劉修善

（中國(guó)石化石油工程技術(shù)研究院，北京 100101）

0 引言

井眼軌跡設(shè)計(jì)、監(jiān)測(cè)與控制的基本目標(biāo)是定位井眼軌跡的空間位置。然而，由于存在測(cè)量、計(jì)算等誤差，井眼軌跡定位不可能絕對(duì)準(zhǔn)確。通過(guò)誤差校正等途徑能提高井眼軌跡定位精度，但是卻無(wú)法完全消除誤差，因此井眼軌跡存在不確定性問(wèn)題。特別是密集井網(wǎng)、薄油層等油氣田開(kāi)發(fā)和海上平臺(tái)、救援井等鉆井作業(yè)更需要定量表征井眼軌跡的不確定性，以降低鉆井作業(yè)風(fēng)險(xiǎn)并提高油氣田開(kāi)發(fā)效果[1]。

為規(guī)范井眼軌跡不確定性的評(píng)價(jià)方法，國(guó)際石油工程師協(xié)會(huì)（SPE）成立了專門(mén)的行業(yè)指導(dǎo)委員會(huì)（Industry Steering Committee for Wellbore Survey Accuracy，簡(jiǎn)稱ISCWSA），建立了ISCWSA井眼軌跡誤差模型，并隨時(shí)更新和維護(hù)誤差源及誤差模型[2-10]。相比 Wolff and De Wardt、SESTEM 等模型[10-11]，ISCWSA模型被公認(rèn)為是國(guó)際性行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。

基于井眼軌跡誤差模型可以得到各測(cè)點(diǎn)處的協(xié)方差矩陣，用以描述井眼軌跡空間位置的不確定性，但是ISCWSA不提供井眼軌跡誤差橢球的表征方法。雖然用橢球主軸與參考系坐標(biāo)軸的夾角能表征誤差橢球的空間姿態(tài)[12]，但是不符合行業(yè)習(xí)慣且使用不便。此外，還有用水平面截取誤差橢球以分析水平面上的井眼軌跡誤差的研究成果[13-14]。

為滿足涉及井眼軌跡誤差分析的各種工程需求，本文提出了誤差橢球姿態(tài)表征、截面誤差橢圓解算、誤差橢圓柱構(gòu)建等方法，用以分析井眼軌跡在空間任意平面上的誤差和軸向包絡(luò)誤差及其沿井深變化情況，具有清晰的物理和工程意義。

1 誤差傳播與集成模型

誤差源是井眼軌跡誤差分析的基本要素，ISCWSA已識(shí)別出80多個(gè)誤差源[10]，常見(jiàn)誤差源包括傳感器誤差、BHA（井下鉆具組合）軸向及周向磁干擾、BHA下墜及工具組件徑向不對(duì)稱引起的不對(duì)中誤差、地磁場(chǎng)不確定性、井深誤差等。井眼軌跡誤差模型主要考慮具有代表性的不確定性因素，不包括偶然事件、測(cè)斜儀缺陷、錄入數(shù)據(jù)有誤等過(guò)失誤差。誤差模型的假設(shè)條件為[2-10]：①只考慮測(cè)量誤差引起的井眼軌跡位置誤差；②每個(gè)測(cè)點(diǎn)可用井深、井斜角和方位角來(lái)表征；③不同誤差源的誤差在統(tǒng)計(jì)學(xué)上相互獨(dú)立；④測(cè)量誤差大小與相應(yīng)井眼軌跡位置變化為線性關(guān)系；⑤各種測(cè)量誤差對(duì)井眼軌跡位置的綜合影響等于各自影響的向量和。

為表征誤差源對(duì)井眼軌跡位置誤差的影響規(guī)律，Brooks和Wilson建立了誤差傳播方程[2-5]：

為表征不同測(cè)點(diǎn)、多次測(cè)量以及不同井之間的誤差相關(guān)性和累積效果，ISCWSA將誤差傳播模式分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、單井誤差和全局誤差，并定義了相關(guān)系數(shù)。據(jù)此，任一測(cè)點(diǎn)K處的誤差累計(jì)結(jié)果可表示為：

ISCWSA提供了不同誤差傳播模式下的協(xié)方差矩陣計(jì)算方法[2-10]，所以在每個(gè)測(cè)點(diǎn)處都可得到3×3協(xié)方差矩陣CK，其中井口坐標(biāo)系O-NEH下的協(xié)方差矩陣可表示為：

2 誤差橢球及姿態(tài)表征

假設(shè)井眼軌跡的位置誤差服從正態(tài)分布，則誤差分布的等概率密度面為[2-5]：

這是關(guān)于放大系數(shù)k的橢球族，給定1個(gè)k值就確定1個(gè)橢球。由于協(xié)方差矩陣CNEH是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣H使其對(duì)角化。H由CNEH的特征向量構(gòu)成，將3個(gè)特征向量按列組裝可得到：

根據(jù)線性代數(shù)理論，H與CNEH及特征值存在如下關(guān)系：

求得CNEH的特征值及特征向量后，在誤差橢球的主軸坐標(biāo)系O′-UVW下，便可得到標(biāo)準(zhǔn)形式的橢球方程：

誤差橢球的尺寸可用3個(gè)主軸半徑來(lái)表征，即：

如圖1所示，根據(jù)井斜角、方位角和工具面角的定義，選用誤差橢球主軸W的井斜角αW、方位角φW及繞主軸W的偏轉(zhuǎn)角θW來(lái)表征誤差橢球的姿態(tài)，則有：

圖1 誤差橢球及姿態(tài)表征

在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要確定特征值及特征向量與橢球主軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一般情況下，可將靠近橢球高邊方向的主軸作為U軸，將靠近鉛垂方向的主軸作為W軸，并按右手法則確定V軸，使U軸、V軸和W軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

3 截面誤差橢圓

在鉆井過(guò)程中，往往需要分析井眼軌跡在水平面、鉛垂面、法平面甚至任意平面上的誤差，用以評(píng)價(jià)井眼軌跡的不確定性。為此，可用過(guò)誤差橢球球心的平面來(lái)截取誤差橢球，在相應(yīng)平面上得到截面誤差橢圓（見(jiàn)圖2）。

圖2 誤差橢球及截面誤差橢圓

為建立截面誤差橢圓的通用表征和計(jì)算方法，用單位向量m表示任意姿態(tài)平面的法線方向，則該法線的井斜角αm和方位角φm確定了這個(gè)平面的空間姿態(tài)。如圖2所示，以誤差橢球球心為原點(diǎn)，建立截面坐標(biāo)系O′-XYZ，其中Z軸指向該平面的法線方向，X軸為該平面與過(guò)Z軸鉛垂面的交線且指向高邊方向，Y軸水平指向右側(cè)。根據(jù)（3）式的協(xié)方差矩陣CNEH和坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，在截面坐標(biāo)系O′-XYZ下協(xié)方差矩陣為：

將CNEH分塊并保留參數(shù)X和Y相關(guān)項(xiàng)，可得到截面誤差橢圓的方程為：

截面誤差橢圓的尺寸和姿態(tài)可用 2個(gè)主軸半徑和1個(gè)偏轉(zhuǎn)角來(lái)表征，計(jì)算公式為：

常用的平面姿態(tài)包括水平面、鉛垂面和法平面，分別截取誤差橢球得到水平截面、鉛垂截面和法截面誤差橢圓。以下 3種情況為上述通用方法的特例，只需適當(dāng)選取法線的井斜角和方位角便可得到相應(yīng)結(jié)果：①水平截面誤差橢圓。取αm=φm=0，矩陣T為單位矩陣，偏轉(zhuǎn)角θ從正北方向起算；②鉛垂截面誤差橢圓。取αm=90°，φm為鉛垂平面的法向方位角，此時(shí)偏轉(zhuǎn)角θ從鉛垂方向起算；③法截面誤差橢圓。αm和φm取值分別為井眼軌跡的井斜角α和方位角φ，此時(shí)偏轉(zhuǎn)角θ從井眼高邊方向起算。

4 誤差橢圓柱

將井眼軌跡的誤差橢球依次串聯(lián)在井眼軌跡上，誤差橢球中心位于測(cè)點(diǎn)處。若用一個(gè)曲面來(lái)包絡(luò)這些誤差橢球，將得到一個(gè)誤差橢圓柱面，由此構(gòu)成的橢圓柱體可表征井眼軌跡的軸向包絡(luò)誤差及其沿井深的變化情況（見(jiàn)圖3）。

圖3 誤差橢圓柱及構(gòu)建原理

然而，誤差橢圓柱的形態(tài)十分復(fù)雜。首先，井眼軌跡（即橢圓柱軸線）是三維撓曲線，而非直線、圓弧等形狀簡(jiǎn)單的曲線；其次，橢圓柱的橫截面為橢圓形，由于各測(cè)點(diǎn)處的誤差橢球尺寸不同，所以橫截面橢圓的長(zhǎng)短半徑隨井深變化；再者，由于各誤差橢球的姿態(tài)不同，所以橢圓柱面沿井眼軌跡是扭曲面。事實(shí)上，誤差橢圓柱面是不可展曲面，并不是嚴(yán)格意義上的包絡(luò)面。

為便于理解誤差橢圓柱的形成原理，假想地層為冰，而誤差橢球具有高溫，當(dāng)誤差橢球沿井眼軌跡移動(dòng)時(shí)，將消溶所觸及到的冰體。這樣，在地層中所形成的“井筒”就是誤差橢圓柱，而“井壁”就是誤差橢圓柱面。

如圖3所示，誤差橢圓柱面與誤差橢球相切，其切點(diǎn)構(gòu)成一條閉合曲線。在井眼坐標(biāo)系O′-xyz下，將這條閉合曲線投影到xy平面上，得到一條閉合的投影曲線。這條投影曲線就是誤差橢球在xy平面上投影區(qū)域的邊界曲線，也是誤差橢圓柱在該測(cè)點(diǎn)處的橫截面邊界曲線。顯然，誤差橢圓柱的橫截面邊界曲線為橢圓，若能得到各測(cè)點(diǎn)處誤差橢圓柱的橫截面橢圓，就可確定整個(gè)誤差橢圓柱。

首先，基于坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，可得到井眼坐標(biāo)系O′-xyz下的誤差橢球方程。若用 3個(gè)向量Bi（i=1，2，3）表示坐標(biāo)系O′-UVW與坐標(biāo)系O′-xyz間的轉(zhuǎn)換矩陣B，用向量r表示井眼軌跡位置誤差坐標(biāo)（x，y，z），則誤差橢球方程為：

而橢圓柱面與誤差橢球的相切條件為：

消去向量r中的參數(shù)z，便得到誤差橢圓柱面與誤差橢球的相切曲線在xy平面上的投影曲線方程：

若用矩陣G表示矩陣F的逆矩陣，則誤差橢圓柱的橫截面橢圓主軸半徑及偏轉(zhuǎn)角為：

將各測(cè)點(diǎn)處的橫截面橢圓沿井眼軌跡串聯(lián)起來(lái)就構(gòu)成了誤差橢圓柱，可用于評(píng)價(jià)井眼軌跡的軸向包絡(luò)誤差及其沿井深變化情況。

5 實(shí)例分析

某水平井按行業(yè)規(guī)程實(shí)施測(cè)量和井眼軌跡計(jì)算，得到以真北為參考基準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)表1）。該井的地磁場(chǎng)強(qiáng)度為56 356.51 nT，磁偏角為-10.60°，磁傾角為64.72°，子午線收斂角為0.876°，誤差橢球放大系數(shù)取2.0。采用無(wú)軸向校正及BHA下墜等基本MWD（隨鉆測(cè)量）誤差模型，按本文的井眼軌跡誤差表征和計(jì)算方法，得到如表2和表3所示的評(píng)價(jià)結(jié)果（限于篇幅，表1—表3僅列出部分?jǐn)?shù)據(jù)）。

表1 井眼軌跡計(jì)算結(jié)果

表2 井眼軌跡誤差橢球及誤差橢圓柱評(píng)價(jià)結(jié)果

表3 井眼軌跡截面誤差橢圓評(píng)價(jià)結(jié)果

6 結(jié)論

井越深井眼軌跡誤差越大，深井超深井的井眼軌跡位置誤差可達(dá)數(shù)十米。要提高井眼軌跡監(jiān)測(cè)與控制精度，首先必須嚴(yán)格按行業(yè)規(guī)程進(jìn)行測(cè)斜作業(yè)，包括定期校驗(yàn)測(cè)量?jī)x器、現(xiàn)場(chǎng)檢驗(yàn)地磁場(chǎng)及重力場(chǎng)、按行業(yè)規(guī)范確定MWD無(wú)磁間距和測(cè)點(diǎn)間距等。

井眼軌跡的誤差橢球主軸與井眼坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸不重合。用誤差橢球主軸的井斜角、方位角及偏轉(zhuǎn)角來(lái)表征誤差橢球的空間姿態(tài)，具有明確的物理意義，便于工程應(yīng)用。

井眼軌跡截面誤差橢圓的概念及算法具有通用性，可評(píng)價(jià)井眼軌跡在水平面、鉛垂面、法平面、甚至任意平面上的誤差，還可用于中靶概率分析等。

井眼軌跡的誤差橢圓柱可評(píng)價(jià)井眼軌跡的軸向包絡(luò)誤差及其沿井深變化情況，誤差橢圓柱橫截面橢圓的最大主軸半徑大于等于法截面誤差橢圓的最大主軸半徑，甚至有可能大于誤差橢球的最大主軸半徑。

符號(hào)注釋：

A、B、H、F、T——坐標(biāo)變換矩陣；C——協(xié)方差矩陣；E——東坐標(biāo)，m；e——井眼軌跡關(guān)于N、E、H坐標(biāo)的誤差向量；Glob——全局誤差；G——矩陣F的逆矩陣；H——垂深，m；h——誤差源的編號(hào)；k——誤差橢球的放大系數(shù)，無(wú)因次；L——井深，m；m——法向量；N——北坐標(biāo)，m；Rand——隨機(jī)誤差；R——誤差橢球的主軸半徑，m；r——誤差橢圓的主軸半徑，m；r——井眼軌跡的位置誤差向量；Syst——系統(tǒng)誤差；U，V，W——誤差橢球主軸坐標(biāo)系，m；Well——單井誤差；X——截面坐標(biāo)系的高邊坐標(biāo)，m；x——井眼高邊坐標(biāo)，m；Y——截面坐標(biāo)系的右向坐標(biāo)，m；y——井眼右向坐標(biāo)，m；Z——截面坐標(biāo)系的法向坐標(biāo)，m；z——井眼切向坐標(biāo)，m；α——井斜角，（°）；ε——誤差源；φ——方位角，（°）；λ——協(xié)方差矩陣的特征值，m2；θ——誤差橢球及橢圓的偏轉(zhuǎn)角，（°）；σ——誤差大小，或方差及——測(cè)量誤差對(duì)N、E、H坐標(biāo)的影響矩陣。