丁鍇鋮 連華東

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ULE?疊層反射鏡二維等效建模方法研究

丁鍇鋮1,2連華東1

（1 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094） （2 先進(jìn)光學(xué)遙感技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

ULE?疊層反射鏡是實(shí)現(xiàn)大口徑、低面密度、高剛度空間反射鏡的有效途徑。為提高ULE?疊層反射鏡設(shè)計(jì)效率，文章基于蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)均質(zhì)板等效理論，推導(dǎo)了疊層反射鏡二維等效模型建模方法，利用有限元法計(jì)算二維等效模型自由模態(tài)頻率，對(duì)比詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證等效模型計(jì)算精度，并結(jié)合設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證該二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性。分析結(jié)果表明，疊層反射鏡面密度大于40kg/m2時(shí)，二維等效模型模態(tài)頻率計(jì)算誤差優(yōu)于4%，滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)精度要求。文章提出的疊層反射鏡二維等效建模方法大幅縮減疊層反射鏡有限元模型規(guī)模，實(shí)現(xiàn)疊層反射鏡有限元模型高度參數(shù)化，有效提高了疊層反射鏡設(shè)計(jì)效率。

疊層反射鏡 等效理論 輕量化 有限元分析 航天遙感

0 引言

ULE?疊層反射鏡是為實(shí)現(xiàn)大口徑、低面密度、高剛度空間反射鏡而提出的新型蜂窩夾芯構(gòu)型，蜂窩芯采用多層不同形狀、不同尺寸的組合蜂窩結(jié)構(gòu)[1-3]。地球之眼系列（Geo-Eye）1.1m口徑空間主鏡采用疊層技術(shù)實(shí)現(xiàn)了50kg/m2面密度[4]，為制備4~8m口徑的空間反射鏡，文獻(xiàn)[5]已研制出面密度為45kg/m2，口徑分別為430mm與 1 500mm口徑鑒定產(chǎn)品，我國(guó)也已實(shí)現(xiàn)500mm口徑與3m口徑鑒定產(chǎn)品的研制，可以預(yù)見其在大口徑空間反射鏡輕量化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用前景[6]。隨著疊層反射鏡應(yīng)用需求增加，對(duì)其設(shè)計(jì)效率提出了更高要求。

為提高反射鏡設(shè)計(jì)效率，通常先確定一個(gè)面形精度、基頻、質(zhì)量等指標(biāo)接近或滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的初始鏡體結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)方法利用設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)公式確定反射鏡徑厚比，蜂窩胞元形狀、大小，面板厚度等結(jié)構(gòu)參數(shù)[7-8]，而疊層反射鏡結(jié)構(gòu)形式新穎，缺乏設(shè)計(jì)參考，采用經(jīng)驗(yàn)公式誤差較大，設(shè)計(jì)結(jié)果不可靠；文獻(xiàn)[9]、[10]提出一種基于二維等效模型的反射鏡結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，將具有蜂窩孔的輕量化反射鏡等效成一層均質(zhì)薄板，在有限元軟件中用一層2D殼單元表征鏡體結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化模型，縮短建模及計(jì)算耗時(shí)，從而提高設(shè)計(jì)效率：然而文獻(xiàn)[9]中總結(jié)的二維等效模型僅考慮了單一蜂窩構(gòu)型，不能直接應(yīng)用于由多層不同尺寸、形狀的蜂窩芯組合成型的疊層反射鏡。因此，在疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，目前要通過描述全部筋板、面板等結(jié)構(gòu)的詳細(xì)有限元模型進(jìn)行分析。這類模型建模復(fù)雜、修改困難、規(guī)模龐大、計(jì)算費(fèi)時(shí)，導(dǎo)致ULE?疊層反射鏡的設(shè)計(jì)效率較低。

針對(duì)上述問題，本文基于蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)均質(zhì)板等效理論推導(dǎo)了ULE?疊層反射鏡二維等效建模方法，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了二維等效模型的計(jì)算精度，基于二維等效模型建立了疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，并結(jié)合設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證了二維等效建模方法在ULE?疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)中的實(shí)用性與高效性。

1 疊層反射鏡二維等效模型公式推導(dǎo)

疊層反射鏡結(jié)構(gòu)如圖1所示，定義反射鏡光學(xué)表面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；f、b為前、后面板厚度；c為蜂窩芯壁厚；A為光學(xué)平面至中性面之間的距離；h、B分別為第層蜂窩的芯層高度以及蜂窩孔筋板間距，下標(biāo)代表第層蜂窩芯對(duì)應(yīng)屬性，一般≤3；為反射鏡總高度。

圖1 疊層反射鏡示意圖

文獻(xiàn)[10]中單一蜂窩胞元結(jié)構(gòu)等效建模方法，定義第層蜂窩芯密實(shí)度比α為

中性面A計(jì)算方法如下

式中()為距光學(xué)表面處蜂窩芯的密實(shí)度比。

二維等效模型是將疊層反射鏡等效為一層均質(zhì)薄板，在有限元中用1層板殼單元計(jì)算，提高反射鏡建模與計(jì)算效率[11]。二維等效均質(zhì)薄板的等效厚度eq，等效密實(shí)度比，單位寬度上的彎曲慣性矩b和剪切深度計(jì)算方法如下

根據(jù)面內(nèi)剛度等效、面外剛度等效、質(zhì)量等效原理[12-15]，推導(dǎo)得二維等效均質(zhì)薄板的材料參數(shù)計(jì)算方法

式中k為第層蜂窩芯蜂窩形狀修正系數(shù)[16]，正六邊形蜂窩k=2，正三角形蜂窩k=3；、、、為反射鏡材料的泊松比、彈性模量、剪切模量和密度；eq、eq、eq、eq分別代表等效板的泊松比、彈性模量、剪切模量和密度。

2 二維等效模型精度分析

2.1 反射鏡有限元建模

本文利用Hypermesh進(jìn)行建模、分析。針對(duì)三層蜂窩的平面疊層反射鏡，建立二維等效模型計(jì)算1階自由模態(tài)頻率，以詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果作為精確值，分析二維等效模型精度[17]。保持其它參數(shù)不變，分別改變反射鏡總高度和層高比f︰1︰2︰3︰b，研究不同徑厚比、面密度對(duì)二維等效模型計(jì)算精度的影響。反射鏡的不變參數(shù)如表1所示。圖2為=60mm，f︰1︰2︰3︰b=1︰2︰4︰2︰1時(shí)兩種建模方法的有限元模型。

表1 反射鏡主要幾何參數(shù)

Tab.1 Main geometric parameters of the stacked-core mirror mm

如圖2所示，詳細(xì)模型中面板、蜂窩壁、內(nèi)外環(huán)均采用板單元，總單元數(shù)為112 812個(gè)；二維等效模型在反射鏡中面位置建立板單元，反射鏡內(nèi)、外環(huán)以梁?jiǎn)卧硎?，單元?shù)為3 840個(gè)，其中板單元3 600個(gè)，梁?jiǎn)卧?40個(gè)?？梢钥闯?，二維等效模型在建模復(fù)雜程度上遠(yuǎn)低于詳細(xì)模型，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的疊層反射鏡，建模時(shí)間可從數(shù)小時(shí)縮短至幾分鐘，建模與分析時(shí)間大幅降低。

圖2 疊層反射鏡有限元模型

2.2 二維等效模型精度驗(yàn)證

保持層高比f︰1︰2︰3︰b=1︰2︰4︰2︰1不變，反射鏡總高度以10mm為步長(zhǎng)從30mm增加至110mm，計(jì)算反射鏡模態(tài)頻率。結(jié)果如表2所示。

表2 徑厚比對(duì)二維等效模型精度影響

Tab.2 Influence of diameter-thickness ratio on natural frequency error

保持反射鏡高度=80mm不變，改變層高比，研究不同面密度對(duì)二維等效模型頻率計(jì)算精度的影響，結(jié)果如表3所示。不同參數(shù)對(duì)二維等效模型計(jì)算精度的影響如圖3所示。

表3 輕量化程度對(duì)二維等效模型精度影響

Tab.3 Influence of lightweight degree on natural frequency error

綜合表2、表3及圖3可以看出：二維等效模型分析結(jié)果普遍偏高，疊層結(jié)構(gòu)在等效過程中剛度得到加強(qiáng)；二維等效模型計(jì)算結(jié)果在變化趨勢(shì)上與詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果高度一致；徑厚比變化對(duì)疊層反射鏡二維等效模型精度影響有限，面密度對(duì)二維等效模型頻率計(jì)算精度影響更明顯，當(dāng)疊層反射鏡面密度大于40kg/m2時(shí)，二維等效模型頻率計(jì)算誤差小于4%。綜上所述，疊層反射鏡二維等效模型計(jì)算精度滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)要求，相較于詳細(xì)模型，二維等效模型在簡(jiǎn)化模型、縮短計(jì)算耗時(shí)方面有巨大優(yōu)勢(shì)，可有效提高疊層反射鏡設(shè)計(jì)效率。

圖3 不同參數(shù)對(duì)二維等效模型頻率誤差的影響

2.3 算例分析

基于疊層反射鏡二維等效模型對(duì)某大口徑非球面反射鏡進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，進(jìn)一步驗(yàn)證二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)中的實(shí)用性及有效性。反射鏡設(shè)計(jì)要求如表4所示[12]。

表4 反射鏡設(shè)計(jì)要求

Tab.4 Design requirements of the mirror

以質(zhì)量最小為目標(biāo)，光軸平行重力時(shí)背部36點(diǎn)卸載面形為約束優(yōu)化反射鏡。首先，根據(jù)反射鏡形 狀參數(shù)建立1層板殼有限元模型，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)確定各變量設(shè)計(jì)范圍，利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法建立采樣 點(diǎn)[18-20]，計(jì)算等效參數(shù)并更新有限元模型進(jìn)行分析，提取儲(chǔ)存面形分析結(jié)果直至所有采樣點(diǎn)計(jì)算完成，然后擬合完全二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，基于響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化[21-23]，最后根據(jù)優(yōu)化結(jié)果建立詳細(xì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，直至滿足設(shè)計(jì)要求。優(yōu)化流程如圖4所示，疊層反射鏡各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)反射鏡面形的影響程度如圖5所示。

按圖4所示流程及圖5靈敏度分析結(jié)果，建立響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如表5所示。

根據(jù)表5所示參數(shù)建立以板殼結(jié)構(gòu)為主的詳細(xì)模型進(jìn)行校核，二維模型與詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果如表6所示。

對(duì)比二維等效模型設(shè)計(jì)結(jié)果與詳細(xì)模型仿真結(jié)果，面形計(jì)算誤差為7.43%，頻率計(jì)算誤差為2.33%，質(zhì)量計(jì)算誤差為2.56%，滿足設(shè)計(jì)要求；基于二維等效模型建立的疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法將有限元模型高度參數(shù)化，大幅提高了這類反射鏡的設(shè)計(jì)效率。

圖4 疊層反射鏡優(yōu)化流程

圖5 疊層反射鏡各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)面形的影響

表5 反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

Tab.5 The optimized results of the mirror structur parameters mm

表6 等效模型與詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

Table.6 Comparison of results between 2D model and detailed model

3 結(jié)束語

基于蜂窩結(jié)構(gòu)均質(zhì)板等效理論，推導(dǎo)出ULE?疊層反射鏡二維等效剛度模型各參數(shù)計(jì)算方法。研究不同徑厚比、面密度下二維等效模型一階自由模態(tài)頻率計(jì)算精度，結(jié)果表明面密度大于40kg/m2時(shí)，二維等效模型頻率計(jì)算誤差優(yōu)于4%，具有工程實(shí)用價(jià)值；通過具體算例驗(yàn)證了該二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性。后續(xù)將進(jìn)一步研究變剛度分布的疊層反射鏡等效建模方法，提高疊層反射鏡二維等效模型適用范圍；利用二維等效建模方法實(shí)現(xiàn)疊層反射鏡設(shè)計(jì)過程自動(dòng)化，提高疊層反射鏡設(shè)計(jì)效率。

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2D Equivalent Modeling Method for ULE?Stacked-core Mirrors

DING Kaicheng1,2LIAN Huadong1

（1 Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China） （2 Beijing Key Laboratory of Advanced Optical Remote Sensing Technology, Beijing 100094, China）

ULE?stacked-core mirror technology provides an effective way to make space mirrors with large aperture, low areal density and high stiffness.In order to improve the design efficiency and accuracy for ULE?stacked-core mirrors, a 2D equivalent modeling method is derived based on equivalent plate theory for sandwich structure in this paper. The finite element method is used to calculate the free modal frequency of the 2D equivalent model, and then the results are compared with those obtained by detailed model to verify the accuracy of the equivalent method. The validity of the 2D equivalent model in the optimization design of the stacked-core mirror is verified by a simulation example. The results show that the frequency error of 2D equivalent model is less than 4% when the areal density of the stacked-core mirror is greater than 40kg/m2, which can satisfy the requirements of the mirror design optimization.The 2D equivalent method proposed in the paper can greatly reduce the scale of the finite element model and increase the parameterization level highly, thus effectively improving the design efficiency for the stacked-core mirrors.

stacked-core mirrors; equivalent method; lightweight; finite element analysis; space remote sensing

TH75；V414.6

A

1009-8518(2019)02-0099-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2019.02.011

丁鍇鋮，男，1991年生，2014年獲哈爾濱工業(yè)大學(xué)航空宇航科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)在中國(guó)空間技術(shù)研究院飛行器設(shè)計(jì)專業(yè)攻讀碩士學(xué)位。研究方向?yàn)楣鈱W(xué)遙感器總體設(shè)計(jì)。E-mail：mldingding@sina.com。

2018-06-07

國(guó)家重大科技專項(xiàng)工程

（編輯：龐冰）