OC的兩個極端位置即可.在本題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)面積不變量與OC的變化范圍是關(guān)鍵，其主要依靠空間想象能力對圖形的分析，發(fā)現(xiàn)不變量與可變量，從而抽象出數(shù)量指標(biāo).

2消極功能

2.1負(fù)面影響高中函數(shù)最值理論的學(xué)習(xí)

由于中考極端值問題的解決思路是通過觀察極端位置情況，依據(jù)極端位置建立數(shù)量關(guān)系，求出相應(yīng)的代數(shù)指標(biāo)，從而指出未知量的取值范圍就夾在這兩個極端值之間，而缺少了嚴(yán)格的論證，從而產(chǎn)生負(fù)遷移.求函數(shù)最大值與最小值或求函數(shù)值域時，相當(dāng)部分學(xué)生代區(qū)間端點值求出函數(shù)的對應(yīng)值，就默認(rèn)為是函數(shù)的最值，由此產(chǎn)生一些誤區(qū).事實上，只有當(dāng)函數(shù)在給定定義域上具有單調(diào)性才能利用端點函數(shù)值代替函數(shù)最值或函數(shù)邊界值

例7（2012年北京中考）已知二次函數(shù)y=（t+1）x2+2（t+2）x+，在x=0和x=2時的函數(shù)值相等.

（1）求二次函數(shù)的解析式;

（2）若一次函數(shù)y=kxx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3，m），求m和k的值;

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點B，C（點B.在點C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點B，C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n>0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y=hx+6向上平移n個單位.請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍.

分析（1）y=-x2+x+3/2;（2）k=4;（3）由題意可得B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0）.平移后，點B、C的對應(yīng)點分別為點B（-1-n，0），C”（3-n，0）.將直線y=4x+6平移后得到直線y=4x+6+n，當(dāng)直線y=4x+6+n過點B（-1-n，0）時，圖象G（點B除外）在該直線右側(cè)，可得n=氣;當(dāng)直線y=4x+6+n經(jīng)過點C（3-n，0）時，圖象G（點C除外）在該直線左側(cè)，可得n=6，所以由圖象可知，符合題意的n的取值范圍是2/3≤n≤6.

第（3）問解決的關(guān)鍵在于找到兩個極端位置對應(yīng)的n值，這里容易產(chǎn)生質(zhì)疑：①為何直線過點B時是一個極端位置，直線與拋物線段BC相切的位置是否為極端位置？②為何n的取值就夾在這兩個極端值之間？缺少嚴(yán)格的論證.當(dāng)學(xué)生大量練習(xí)此類問題之后，自然形成定勢習(xí)慣：求范圍者，找極端位置也從而負(fù)遷移到高中函數(shù)最值理論的學(xué)習(xí)，無論函數(shù)單調(diào)與否，都代端點值求值，默認(rèn)其值就是最值.

2.2負(fù)面影響高中解析幾何理論的學(xué)習(xí)

由于解極端值問題思路的影響，在高中解析幾何中負(fù)遷移尤其突出遇到求范圍問題，就急于找到兩個極端位置，算出兩個對應(yīng)值，就默認(rèn)范圍夾在這兩個值之間.事實上沒有充分的理由說明，是不一定可靠的.比如求y軸上一定點P到橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上點的距離的取值范圍.就不是簡單地找兩個極端位置的對應(yīng)取值，而是建立函數(shù)關(guān)系，找到定義域，研究函數(shù)最值才能正確求解.所以在初中解決極端位置問題，能用科學(xué)定量的方法求解的，在生源較好的班級可以做一些嘗試，當(dāng)然不能超綱，以實現(xiàn)初高中之間的銜接，這樣可減少負(fù)遷移的影響，

例8（2014年北京西城二模）經(jīng)過點（1，1）的直線l：y=kx+2（k≠0）與反比例函數(shù)Gi：y1=m/x（m≠0）的圖象交于點A（-1，a），B（b，-1），與y軸交于點D.

（1）求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及反比例函數(shù)G的表達(dá)式;

（2）反比例函數(shù)G2：y2=-（t≠0），

①若點E在第一象限內(nèi)，且在反比例函數(shù)G2的圖象上，若EA=EB，且△AEB的面積為8，求點E的坐標(biāo)及t值;

②反比例函數(shù)G2的圖象與直線l有兩個公共點M，N（點M在點N的左側(cè)），若DM+DN<312，直接寫出t的取值范圍.

分析（1）y=-x+2;y=-3/x;（2）E（3，3）;（3）用極端位值法解決即先算極值.

①當(dāng)t<0時，令DM+DN=32，則DM=3222/2=2/2.由此可知，M（-1/2，5/2），代入y=t/x

得t=-5/4

此時-_5

②當(dāng)t>0時，DM+DN=22<312，只需直線l與雙曲線y=，相交即可.由△>0解得0

這種方法充分利用圖形特征，顯得直觀感性，但缺少理性分析與定量分析.比如：算出極值t=-二時，為什么確認(rèn)答案是-5/4

其解題方法如下：

當(dāng)t<0時，由t得x2-2x+t=0.

因為t<0，所以△=4-4t>0.

所以x=2+√4-46.=1+/T-i.2

所以M（1-/T-t，1+/1-t），N（1+/1-t，1-V1-t）.

所以DM+DN=√（1-√1-）*+（√1-t-1）+√（1+√1-t）*+（--i-1）=12（1-1-1）+小2（1+/1-1）=2/2v1-i<3/2.

即1-t<所以9解得-5/4

這種方法是極其嚴(yán)謹(jǐn)而理性的，對初高中數(shù)學(xué)方法的銜接具有一定的積極意義.

總而言之，極端位置法問題在中考中要慎用，不能過多，在命制有關(guān)問題時，要注意到求解方法最好能多途徑入手，既能通過極端位置法考慮，也可用科學(xué)定量法，通過嚴(yán)格論證，得到正確答案，這樣有利于實現(xiàn)感性思維向理性思維過渡，既有利于初高中之間的銜接，又可以減少對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移.