何永慧 劉 淵 劉國(guó)花 褚洪森 譚曉星 許航鋒

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一一研究所，上海 201108)

0 引言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)失效通常存在多種潛在的失效模式，由于系統(tǒng)隨機(jī)變量(如外載荷、幾何參數(shù)和材料特性等)的同源性，失效模式間將存在不同程度的相關(guān)性[2,13]，即一種失效可能會(huì)加速(或減緩)另一種失效的發(fā)生。實(shí)際上，在可靠性設(shè)計(jì)過(guò)程中是否考慮失效模式間的相關(guān)性，對(duì)系統(tǒng)可靠性的估計(jì)有很大影響。失效模式獨(dú)立假設(shè)通常會(huì)影響齒輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及其傳動(dòng)精度，而當(dāng)失效模式間高度相關(guān)時(shí)，基于獨(dú)立假設(shè)的可靠性設(shè)計(jì)往往會(huì)給出過(guò)于保守甚至不可接受的結(jié)果。因此，有必要在整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中引入概率相關(guān)性建模，以便為失效相關(guān)下的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供更加準(zhǔn)確的可靠性評(píng)估和優(yōu)化結(jié)果。

作為目前最廣泛使用的方法，Pearson相關(guān)系數(shù)[15]只是對(duì)實(shí)際情況的一種線性近似，當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)呈現(xiàn)非線性且隨機(jī)變量概率屬性未知時(shí)，Pearson線性相關(guān)系數(shù)無(wú)法反映變量間真實(shí)的相關(guān)結(jié)構(gòu)。因此，有必要提出一種更合理有效的建模方法，以實(shí)現(xiàn)不完全概率信息下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)失效模式的相關(guān)性建模。當(dāng)前，Copula理論在構(gòu)造多維變量的聯(lián)合概率分布方面得到了廣泛的應(yīng)用[9,14,16]。Copula函數(shù)是一種將多變量聯(lián)合分布函數(shù)與一維邊緣分布函數(shù)連接起來(lái)的函數(shù)[18]。這種構(gòu)造原理將概率分布的聯(lián)合建模劃分為兩個(gè)方面，一個(gè)是對(duì)變量一維邊緣分布的近似，另一個(gè)是邊緣分布與特定Copula函數(shù)的連接。Copula方法已被證明是一種有效的數(shù)學(xué)建模工具，能夠大大降低聯(lián)合概率建模的難度?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中已提供了多種常用的copula函數(shù)，如Gaussian、T、Clayton、Gumbel、Frank和Farlie-Gumbel-Morgensterm (FGM) copula等[23]。這些Copula函數(shù)依據(jù)其自身的結(jié)構(gòu)形式，可以構(gòu)造不同類(lèi)型的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

許多文獻(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)[24]、水文學(xué)[25]、工程[12]等多變量建模的角度對(duì)Copula函數(shù)進(jìn)行了研究，然而，Copula函數(shù)在機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域還沒(méi)有得到足夠的重視，尤其是涉及具有相關(guān)失效模式的機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)作為一種重要的傳動(dòng)裝置，其失效模式多種多樣。雖然在設(shè)計(jì)優(yōu)化和可靠性方面已有文獻(xiàn)報(bào)道[3,19,21]，但仍然需要對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的聯(lián)合失效建模進(jìn)行更深入的研究。

本文旨在研究在不完全概率信息和失效相關(guān)下，copula函數(shù)的選擇對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性估計(jì)的影響，并開(kāi)展可靠性評(píng)估及優(yōu)化設(shè)計(jì)。鑒于不同失效模式間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可能是正相關(guān)或負(fù)相關(guān)等不同屬性，為有效描述這些潛在的相關(guān)結(jié)構(gòu)，需要通過(guò)對(duì)各種copula函數(shù)進(jìn)行比較分析，進(jìn)而提出一種相關(guān)失效下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)方法。本文采用基于三階矩的鞍點(diǎn)逼近技術(shù)計(jì)算了各失效模式的邊緣失效概率[10]，基于不同copula函數(shù)的相關(guān)模型，運(yùn)用可靠性界限理論對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了估計(jì)。

1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性建模

由機(jī)械原理可知，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)失效時(shí)存在多種失效模式。為了研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各失效模式的可靠性和考慮失效相關(guān)的系統(tǒng)可靠性，首先建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)不同失效模式下的可靠性模型。

1.1 基于齒面接觸強(qiáng)度的可靠性模型

齒輪的接觸應(yīng)力可用式(1)計(jì)算

σHZM-BZHZEZLSZβZK×

(1)

齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度可由式(2)計(jì)算

(2)

由此，齒面接觸強(qiáng)度的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

(3)

其中X1表示基本隨機(jī)變量向量，且有

X1=[ZM-B,ZH,ZE,ZLS,Zβ,ZK,Fmt,dv1,lbm,KA,KV,KHβ,KHα,σHlim,ZNT,ZX,ZL,ZR,ZV,ZW]T

1.2 基于齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠性模型

齒輪的彎曲應(yīng)力可由式(4)計(jì)算

(4)

齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度可由式(5)計(jì)算

(5)

小齒輪的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

(6)

其中X2=[YFa1,Ysa1,Ye,YK,YLS,Fmt,b,mmn,KA,KV,KFβ,KFα,σF1lim,YST,YNT,YδrelT1,YRrelT1,YX1]T。

類(lèi)似地，大齒輪的極限狀態(tài)函數(shù)也可以表示為

(7)

其中X3=[YFa2,Ysa2,Ye,YK,YLS,Fmt,b,mmn,KA,KV,KFβ,KFα,σF2lim,YST,YNT,YδrelT2,YRrelT2,YX2]T。

如上所述，這里定義了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的三種失效模式。從隨機(jī)變量向量X1,X2和X3所包含的變量中可以看出，這些向量中包含有相同的隨機(jī)變量，使得各失效模式間存在不同程度的相關(guān)性。因此，有必要建立各失效模式之間的聯(lián)合概率分布，以準(zhǔn)確描述失效模式間的相關(guān)屬性。

2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性估計(jì)

Abe Sklar首次在數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)意義上使用了“copula”一詞[18]，用于描述將一維分布函數(shù)形成多變量分布的函數(shù)。這種建模方式意味著當(dāng)邊緣概率分布已知時(shí)，可采用copula函數(shù)來(lái)構(gòu)建多個(gè)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)。本文采用隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)矩信息，利用鞍點(diǎn)技術(shù)對(duì)邊緣概率分布進(jìn)行近似計(jì)算，進(jìn)而采用copula函數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的可靠性評(píng)估。

2.1 邊緣失效概率估計(jì)

如上所述，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中存在多種潛在失效模式，需要考慮不同失效模式間的相關(guān)性，并將其納入可靠性分析過(guò)程中。根據(jù)Copula理論，一個(gè)聯(lián)合概率分布函數(shù)可以分解為k個(gè)邊緣分布函數(shù)和一個(gè)Copula函數(shù)，相應(yīng)的Copula函數(shù)可以描述各個(gè)變量間的相關(guān)性。因此，首先必須確定每種失效模式的邊緣概率分布。

本文采用基于矩的鞍點(diǎn)技術(shù)來(lái)逼近各失效模式性能函數(shù)的邊緣概率分布。具有極限狀態(tài)函數(shù)Y=g(X)的失效模式的失效概率可以表示為

Pf=P(Y≤0)=P(Ys≤-β2)=

(8)

式中，

Ys=(Y-μG)/σG

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

基于矩的鞍點(diǎn)逼近給出了一種有效而準(zhǔn)確的邊緣失效概率計(jì)算方法。該方法僅使用失效模式性能函數(shù)的前三階矩，十分適于概率信息不完全的工程領(lǐng)域。

2.2 可靠性靈敏度分析

基于鞍點(diǎn)逼近方法，推導(dǎo)了隨機(jī)變量分布參數(shù)的可靠性靈敏度。對(duì)式(8)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)求解，可得到分布參數(shù)均值的可靠性靈敏度，如下所示，

(15)

其中，

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

2.3 基于Copula函數(shù)的系統(tǒng)可靠性估計(jì)

Copula函數(shù)被廣泛應(yīng)用于描述隨機(jī)向量之間的相關(guān)性，基于copula的技術(shù)可以作為多元分析問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)工具[17,20]。Copula函數(shù)是(0,1)中具有均勻邊緣分布的隨機(jī)向量的多元分布函數(shù)，它將邊緣概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率分布函數(shù)進(jìn)行解耦。下文將使用copula函數(shù)為不同的失效模式間建立二維相關(guān)性模型。

令Fi(Gi(X))和Fj(Gj(X))分別代表失效模式Gi(X)和Gj(X)的邊緣分布函數(shù)，根據(jù)Sklar定理，兩種失效模式的聯(lián)合分布函數(shù)可以由式(25)表示

Fij(Gi,Gj)=C[Fi(Gi(x)),Fj(Gj(x))]

(25)

其中，C(u,v)表示二元Copula函數(shù)。

根據(jù)Copula理論，任意聯(lián)合分布函數(shù)或密度函數(shù)均可通過(guò)一個(gè)含有待定參數(shù)的Copula函數(shù)進(jìn)行建模。然而，不同失效模式間的相關(guān)屬性差別較大，因此，有必要對(duì)比不同copula函數(shù)所代表的相關(guān)性特征，從而為每對(duì)失效模式確定一個(gè)最佳copula函數(shù)。本文在廣泛使用的Copula函數(shù)簇中選擇了部分常用的Copula函數(shù)，包括Gaussian、Clayton、Gumbel以及Frank Copula等，具體形式如表1所示。Gaussian Copula屬于橢圓分布族，是多元正態(tài)分布與其邊緣分布的連接函數(shù)。Gaussian Copula與多元正態(tài)分布的區(qū)別在于前者允許非正態(tài)分布和不同的邊緣分布，而后者則不允許。表1中所列的Copula函數(shù)既能描述正相關(guān)特性，又能描述負(fù)相關(guān)特性，且待定系數(shù)限制在[-1,1]范圍內(nèi)。

表1 本文所采用的二元Copula函數(shù)

*u,v表示隨機(jī)變量的邊緣分布，θ表示copula的待定參數(shù)。

對(duì)于每個(gè)失效模式對(duì)，二維聯(lián)合失效概率可由式(26)表示，

Pfpair=Pf[G1(x)≤0∪G2(x)≤0]=

Pf[G1(x)≤0]+Pf[G1(x)≤0]-

Pf[G1(x)≤0∩G2(x)≤0]=

Pf1+Pf2-C(Pf1,Pf2)

(26)

其中，C(Pf1,Pf2)表示采用Copula函數(shù)計(jì)算的聯(lián)合失效概率。

系統(tǒng)可靠性界限理論是進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析的常用方法，主要包括Cornell界限[4]和Ditlevsen界限[6]等。Ditlevsen界限也被稱(chēng)為窄界限，可通過(guò)評(píng)估每對(duì)失效模式的聯(lián)合失效概率，得出系統(tǒng)失效概率的窄界限估計(jì)。對(duì)于具有m個(gè)失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)可靠性估計(jì)的窄界限由下式給出：

(27)

其中Pfi表示第i個(gè)失效模式的失效概率，Pfij表示用Copula函數(shù)得到每對(duì)失效模式的聯(lián)合失效概率。

本文采用Ditlevsen界限的上界來(lái)近似系統(tǒng)失效概率，即

(28)

本文采用表1所示的二元Copula函數(shù)，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。由于失效模式間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)度均未知，因此需采用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)每個(gè)Copula函數(shù)中的待定系數(shù)θ。在不同copula函數(shù)下進(jìn)行系統(tǒng)可靠性計(jì)算流程主要包括三個(gè)步驟：

(1)對(duì)先前定義的齒輪系統(tǒng)的基本隨機(jī)變量向量X1、X2和X3隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，并獲得各失效模式下響應(yīng)(u)的樣本。用MATLAB命令corr(ui,uj,'type','kendall')計(jì)算失效模式間的秩相關(guān)系數(shù)，繼而估計(jì)Copula函數(shù)的待定參數(shù)；

(2)用攝動(dòng)法對(duì)性能函數(shù)狀態(tài)變量的高階矩進(jìn)行估計(jì)，繼而采用基于矩的鞍點(diǎn)逼近方法估計(jì)各失效模式的邊緣失效概率。需要注意的是，鞍點(diǎn)逼近的精度取決于統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算精度；

(3)根據(jù)所得到的邊緣失效概率Pfi和聯(lián)合失效概率Pfij，采用窄界限公式(28)計(jì)算系統(tǒng)失效概率，并對(duì)不同copula函數(shù)下所得的系統(tǒng)失效概率進(jìn)行對(duì)比分析。

3 可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了保證齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)，將設(shè)計(jì)變量的可靠性靈敏度信息引入優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，建立了基于可靠性靈敏度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型?？煽啃造`敏度反映了隨機(jī)變量對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響，通過(guò)限制可靠性靈敏度可以保證系統(tǒng)可靠性的穩(wěn)健性，從而使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性在隨機(jī)變量波動(dòng)的情況下是穩(wěn)定的。

根據(jù)可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的定義，建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，具體如下：

dL≤d≤dU,d∈Rndv

(29)

ωk=[f1(X*k)-f1(X*1)]/{[f1(X*k)-

f1(X*1)]+[f2(X*(k-1))-f2(X*2)]+

將平均粒徑18 μm重質(zhì)碳酸鈣分別在900、1 000、1 100、1 200 ℃下煅燒4 h，后采用冶金石灰物理檢驗(yàn)方法對(duì)石灰活性進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如圖1所示。

…+[fk(X*1)-fk(X*k)]}

(30)

同時(shí)，加權(quán)系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足以下條件

(31)

在可靠性分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化模型，可實(shí)現(xiàn)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4 數(shù)值算例

在本節(jié)中，針對(duì)具有隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析與穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨機(jī)變量的概率屬性見(jiàn)表2，變量均服從正態(tài)分布。

表2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)變量

4.1 系統(tǒng)失效概率估計(jì)

根據(jù)前文所述方法，首先采用式(1)和式(4)分別計(jì)算了齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，然后，基于式(3)、式(6)和式(7)可分別建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的三種失效模式。考慮到系統(tǒng)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)參數(shù)，采用鞍點(diǎn)逼近和Copula函數(shù)分別估計(jì)各失效模式的邊緣失效概率和失效相關(guān)下的系統(tǒng)失效概率。表3中列出了采用不同Copula函數(shù)以及獨(dú)立假設(shè)下獲得的系統(tǒng)失效概率，并結(jié)合Monte Carlo方法進(jìn)行了相對(duì)誤差分析。

由表3可見(jiàn)，在不同的Copula函數(shù)下，系統(tǒng)的失效概率差異很大。基于Gaussian Copula函數(shù)產(chǎn)生的相對(duì)誤差為0.84%，說(shuō)明在不確定失效模式間實(shí)際相關(guān)結(jié)構(gòu)的情況下，最常用的Gaussian Copula函數(shù)適用于齒輪副的可靠性設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)比可知，基于Clayton copula所得的系統(tǒng)可靠性相對(duì)誤差最小。圖1對(duì)比了Clayton Copula函數(shù)的散點(diǎn)圖和失效模式g2、g3的隨機(jī)樣本散點(diǎn)圖。可見(jiàn)，采用Clayton Copula能夠較好地描述失效模式g2、g3之間的下尾相關(guān)性，即g2可靠性的降低將引起g3的可靠性亦隨之降低。

表3 不同copula函數(shù)下的系統(tǒng)失效概率

圖1 隨機(jī)樣本和Clayton copula下g2和g3的散點(diǎn)圖

Fig.1 The scatter plots forg2andg3under random samples and Clayton copula

4.2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

在采用Clayton Copula進(jìn)行齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性評(píng)估的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)隨機(jī)變量的可靠性靈敏度進(jìn)行分析。結(jié)合公式(15)-(24)，可得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輸入變量均值的可靠性靈敏度為：

?R/?X1=[0.0013,0.0007,0.0067,0.0088,

-0.4395,-0.1758,-0.4395,0.0791,

-0.3976,-0.3976,-0.3976,-0.3976,

-0.3976,-0.3976]

?R/?X2=[0.000012,0.00012,0.00018,0.0018,

0.0019,0.0053,7.0224,22.82,-3.476,

-2.317,-0.463,-2.155,0.0029,0.1865,

-4.6637,-3.8494,-4.4923,-4.0418]

?R/?X3=[0.0628,0.3138,0.0285,-0.0029,

-0.00062,0.00029,6.3398,21.13,-2.929,

-3.617,-0.493,-1.5932,0.9068,0.2257,

-4.4391,-3.2627,-4.4405,-4.4391]

從可靠性靈敏度的結(jié)果可知，隨機(jī)變量dv1、lbm、b和mmn的可靠性靈敏度值相對(duì)較大，說(shuō)明這些隨機(jī)變量對(duì)系統(tǒng)的失效影響較大，其隨機(jī)波動(dòng)可能引起失效概率的顯著變化。為了獲得更可靠的系統(tǒng)可靠性結(jié)果，以下建立了包含可靠性靈敏度的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型，

minf(d)=ω1f1(d)+ω2f2(h)

(32)

mmnL/Lm-1.5≥0;

8-mmnL/Lm≥0

z1-17≥0

36-z1≥0

b-0.2L≥0

0.35L-b≥0

其中，子目標(biāo)函數(shù)f1(d)表示齒輪的體積，設(shè)計(jì)變量向量為d=[mmn,z1,b]T。子目標(biāo)函數(shù)f2(h)將向量h1=[dv1,lbm,]T和h2= [b,mmn]T的可靠性靈敏度最小化。初始值設(shè)為d0=[2.6, 18, 30]T。表4列出了可靠性穩(wěn)健優(yōu)化的結(jié)果，可見(jiàn)，在滿(mǎn)足預(yù)期可靠度的前提下，向量h1和h2中變量的可靠性靈敏度隨之降低，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的總體積也大大減小。此外，優(yōu)化后的系統(tǒng)可靠性得到提高，且隨著系統(tǒng)可靠性的提高，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)變量波動(dòng)的靈敏度隨之降低，體現(xiàn)了較好的穩(wěn)健性。

表4 基于Clayton copula的優(yōu)化結(jié)果

5 總結(jié)

本文提出了一種相關(guān)失效模式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法。通過(guò)比較分析，確定了有效描述失效模式間相關(guān)結(jié)構(gòu)的最佳Copula函數(shù)，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法確定了Copula函數(shù)的待定系數(shù)。采用基于矩的鞍點(diǎn)法和窄界限理論，獲得了系統(tǒng)的失效概率和可靠性指標(biāo)。根據(jù)所得結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

(1)在描述不同失效模式間的相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)，不同的Copula函數(shù)將得到不同的失效概率估計(jì)結(jié)果。從實(shí)例中可以看出，使用Gumbel和Frank Copula低估了系統(tǒng)可靠性，而使用Gaussian和Clayton Copula得到的結(jié)果與仿真結(jié)果接近。

(2)通過(guò)比較不同Copula函數(shù)下的可靠度指標(biāo)可知，采用Clayton Copula計(jì)算所得的可靠度指標(biāo)結(jié)果最準(zhǔn)確。Clayton Copula能夠較好地描述隨機(jī)變量間的尾部相關(guān)性，即當(dāng)一種失效模式的可靠性降低時(shí)，與其相關(guān)的另一失效模式可靠性降低的可能性更大。

(3)在對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三種失效模式的系統(tǒng)失效概率進(jìn)行估計(jì)時(shí)，本文假定不同失效模式之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)均相同。然而，當(dāng)失效模式數(shù)量增大時(shí)，不同狀態(tài)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)將更加復(fù)雜。因此，如何合理確定多變量聯(lián)合建模中的Copula函數(shù)，將是未來(lái)的主要研究?jī)?nèi)容。