任 越，楊 軍

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

現(xiàn)代作戰(zhàn)飛機的自衛(wèi)攔截手段可分為被動防御和主動防御兩類。被動防御手段包括隱身技術(shù)、誘餌技術(shù)及誘騙技術(shù)等，完全是一種消極被動的逃避方式。隨著導(dǎo)彈技術(shù)的不斷完善，這種消極被動的逃避方式幾乎不能確保飛機的有效生存，科索沃戰(zhàn)爭中，造價數(shù)億美元的F-117隱身戰(zhàn)斗機，被廉價的SA-3導(dǎo)彈所擊毀，就是最好的例證。主動防御技術(shù)則采用機載反導(dǎo)攔截武器主動摧毀來襲導(dǎo)彈，能夠更好地提高飛機生存能力。機載反導(dǎo)攔截武器主要包括機載定向能武器(主要是激光)和機載反導(dǎo)攔截彈兩類[1]。本文研究的對象即為機載反導(dǎo)攔截彈。

考慮不同載機平臺面臨的主要威脅，反導(dǎo)攔截彈應(yīng)具備攔截中遠距空空彈的能力。同時，反導(dǎo)攔截彈應(yīng)能夠幫助載機瓦解來襲導(dǎo)彈尾追、側(cè)擊和迎擊這三種典型攻擊態(tài)勢，實現(xiàn)全向攻擊。其中攔截尾追目標需要采用越肩發(fā)射來實現(xiàn)對尾后目標的攻擊，也是攔截技術(shù)的難點。

越肩發(fā)射導(dǎo)彈的制導(dǎo)過程一般由發(fā)射后的轉(zhuǎn)彎段和末制導(dǎo)攻擊段組成。轉(zhuǎn)彎段的目的是使導(dǎo)彈快速轉(zhuǎn)向目標，當滿足中末制導(dǎo)交班條件時進入末制導(dǎo)。從查閱情況來看，轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)引律一般以快速性或者速度為指標進行設(shè)計，文獻[2]使平行于初始視線方向上的速度分量最大，并以終端速度最大為指標，根據(jù)極小值原理設(shè)計了轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律。反導(dǎo)攔截需要實現(xiàn)對來襲彈的直接碰撞，對脫靶量要求極高，同時來襲彈為具備高速、高機動能力的戰(zhàn)術(shù)空空彈，因此對末制導(dǎo)律要求較高。針對高速、高機動目標的末制導(dǎo)律，一般以各種形式的最優(yōu)制導(dǎo)律和變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律為主，文獻[3]考慮了能量管理和優(yōu)化問題，以零控脫靶量和交會角為指標設(shè)計了最優(yōu)制導(dǎo)律。

借鑒相關(guān)文獻的研究成果，本文以攻角作為控制量，采用偽譜法設(shè)計了反導(dǎo)攔截彈的轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律，并采用變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計了末制導(dǎo)律。同時建立了載機攜帶攔截彈對來襲空空彈的反導(dǎo)對抗模型，利用設(shè)計的攔截彈復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律對尾追目標實現(xiàn)了攔截仿真。

1 轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律設(shè)計

采用質(zhì)點運動方程對轉(zhuǎn)彎段軌跡進行優(yōu)化，并給出最優(yōu)攻角指令，為了簡化設(shè)計，提出以下假設(shè)：

1)不計操縱力、旋轉(zhuǎn)力和非定常氣動力；

2)攔截彈采用側(cè)滑控制技術(shù)(Side to Turn，STT)轉(zhuǎn)彎，滾轉(zhuǎn)通道穩(wěn)定，滾轉(zhuǎn)角恒定。

設(shè)狀態(tài)變量x=[V,θ,ψV,h]T,控制變量u=[α,β]T，彈道坐標系下的導(dǎo)彈三自由度方程為

(1)

式中，m為質(zhì)量，V為速度，θ為彈道傾角，ψV為彈道偏角，h為高度，α為攻角，β為側(cè)滑角；Q為動壓，S為參考面積，CD為阻力系數(shù)，CY為升力系數(shù)，CZ為側(cè)力系數(shù)；P為主發(fā)動機推力；g為重力加速度。

本文用Radau偽譜法求解最優(yōu)轉(zhuǎn)彎規(guī)律。Radau偽譜法的配點為Legendre-Gauss-Radau(LGR)點，該方法以較少的節(jié)點獲得很高的求解精度，精度僅次于Gauss偽譜法，但收斂速度更快[5]。GPOPS-II軟件是一個較為成熟的用Radau偽譜法求解最優(yōu)控制的軟件，求解時需要輸入微分方程、邊界條件、邊界約束、狀態(tài)約束、性能指標以及容許控制等。

考慮攔截彈轉(zhuǎn)彎段邊界條件，轉(zhuǎn)彎段速度不能太大，以減小需用過載，初速則和載機相同。轉(zhuǎn)彎結(jié)束后攔截彈的速度矢量應(yīng)大致指向來襲彈。優(yōu)化的邊界條件為

(2)

邊界約束為

(3)

采用大攻角轉(zhuǎn)彎可以減小轉(zhuǎn)彎時間，但是攻角過大，氣動特性會異常復(fù)雜，所以攔截彈的轉(zhuǎn)彎應(yīng)在合適的攻角范圍內(nèi)進行。本文將攔截彈的攻角限制在40°，狀態(tài)約束設(shè)為

(4)

攔截彈應(yīng)在盡量短的時間內(nèi)完成轉(zhuǎn)彎，所以將轉(zhuǎn)彎時間最短作為性能指標

(5)

利用Radau偽譜法完成對連續(xù)最優(yōu)控制問題的離散化后,采用snopt求解器對離散最優(yōu)控制進行求解，得到優(yōu)化的狀態(tài)信息和控制信息。對優(yōu)化后的攻角曲線進行擬合以給出攻角指令。

擬合后的攻角指令以下面形式給出

αc=a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0

(6)

邊界條件中不同的θf會優(yōu)化出不同的攻角指令，以θf為自變量對αc中的系數(shù)a0～a6進行線性擬合，表達式如下

a6=b61θf+b60,a5=b51θf+b50a4=b41θf+b40,a3=b31θf+b30a2=b21θf+b20,a3=b11θf+b10a0=b01θf+b00

各項系數(shù)具體數(shù)值如下

b61=0.0049,b60=-0.7876b51=-0.0386,b50=6.2092b41=0.1110,b40=-18.0444b31=-0.1443,b30=23.7847b21=0.0885,b20=-14.7768b11=-0.0244,b10=4.0897b01=0.0025,b00=0.2939

法向過載的計算公式為

nyc=[Psinαc+QSCY(αc)]/mg

(7)

將攻角指令代入式(7)，得到轉(zhuǎn)彎段過載指令

nyc=[Psin(a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+

a1t+a0)+QSCY(a6t6+a5t5+a4t4+

a3t3+a2t2+a1t+a0)]/mg

(8)

2 末制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

攔截彈為STT轉(zhuǎn)彎，假設(shè)保持滾轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定，則導(dǎo)彈的控制可以解耦在2個相互正交的通道內(nèi)。本文對末制導(dǎo)律的設(shè)計在縱向平面內(nèi)開展，并假設(shè)攔截彈與目標的相對運動方程可在初始目標視線附近線性化。攔截彈與目標的相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 縱向平面內(nèi)彈目相對運動關(guān)系幾何Fig.1 Relative kinematics relationship betweenmissile and target in longitudinal plane

圖1中，下標M和T分別代表攔截彈和目標的相應(yīng)變量。V、a、θv分別代表速度、側(cè)向加速度和彈道傾角。qα代表視線高低角，r表示彈目相對距離。z表示某一時刻彈目視線與初始視線在法線方向的相對位移。

根據(jù)圖1可以得到

(9)

彈目在視線切線方向上的相對速度為

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(10)

彈目在視線法線方向上的相對速度為

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(11)

Vq同時可以表示為

(12)

假設(shè)目標的機動為一階動力學(xué)，則

(13)

式中，τT為目標的一階時間常數(shù)。

假設(shè)攔截彈的機動為一階動力學(xué)，則有

(14)

式中，τM為導(dǎo)彈的一階時間常數(shù)。

(15)

2.2 零控脫靶量

變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的滑膜面常選用視線角速度，但是制導(dǎo)末端彈目關(guān)系變化劇烈，導(dǎo)致視線角速度驟變、控制信號惡劣。針對具有高速、大機動能力的來襲目標，本文選取零控脫靶量(Zero Effort Miss，ZEM)作為滑膜面。零控脫靶量的含義是從當前時刻開始，目標保持當前機動不變，導(dǎo)彈控制量為0的最終脫靶量。

由零控脫靶量的定義可以將式(15)轉(zhuǎn)化為齊次方程

(16)

x=[x1x2x3x4]T

(17)

對齊次方程進行Laplace變換，可以得到：

x4(s)=x40/(s+1/τM)

(18)

x3(s)=x30/(s+1/τT)

(19)

(20)

(21)

對x1(s)進行Laplace逆變換得

(22)

任意時刻的ZEM可以表示為

(23)

其中：ψ(tgo/τ)=e-tgo/τ-1+tgo/τ。

根據(jù)幾何關(guān)系可以得到

z=-Vrtgoqα

(24)

(25)

ZEM可以寫為

(26)

2.3 變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計

考慮簡化的導(dǎo)彈、目標動力學(xué)一階環(huán)節(jié)與實際動力學(xué)之間的有界誤差分別為ΔaMN、ΔaTN，同時目標加速度為有界未知變量

(27)

(28)

利用相對運動方程

(29)

(30)

對s進行微分運算：

(31)

結(jié)合相對運動方程和式(31)可以得到

(32)

(33)

根據(jù)Lyapunov第二法選取Lyapunov函數(shù)為

L=s2/2

(34)

(35)

將控制量代入V中，得到

(36)

(37)

因為η大于系統(tǒng)總擾動的界Δ，所以V<0，系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了削弱滑膜控制的抖振，采用連續(xù)高增益法，用連續(xù)函數(shù)w(s)取代sgn(s)

(38)

式中，δ是很小的正常數(shù)。

因此，末制導(dǎo)段縱向平面法向過載指令為

(39)

側(cè)向平面采用次最優(yōu)導(dǎo)引律為

(40)

式中，導(dǎo)航比N=4。

3 交接班導(dǎo)引律設(shè)計

考慮初末制導(dǎo)的彈道交接班。在彈道交接點，核心思想是使加速度矢量連續(xù)。這可以理解為使得交接班加速度

(41)

為一個連續(xù)函數(shù)。其中：ajj(t)為導(dǎo)彈的加速度矢量，v(t)為導(dǎo)彈的速度矢量。若能夠使得ajj(t)交接班開始時刻等于初制導(dǎo)結(jié)束時刻的加速度指令,在交接班完成時等于末制導(dǎo)所需的加速度指令,則完成導(dǎo)彈中末制導(dǎo)的交接班。

基于以上思想，將交接班看作是從第i條彈道到第j條彈道的過渡。定義交接班導(dǎo)引律為[9]

ajj(t)=aj(tb)+(T+t0-t)[ai(t0)-aj(tb)]/T

(42)

式中，ai(t0)、aj(tb)分別為第i條彈道和第j條彈道的指令加速度。t0為交接開始時間，T為交接班時間。

4 載機發(fā)射模塊數(shù)學(xué)模型

在這里，建立簡化的發(fā)射控制模塊數(shù)學(xué)模型，僅簡要描述其對發(fā)射的控制，數(shù)學(xué)公式如下

(43)

式中，SF為發(fā)射狀態(tài)字，0表示不發(fā)射攔截彈，1表示發(fā)射攔截彈；Rm為載機與目標的相對距離測量值；Rb為攔截彈允許發(fā)射最遠距離。

5 仿真分析

假設(shè)在傳感器理想的情況下，來襲導(dǎo)彈狀態(tài)信息及攔截導(dǎo)彈飛行參數(shù)都可以準確獲得。反導(dǎo)攔截彈各項參數(shù)由Missle Datcom軟件計算得到，來襲導(dǎo)彈為某型雷達制導(dǎo)空空導(dǎo)彈，在Matlab/Simulink中對載機反導(dǎo)場景進行仿真。

來襲導(dǎo)彈攻擊態(tài)勢：來襲彈與載機初始高差為2km，初始斜距為6.4km，來襲彈尾追攻擊載機。

攔截態(tài)勢：載機在距來襲彈6km處發(fā)射反導(dǎo)攔截彈對來襲導(dǎo)彈實施攔截。

仿真條件設(shè)置：載機水平勻速飛行，初始位置(0，10000，0)m，初始速度為0.8Ma；來襲導(dǎo)彈初始位置(-6000，12000，1000)m，初始速度為0.8Ma。載機初始彈道偏角為0°，來襲彈初始彈道偏角0°、初始彈道傾角為0°。用于末制導(dǎo)律計算的攔截彈與來襲彈的動力學(xué)一階時間常數(shù)均取為0.1s。仿真曲線如圖2～圖7所示。

圖2 側(cè)向彈道Fig.2 Lateral trajectory

圖3 縱向彈道Fig.3 Longitudinal trajectory

圖4 側(cè)向過載Fig.4 Lateral acceleration

圖5 縱向過載Fig.5 Longitudinal acceleration

圖6 攔截彈速度Fig.6 Velocity of the interceptor

圖7 零控脫靶量Fig.7 Zero-effort misses distance

從圖6中可以看出，初制導(dǎo)轉(zhuǎn)彎段速度減小，原因是導(dǎo)彈推力和空氣動力的合力與速度方向相反。轉(zhuǎn)彎段速度較小可以減小導(dǎo)彈需用過載，實現(xiàn)快速轉(zhuǎn)彎。從圖5中可以看出，攔截彈在進入末制導(dǎo)后以較大的縱向過載使滑膜快速趨近0，到達滑膜后以較小的過載使得ZEM維持在0附近。制導(dǎo)末端tgo趨近于0導(dǎo)致過載指令變化很大。采用本文給出的復(fù)合制導(dǎo)律，攔截彈最終的脫靶量為0.2m，能夠?qū)硪u彈實施直接碰撞，同時攔截成功時碰撞點距載機超過1km，能夠保證載機的安全。

6 結(jié)論

本文主要研究了反導(dǎo)攔截彈越肩發(fā)射的復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律，給出了轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)引律和變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，數(shù)字仿真結(jié)果說明，這種復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律能夠?qū)崿F(xiàn)載機對來襲導(dǎo)彈的自衛(wèi)攔截。

基于零控脫靶量的末制導(dǎo)律需要攔截彈的剩余飛行時間、來襲彈機動加速度等信息，這就給小型化攔截彈與載機的探測裝置及估計算法提出了較高的要求，工程上若要實現(xiàn)還需要進一步研究。同時，未來需要進一步考慮在無法準確獲得敵方導(dǎo)彈狀態(tài)信息時如何進行估計，本文忽略了許多非線性因素，在更加貼近實際的作戰(zhàn)場景中仍需要深入研究。