韓艷鏵，尹文博，張 勇

（1.南京航空航天大學航天學院，南京 211106；2.南京航空航天大學無人機研究院，南京 210016）

空射運載火箭在商用、軍事等領(lǐng)域用途廣泛［1?2］。按照火箭裝載方式分為下掛、背馱、內(nèi)裝、拖曳4 種［3?4］。相比于陸基發(fā)射，空射具有多方面的優(yōu)點［5?8］。

內(nèi)裝式空射將火箭固定在機艙內(nèi)，載機到達預(yù)定空域和飛行狀態(tài)后解鎖火箭，機?箭分離后點火發(fā)射［9?10］。箭頭與機頭方向一致為前向發(fā)射，反之為后向發(fā)射。前向發(fā)射火箭能量損失小，有助于提高其運載能力。

前向發(fā)射有牽引傘拖拽和重力出艙兩種方式。后者靠火箭自身重力出艙，容易做到火箭大俯仰角離機，盡快建立點火姿態(tài)，并可將載機能量最大限度傳遞給火箭，提高入軌載荷質(zhì)量［11］。

內(nèi)裝式發(fā)射火箭的出艙過程涉及復雜的兩體耦合動力學。文獻［3］利用Adams 和Solid?works 建立了載機、火箭和穩(wěn)定傘組成的虛擬樣機并進行了仿真，但未給出系統(tǒng)動力學的數(shù)學解析模型。文獻［8］推導了火箭出艙過程的動力學模型，但是假設(shè)載機的運動狀態(tài)恒定，未考慮火箭對載機的耦合影響。文獻［9］直接給出火箭出艙過程的動力學模型，也未考慮火箭對載機的耦合影響。文獻［12］將火箭和載機視作一個整體，考慮火箭在機艙內(nèi)不同位置對系統(tǒng)整體質(zhì)心的影響，分析了發(fā)射分離時“載機”的飛行品質(zhì)。文獻［13?16］研究了空射運載火箭的其他相關(guān)問題，重點不是機?箭耦合動力學。文獻［17］設(shè)想在機艙內(nèi)安裝一個與火箭等直徑的發(fā)射筒，火箭出艙運動被限制在該筒縱軸線上，建立了火箭出艙過程的機?箭兩體耦合動力學模型。但實際上火箭出筒的末階段，發(fā)射筒和箭體的接觸面急劇減小，接觸面上局部載荷急劇增大，火箭運動難以嚴格限制在發(fā)射筒縱軸線上，因此該文所考慮的情況偏于理想化。

國內(nèi)外公開發(fā)表的文獻中，針對內(nèi)裝式重力出艙機?箭兩體耦合動力學進行建模研究的極少，且不夠深入。美俄等航天強國已經(jīng)試驗成功的火箭重力出艙過程，機艙內(nèi)沒有發(fā)射筒，火箭直接置于艙底滑軌上，出艙過程會發(fā)生復雜的情況，譬如箭頭上翹，此時火箭的相對運動自由度發(fā)生變化。本文即針對這些復雜情況，研究火箭重力出艙機?箭兩體耦合動力學。

1 火箭出艙過程運動分析

火箭相對于載機的運動，可分為圖1 所示的5個階段，并可能出現(xiàn)多種異常情況。

圖1 火箭出艙經(jīng)歷的正常階段和可能發(fā)生的異常情況Fig.1 Normal stages and possible abnormal situations of the rocket exiting the cabin

階段1 整箭在艙底滑行；階段2 箭體緊貼艙底，但已部分出艙；階段3 箭體出艙部分越過“臨界點”后，箭頭上翹，火箭通過艙尾的一個支點相對于載機滑行。因階段3 火箭滑行的同時還有關(guān)于自身質(zhì)心的姿態(tài)俯仰運動，故火箭與載機的唯一支點可能消失，箭體“飄起”，進入階段4。階段4 能否發(fā)生取決于一定的力學條件，后文詳述。階段5 表示火箭完全離艙。

階段1 可能發(fā)生異常情況1?1，1?2，1?3，分別表示火箭在艙內(nèi)“抬頭”、“翹尾”、“整體飄起”。階段2 可能發(fā)生異常情況2?1 和2?2，分別表示火箭“翹尾”和“整體飄起”。階段3 可能發(fā)生異常情況3?1，表示火箭抬頭角過大，箭頭觸碰艙頂。階段4 可能發(fā)生異常情況4?1 和4?2，分別表示箭頭觸碰艙頂，以及箭腹觸碰艙尾。

需說明的是，從靜態(tài)觀點看，圖1 中階段4和異常情況2?2 所描述的箭機相對運動相似，但從動態(tài)觀點看，兩者物理意義不同：階段4 是階段3 的自然延續(xù)，箭機之間唯一的支點消失，而異常情況2?2 表示在階段2，火箭過早“整體飄起”，火箭很可能“回落”撞擊艙底。同樣，圖1中階段3 和異常情況4?2 所描述的箭機相對運動相似，但兩者物理意義不同：階段3 是階段2 的自然延續(xù)，火箭與載機的“接觸線”逐漸縮短退化為“支點”，而異常情況4?2 表示在階段4，火箭相對于載機的“下落”運動致其腹部與艙尾發(fā)生“碰撞”。

綜上所述：正常情況，箭機之間只會相對滑行，最后脫離接觸，可能經(jīng)歷階段1，2，3，4 或1，2，3 后進入階段5?！爱惓Ｇ闆r”表示箭機之間發(fā)生“碰撞”，譬如“異常情況3?1，4?1，4?2”，或者有潛在的“碰撞”風險，譬如“異常情況1?1，1?2，1?3 和2?2”，本身不代表碰撞，但火箭有可能“回落”而撞擊艙底。

2 火箭出艙過程機?箭多體動力學建模

圖2、3 中，p和r分別為載機和火箭的質(zhì)心。空射時飛行縱平面內(nèi)的運動是主要的，本文僅研究該平面內(nèi)的運動。

圖2 載機重要幾何參數(shù)Fig.2 Key geometry parameters of the aircraft

圖3 火箭重要幾何參數(shù)Fig.3 Key geometry parameters of the rocket

本文涉及5 個坐標系：地面慣性系oA xA yA、載機速度系oB xB yB、機體系oC xC yC、箭體系oD xD yD、箭體局部速度系oE xE yE，分別用A，B，C，D，E表示。坐標系A(chǔ)，B，C，D的定義及其變換關(guān)系見文獻［18］，此處僅定義坐標系E：原點oE在火箭已出艙部分的幾何中心，oE xE軸沿著該點速矢方向，oE yE軸垂直于oE xE且在豎直平面內(nèi)，向上為正。

本文工作包括火箭固定在機艙內(nèi)的建模和火箭解鎖后出艙過程的兩體系統(tǒng)建模。

空射前火箭固定在機艙內(nèi)，此時可將載機?火箭視作一個剛體。解鎖后進入階段1～4，火箭和載機間有相對運動，須按兩體問題處理。各階段載機均有兩個平動和一個姿態(tài)俯仰自由度，階段1 和2 火箭有一個滑移自由度，階段3 火箭有一個滑移和一個姿態(tài)俯仰自由度，階段4 火箭有兩個平動和一個姿態(tài)俯仰自由度。階段1 和2 的力學模型形式相同，前者火箭受到的氣動力為零，后者非零，故可把前者視作后者的特例，統(tǒng)一建模。階段3 和4需分別建模。

2.1 火箭固定在機艙內(nèi)時的系統(tǒng)動力學

式（4，5）在各階段均成立，式（6）在階段1 和2中均成立。

對于火箭固定在機艙內(nèi)時的系統(tǒng)動力學，限于篇幅，本文略去推導過程，直接給出結(jié)果如下

式中：mp，mr分別為載機和火箭質(zhì)量；Ip，Ir分別為載機和火箭關(guān)于各自質(zhì)心的俯仰轉(zhuǎn)動慣量；v為載機飛行速度；α為其迎角；P為載機發(fā)動機推力；Q，Y分別表示載機氣動阻力和升力；M′Rp為載機氣動俯仰力矩；g為重力加速度常數(shù)。

2.2 階段1 和2 系統(tǒng)動力學

階段1 和2，載機質(zhì)心動力學

式中μ為艙底和火箭之間的滑動摩擦系數(shù)。

式中c3表示C系沿zC軸正方向的單位矢量。對于圖1 所示飛行方向，按右手規(guī)則，zC軸正方向垂直于紙面向里。后文中涉及到某坐標系的z軸及其單位矢量均同理，不再逐一解釋。

火箭姿態(tài)俯仰動力學

相關(guān)各式聯(lián)立，可得

異常情況2?1 的發(fā)生條件（即判別公式）與異常情況1?2 的發(fā)生條件相同；異常情況2?2 的發(fā)生條件（即判別公式）與異常情況1?3 的發(fā)生條件相同。

2.3 階段3 系統(tǒng)動力學

階段3 如圖4 所示。在階段3，載機質(zhì)心動力學和姿態(tài)動力學方程的一般形式，即式（8，18）仍成立。但因火箭對載機的作用力集中于艙尾支點p1，故式（18）中的Mfp可具體化，聯(lián)立相關(guān)各式可得

圖4 階段3 機?箭關(guān)系詳圖Fig.4 Details of aircraft?rocket in stage 3

用變量s和λ描述火箭質(zhì)心相對于載機質(zhì)心的位矢如下

相關(guān)各式聯(lián)立，可得

下面計算火箭受到的空氣動力Rr。仍取火箭出艙部分幾何中心r6點為氣動力等效作用點，結(jié)合階段3 的具體條件可得

2.4 階段4 系統(tǒng)動力學

在階段4，火箭與載機脫離接觸，兩者間無力的直接作用。載機的飛行動力學即常規(guī)的飛行器飛行力學?；鸺鄬τ谳d機的動力學方程限于篇幅忽略推導過程，直接給出結(jié)果。系統(tǒng)動力學方程如下

出艙部分的局部攻角計算公式（57）仍成立。出艙部分受到的氣動阻力、氣動升力、局部動壓的計算公式（32，33）仍成立，只是式（32）中k′的計算公式需作相應(yīng)修改。

階段4 過渡到階段5 的標志是：箭頭r5點穿越載機p1，p2兩點連線，進入其右側(cè)即艙外（參考圖1）。設(shè)想以r5為始點，分別以p1，p2為終點，構(gòu)造兩個矢量，記為rp1r5和rp2r5，兩者叉乘

3 數(shù)值仿真

空射過程仿真結(jié)果如圖5～13 所示。圖5～10仿真曲線上標注了倒三角、鉆石形、小圓圈、五角星，其意義如下：倒三角之前的曲線表示載機帶箭巡航；倒三角與鉆石形之間的曲線表示階段1；鉆石形與小圓圈之間的曲線表示階段2；小圓圈與五角星之間的曲線表示階段3；五角星之后的曲線表示階段4。

圖5 載機飛行高度Fig.5 Flight height of the aircraft

表1 仿真入口參數(shù)Table 1 Input parameters for simulation

圖6 載機飛行速度Fig.6 Flight velocity of the aircraft

圖5、6顯示，火箭出艙過程中，載機的飛行高度增量約為8 m，飛行速度增量約為3.84 m/s，是因為火箭將自身的一部分動量和機械能轉(zhuǎn)移給載機的緣故。

圖7中的η和ηr分別表示載機和火箭的姿態(tài)俯仰角。載機姿態(tài)俯仰角略有增加，這是因為火箭在艙內(nèi)向后滑行，對載機施加抬頭力矩；火箭的姿態(tài)俯仰角有大幅度增加，達到39.3°，原因是階段3 中的“蹺蹺板”效應(yīng)，火箭相對于載機有大幅度的抬頭角λ。

圖7 載機和火箭姿態(tài)俯仰角Fig.7 Pitch angles of the aircraft and the rocket

圖8顯示，階段1和2中載機攻角單調(diào)增加。但進入階段3后，因火箭對載機正壓力的幅度開始減小，其對載機的抬頭力矩也減小，載機在自身氣動穩(wěn)定力矩的作用下，迎角開始回落，直至終值（約21.95°）。

圖8 載機迎角Fig.8 The attack angle of aircraft

圖9 與圖7 對應(yīng)，實線和虛線分別是載機和火箭的俯仰角速率?；鸺陔x機時的俯仰角速率達到20.5 (°)/s。高達39.3°的離機俯仰角和20.5 (°)/s的俯仰角速率有利于火箭離機后盡快進入點火姿態(tài)。

圖9 載機和火箭姿態(tài)俯仰角速率Fig.9 Pitch angle rate of the aircraft and the rocket

圖10 顯示，火箭在艙內(nèi)的滑行呈加速趨勢，離機時沿載機縱軸的速率達到20.2 m/s，有利于載機與火箭迅速拉開距離，減小載機尾流對火箭的干擾，也減小火箭點火對載機的安全威脅。并且由前述仿真結(jié)果數(shù)據(jù)估算，火箭離機后約2～3 s 即可達到近乎垂直的點火姿態(tài)，且與載機的水平距離達到約40～60 m 的安全值。

圖10 火箭沿載機縱軸的滑行速度Fig.10 Sliding velocity of the rocket along the longitudi?nal axis of the aircraft body

圖11～13是階段3，4中的部分關(guān)鍵變量。圖11顯示變量s在5.38 s 時遞減到5.58 m，此時火箭與載機脫離接觸進入階段4。對比圖12，此刻火箭對載機的正壓力分量fC2的幅值遞減到零，火箭整體“飄起”。圖13 是階段4 中標志火箭離艙變量w′r5的曲線，可見從5.38 s 開始，該變量從-45 m2單調(diào)遞增，直至5.78 s時，該變量過零點，此時火箭完全離艙。

圖11 階段3 中變量sFig.11 Variable s in stage 3

圖12 階段3 中火箭對載機的正壓力Fig.12 Normal pressure on the aircraft by the rocket in stage 3

圖13 階段4 中火箭離機的標志變量Fig.13 Marking variable of the rocket separating from the aircraft in stage 4

仿真結(jié)果表明，火箭在艙內(nèi)的運動經(jīng)歷了階段1，2，3，4，最終進入階段5，機箭分離。

4 結(jié)論

本文研究了以運輸機為平臺的內(nèi)裝式空射運載火箭重力出艙過程載機?火箭兩體動力學。將正常出艙過程順次分為4 個階段，建立了各階段的動力學模型，給出了各階段過渡的力學條件。給出了多種異常情況，并分析了發(fā)生異常情況的力學或幾何條件。對出艙過程的兩體系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真。

限于篇幅，仿真只展示了一組典型設(shè)計參數(shù)和發(fā)射初始條件下，機?箭系統(tǒng)順次經(jīng)歷階段1，2，3，4，直至進入階段5，仿真正常結(jié)束。

工程上，可根據(jù)載機和火箭的多種設(shè)計參數(shù)（譬如質(zhì)量、幾何和氣動等參數(shù)）和發(fā)射參數(shù)（譬如火箭在載機中的初始安放位置、載機的巡航高度和速度等），運用本文提供的數(shù)學模型進行仿真，根據(jù)仿真結(jié)果排除不合理設(shè)計參數(shù)和發(fā)射參數(shù)，保留合理參數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫，為我國發(fā)展空射運載火箭技術(shù)提供參考。

本文只研究了縱向平面內(nèi)的動力學，且沒有考慮控制輸入（譬如載機油門和升降舵）對空射過程的影響。后期需進一步考慮載機和火箭橫側(cè)向運動，建立更完整的力學模型，并深入研究載機飛行控制律，以改善空射過程飛行品質(zhì)，優(yōu)化火箭離機狀態(tài)。另外，異常情況下火箭與載機的觸碰動力學也值得深入研究。