胡夢婷，牛憲華，韓 璐

(1.西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院， 四川 成都 610039； 2.中科(廣東)煉化有限公司， 廣東 湛江 524076； 3.電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川 成都 611731)

跳頻(frequency hopping，F(xiàn)H)碼分多址(code division multiple access，CDMA)擴(kuò)頻系統(tǒng)有抗干擾、抗截獲、安全可靠的特性，被廣泛用于雷達(dá)、藍(lán)牙、移動通信、軍事無線電通信等領(lǐng)域[1-3]。在多址擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，眾多用戶可能工作在同一頻段，如果在某一跳頻時(shí)隙內(nèi)多個(gè)用戶的載頻信號跳到相同的頻隙上，造成碰撞，將引起用戶間的多址干擾，可能使接收機(jī)的解調(diào)輸出產(chǎn)生誤碼。干擾的大小與跳頻序列(frequency hopping sequence，F(xiàn)HS)的漢明相關(guān)性能有直接關(guān)系。一般來說，漢明相關(guān)性越低，干擾次數(shù)越少。為區(qū)別通信中用戶彼此的信號，防止相互干擾，采用的FHS的漢明相關(guān)值應(yīng)盡可能小。FHS的漢明相關(guān)特性在FH-CDMA擴(kuò)頻系統(tǒng)中將起到非常重要的作用[1-2]。

FHS漢明相關(guān)的研究已有豐碩成果。1974年，A. Lempel 等[4]首先推導(dǎo)出對于單條FHS的理論界。2004年，Peng等[5]推導(dǎo)出對于FHS集的周期漢明自互相關(guān)函數(shù)的理論下界?；诓煌瑪?shù)學(xué)工具，研究者構(gòu)造出很多滿足這些理論界的FHS或FHS集[6-9]。

另一方面，單次重合(one-coincidence，OC)FHS集自相關(guān)保持為0，互相關(guān)為1，可以最大限度地提高頻率的使用率，降低頻率的碰撞，因此被廣泛用于多址通信中。20世紀(jì)80年代，Shaar等[10]首先為FH-CDMA引入了OC-FHS。2006年，Cao等[11]提出了OC-FHS集，并表明存在一些沒有任何相應(yīng)構(gòu)造的OC-FHS集。2008年，Peng等[12]在基于素?cái)?shù)有限域上，利用剩余類作為特殊的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，給出素?cái)?shù)長度的最優(yōu) FHS集的構(gòu)造。2015年，Wang 等[13]利用笛卡爾積提出了關(guān)于OC-FHS集的構(gòu)造。另外，利用中國剩余定理(Chinese Remainder Theorem，CRT)可將多維向量形式的FHS集轉(zhuǎn)化為經(jīng)典FHS集[12-16]。2014年，Chung等[14]利用中國剩余定理，給出了常規(guī)跳頻序列集的擴(kuò)展構(gòu)造。本文將利用中國剩余定理，給出OC-FHS集的擴(kuò)展構(gòu)造，構(gòu)造了3類新的滿足Peng-Fan界最優(yōu)的OC-FHS集。

1 預(yù)備知識

設(shè)頻隙集F={f0,f1,…,fλ}大小為λ，集合S是在頻隙集F上由M個(gè)序列長度為N的跳頻序列組成。對于跳頻序列集S中任意2條跳頻序列x={x0,x1,…,xN-1}和y={y0,y1,…,yN-1}，在相對時(shí)延τ下，跳頻序列周期漢明相關(guān)函數(shù)的定義為

(τ=0,1,2,…,N-1)

(1)

其中，i+τ是modN運(yùn)算，且當(dāng)x=y時(shí)，式(1)為周期漢明自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)x≠y時(shí)，式(1)為周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

對于跳頻序列集S，其最大周期漢明自相關(guān)Ha(S)，最大周期漢明互相關(guān)Hc(S)，最大周期漢明相關(guān)Hm(S)分別定義為：

Ha(S)=max{H(x,x;τ)|x∈S,

τ=0, 1,…,N-1}；

Hc(S)=max{H(x,y;τ)|x,y∈S,

x≠y,τ=0, 1,…,N-1}；

Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}。

令Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

2004年，Peng等[5]建立了跳頻序列集最大周期漢明相關(guān)理論界。

引理1(Peng-Fan界) 在大小為λ的頻隙集F上，對于序列長度為N、序列數(shù)目為M的跳頻序列集S，有

(2)

如果跳頻序列集S的參數(shù)能夠滿足不等式(2)，使得等號成立，則跳頻序列集S是最優(yōu)跳頻序列集，并且是關(guān)于最大周期漢明相關(guān)最優(yōu)。

2010年，Niu等[17]建立了跳頻序列集的周期部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界。

引理2(Niu-Peng-Liu 界) 在大小為λ的頻隙集F上，對于序列長度為N、序列個(gè)數(shù)為M、相關(guān)窗長度為L(L≤N)、起點(diǎn)為j的跳頻序列集，有

(3)

當(dāng)L=N時(shí)，引理2表示為跳頻序列周期漢明相關(guān)理論界。如果跳頻序列集S的參數(shù)能夠滿足不等式(3)，使得等號成立，則跳頻序列集S是滿足最大周期部分漢明相關(guān)的最優(yōu)跳頻序列集。

本文將使用以下符號。

[x]v：表示對于整數(shù)x和正整數(shù)v，x模v的最小非負(fù)剩余。

「x?：表示大于或等于x的最小整數(shù)。

?x」：表示小于或等于x的最大整數(shù)。

Zq：表示對于正整數(shù)q的模q的整數(shù)環(huán)。

2 跳頻序列集的構(gòu)造

令q是一個(gè)奇素?cái)?shù)，t是一個(gè)小于q的正整數(shù)，且gcd(q-1，t)=1。已知t階剩余類FHS集S(q，t)在Zq上的定義為

其中

引理3[12]FHS集S(q，t)具有以下特性。

1)對于FHS集S(q，t)中的任意1條FHS都有Ha=0。

2)對于FHS集S(q，t)中的任意2條FHS都有Hc=0。

3)對于FHS集S(q，t)，序列長度N與頻隙集大小λ相同，即N=λ=q。另外，F(xiàn)HS集S(q，t)的每個(gè)頻隙點(diǎn)都出現(xiàn)q-1次。

4) FHS集S(q，t)中的FHS的每個(gè)元素都不相同，即S(q，t)是單次重合FHS集。

5) FHS集S(q，t)中的任意1條FHS都滿足Peng-Fan界最優(yōu)，且FHS集S(q，t)是滿足Peng-Fan界最優(yōu)的OC-FHS集。

基于最優(yōu)OC-FHS集，可以構(gòu)造具有新參數(shù)的OC-FHS集。由CRT可知，當(dāng)正整數(shù)u與v滿足gcd(u,v)=1時(shí)，存在任意正整數(shù)k(0≤k≤uv)都能滿足k=(ku,kv)，其中ku=〈k〉u，kv=〈k〉v。

定理1 對于OC-FHS集，在任意相關(guān)窗長度L(1≤L≤N)下都滿足周期部分漢明相關(guān)最優(yōu)。

證明由引理2和引理3(3)可知，

又由引理3(2)可得證。

證畢。

通過CRT可以將OC-FHS集S(q，t)擴(kuò)展成新的FHS集。

其中k1=〈k〉n,k2=〈k〉q。

定理2 構(gòu)造A中得到的FHS集G是(nq，nq，1，q-1)跳頻序列集，且對于任意跳頻序列Gi(0≤i

證明對于0≤i,j

H(Gi,Gj;τ1,0)=H(Gi,Gj;τ1,τ2)=

分2種情況討論。

情況1i=j,τ2=0，因此有

1)當(dāng)τ1=0時(shí)有

2)當(dāng)1≤τ1≤n-1時(shí)有

當(dāng)i≠j或者τ2≠0

綜合情況1和情況2，有

證畢。

推論1 對于構(gòu)造A中的FHS集G有如下性質(zhì)：

1)構(gòu)造A中的FHS集G是OC-FHS集；

2)G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集；

3)G是滿足Niu-Peng-Liu界的最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列集。

證明由構(gòu)造A可知跳頻序列集G的序列長度N=nq，頻隙大小λ=nq，序列個(gè)數(shù)M=q-1，依定理有Hm=1。

1)對于整數(shù)i，0≤i

相當(dāng)于

(4)

2)根據(jù)Peng-Fan理論界，有

因此OC-FHS集G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集。

3)將參數(shù)代入不等式(3)中，對于任意相關(guān)窗長度L，1≤L≤N，都有

因此OC-FHS集G是滿足最優(yōu)周期部分漢明相關(guān)的跳頻序列集。

證畢。

例1 根據(jù)構(gòu)造A以及OC-FHS的定義，令q=5，t=3，則跳頻序列集S={S0,S1,S2,S3}，其中

S0={0,1,3,2,4},S1={0,2,1,4,3}

S2={0,3,4,1,2},S3={0,4,2,3,1}

顯然跳頻序列S滿足OC-FHS集參數(shù)要求，且最大周期漢明自相關(guān)Ha=0，最大周期漢明互相關(guān)Hc=1。令p1=7，p2=11，a1=a2=1，由構(gòu)造A可知n=q1q2=77。利用構(gòu)造A的方法，可以得到跳頻序列集G，其中G0為

類似地可以得到跳頻序列集G中的其他跳頻序列：

對于0≤i，j<4,跳頻序列集G的漢明相關(guān)為

由結(jié)果及推論1可知，根據(jù)構(gòu)造A得到的跳頻序列集G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集(385,385,1,4)，對于跳頻序列集G中的任意1條序列都滿足Lempel-Greenberger界。結(jié)論與定理2以及推論1一致。

其中，k1=〈k〉pa-1，k2=〈k〉q。

由此構(gòu)造了1個(gè)新的跳頻序列集G={G0,G1,…,Gq-2}。

定理3 構(gòu)造B中的跳頻序列集G是((pa-1)q,paq,1,q-1)跳頻序列集，且對于任意跳頻序列Gi(0≤i

證明對于0≤i,j

分2種情況討論。

情況1τ1=0，在這種情況下，有

因此

情況2τ1≠0，因?yàn)棣潦怯邢抻騀pa的本原元，有

綜合情況1和情況2，有

證畢。

推論2 對于構(gòu)造B中的跳頻序列集G有如下性質(zhì)：

1)構(gòu)造B中的FHS集G是OC-FHS集；

2)G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集；

3)G是滿足Niu-Peng-Liu界的最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列集。

證明令N=(pa-1)q，λ=paq，M=q-1，依定理有Hm=1。

1)對于整數(shù)i，0≤i

相當(dāng)于

(5)

2)根據(jù)Peng-Fan理論界，有

因此OC-FHS集G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集。

3)將參數(shù)代入不等式(3)，對于任意相關(guān)窗長度L，1≤L≤N，都有

因此OC-FHS集G是滿足最優(yōu)周期部分漢明相關(guān)的跳頻序列集。

證畢。

例2 根據(jù)構(gòu)造B令q=7，t=5，則跳頻序列集S={S0,S1,S2,S3,S4,S5}，其中

S0={0,1,4,5,2,3,6},S1={0,2,1,3,4,6,5},S2={0,3,5,1,6,2,4},S3={0,4,2,6,1,5,3},S4={0,5,6,4,3,1,2},S5={0,6,3,2,5,4,1}。

顯然跳頻序列S滿足OC-FHS集的參數(shù)要求，且最大周期漢明自相關(guān)Ha=0，最大周期漢明互相關(guān)Hc=1。令p=11，a=1，α=1，利用構(gòu)造B的方法，可以得到跳頻序列集G，其中

類似的可以得到跳頻序列集S′中的其他跳頻序列：

對于0≤i,j<6，跳頻序列集G漢明相關(guān)為

由結(jié)果及推論2 可知，根據(jù)構(gòu)造B得到的跳頻序列集G是滿足Peng-Fan界的最優(yōu)跳頻序列集(70,77,1,6)，對于跳頻序列集G中的任意1條序列都滿足Lempel-Greenberger界。結(jié)論與定理3及推論2一致。

表1 參數(shù)對比

本文構(gòu)造的序列長度更長，漢明相關(guān)更小，且參數(shù)設(shè)置靈活。序列長度等于頻隙集的大小，可以提高信道帶寬的使用率，減小相互之間的干擾；因此，本文構(gòu)造可以被廣泛應(yīng)用于多址通信。

3 結(jié)論

本文利用中國剩余定理，構(gòu)造了3類新的最優(yōu) OC-FHS集。通過這3個(gè)構(gòu)造以及OC-FHS，可以構(gòu)造更多新的滿足理論界最優(yōu)的OC- FHS集。