本刊試題研究組

第Ⅰ卷（必做題，共160分）

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.函數(shù)y=2sin（3x+π6）的最小正周期為????.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+2i）=2-i，則|z|=????.

3.集合{x|-1≤log1x10<-12，x∈N*}的真子集的個數(shù)是????.

4.從{1，2，3，…，18}中任取兩個不同的數(shù)，則其中一個數(shù)恰好是另一個數(shù)的3倍的概率為????.

5.運行如圖的算法，則輸出的結(jié)果是????.

6.某校從參加高三年級期中考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖，請你根據(jù)頻率分布直方圖中的信息，估計出本次考試數(shù)學(xué)成績的平均分為????.

7.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1EDF的體積為????.

8.已知圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上.直線l：y=x-1被圓C所截得的弦長為22，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為????.

9.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并且對任意正整數(shù)n均有Sn+2=4Sn+3.則a2=????.

10.已知集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|x2-2ax+4≤0}.若a>0，且A∩B中恰有1個整數(shù)，則a的取值范圍是????.

11.已知點A（1，-1），B（4，0），C（2，2）.平面區(qū)域D由所有滿足AP=λAB+μAC（1<λ≤a，1<μ≤b）的點P（x，y）組成的區(qū)域.若區(qū)域D的面積為8，則a+b的最小值為????.

12.設(shè)函數(shù)f（x）=ax+12sinx+32cosx的圖象上存在兩條切線垂直，則a的值是????.

13.實數(shù)x、y、z滿足0≤x≤y≤z≤4.如果它們的平方成公差為2的等差數(shù)列，則|x-y|+|y-z|的最小可能值????.

14.若實數(shù)x，y滿足x-4y=2x-y，則x的取值范圍是????.

二、解答題（本大題共6小題，共90分）

15.（本小題滿分14分）已知△ABC的內(nèi)角A的大小為120°，面積為3.

（1）若AB=22，求△ABC的另外兩條邊長;

（2）設(shè)O為△ABC的外心，當BC=21時，求AO·BC的值.

16.（本小題滿分14分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AA1，CC1的中點，AC⊥BE，點F在線段AB上，且AB=4AF.

（1）求證：BC⊥C1D;

（2）若M為線段BE上一點，試確定M在線段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.

17.（本小題滿分14分）汽車從剎車開始到完全靜止所用的時間叫做剎車時間;所經(jīng)過的距離叫做剎車距離.某型汽車的剎車距離s（單位米）與時間t（單位秒）的關(guān)系為s=5t3-k·t2+t+10，其中k是一個與汽車的速度以及路面狀況等情況有關(guān)的量.汽車的瞬時速度是剎車距離對時間的導(dǎo)數(shù).

（1）當k=8時，且剎車時間少于1秒，求汽車剎車距離;

（2）要使汽車的剎車時間不小于1秒鐘，且不超過2秒鐘，求k的取值范圍.

18.（本小題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓T的中心在坐標原點，一條準線方程為y=2，且經(jīng)過點（1，0）.

（1）求橢圓T的方程;

（2）設(shè)四邊形ABCD是矩形，且四條邊都與橢圓T相切.求證：滿足條件的所有矩形的頂點在一個定圓上.

19.（本小題滿分16分）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范圍;

（2）解關(guān)于x的方程f（x）=|f′（x）|;

（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x），f（x）≥f′（x）f（x），f（x）

20.（本小題滿分16分）已知數(shù)列{an}滿足a1=a（a>0，a∈N*），a1+a2+…+an-pan+1=0（p≠0，p≠-1，n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式an;

（2）若對每一個正整數(shù)k，若將ak+1，ak+2，ak+3按從小到大的順序排列后，此三項均能構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為dk.

①求p的值及對應(yīng)的數(shù)列{dk}.

②記Sk為數(shù)列{dk}的前k項和，問是否存在a，使得Sk<30對任意正整數(shù)k恒成立？若存在，求出a的最大值;若不存在，請說明理由.

第Ⅱ卷（附加題，共40分）

21.[選做題]本題包括A、B、C三小題，每小題10分.

A.（選修42：矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量e1=12，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，1）變換成（0，-3）.

（1）求矩陣M;

（2）已知向量α=28，求M5α的值.

B.（選修44：坐標系與參數(shù)方程）已知直線l的參數(shù)方程是x=22ty=22t+42（t是參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+π4）.

（1）求圓心C的直角坐標;

（2）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值.

C.（選修45：不等式選講）設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=a2+b2，y=c2+d2.

求證：xy≥（ac+bd）（ad+bc）.

[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計20分.

22.（本小題滿分10分）某學(xué)生在校舉行的環(huán)保知識大獎賽中，答對每道題的概率都是13，答錯每道題的概率都是23，答對一道題積5分，答錯一道題積-5分，答完n道題后的總積分記為Sn.

（1）答完2道題后，求同時滿足S1=5且S2≥0的概率;

（2）答完5道題后，設(shè)ξ=|S5|，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

23.（本小題滿分10分）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1，且對任意正整數(shù)n，數(shù)列{an}中小于等于n的項數(shù)恰為bn;數(shù)列{bn}中小于等于n的項數(shù)恰為an.

（1）求a1;

（2）求數(shù)列{an}的通項公式.

參考答案

一、填空題

1.2π3

2.1

3.290-1

4.251

5.36

6.71

7.16

8.x+y-3=0

9.2或6.解析：由Sn+1=qSn+a1.得Sn+2=q（qSn+a1）+a1=q2Sn+a1（q+1），與已知條件比較得，q2=4，a1（q+1）=3.從而（q，a1）=（2，1），或（q，a1）=（-2，-3）.

10.[136，52）解析：A={x|x<-4，或x>2}.

設(shè)f（x）=x2-2ax+4，則f（x）的對稱軸x=a>0，由f（-4）=20+8a>0，知B∩{x|x<-4}=.因此，A∩B中恰有一個整數(shù)為3.故f（3）≤0，f（4）>0.即[136，52）.

11.4解析：由條件可知D是為平行四邊形，其面積為8，故得（a-1）（b-1）=1，故a+b≥4.

12.0解析：f（x）=ax+sin（x+π3），f′（x）=a+cos（x+π3）由題設(shè)可知存在x1，x2使（a+cos（x1+π3））（a+cos（x2+π3））=-1，不妨設(shè)-cos（x1+π3）<-cos（x2+π3），則（a+cos（x1+π3））（a+cos（x2+π3））=-1<0得，-cos（x1+π3）

13.4-23解析：|x-y|+|y-z|=z-x=z2-x2z+x=4z+x=4z+z2-4≥22+3=4-23.

14.[4，20]∪{0}.解析：令a=y，b=x-y，則a2+b2=x，已知條件即a2+b2-4a-2b=0（a≥0，b≥0）（a-2）2+（b-1）2=5（a≥0，b≥0）以（2，1）為圓心，5為半徑，過原點的圓滿足a≥0，b≥0的點.即圖中及原點.x為相應(yīng)點與原點距離的平方，x∈{0}∪[4，20].

二、解答題

15.（1）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

于是3=12bcsinA=34bc，所以bc=4.

因為c=AB=22，所以b=CA=2.

由余弦定理得BC=a=b2+c2-2bccosA=b2+c2+4=2+8+4=14.

（2）由BC=21得b2+c2+4=21，即b2+16b2-17=0，解得b=1或4.

設(shè)BC的中點為D，則AO=AD+DO，

因為O為△ABC的外心，所以DO·BC=0，

于是AO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）·（AC-AB）=b2-c22.

所以當b=1時，c=4，AO·BC=b2-c22=-152;

當b=4時，c=1，AO·BC=b2-c22=152.

16.（1）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，

又因為AC⊥BE，CC1∩BE=E，AC⊥面BCE，

BC面BCE，故AC⊥BC，

又在直三棱柱中，CC1⊥BC，AC∩CC1=C，

故BC⊥面ACC1，C1D在平面ACC1內(nèi)，所以BC⊥C1D.

（2）連結(jié)AE，在BE上取點M，使BE=4ME，

連結(jié)FM，B1M，F(xiàn)B1，在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF，

所以MF∥AE，

又在面AA1C1C中，易證C1D∥AE，

所以C1D∥MF，

又∵MF面B1FM，所以C1D∥平面B1FM.

17.（1）當k=8時，s=5t3-8t2+t+10，

這時汽車的瞬時速度為V=s′=15t2-16t+1，

令s′=0，解得t=1（舍）或t=115，

當t=115時，s=1022675，

所以汽車的剎車距離是1022675米.

（2）汽車的瞬時速度為v=s′，

所以v=15t2-2kt+1，

汽車靜止時v=0，

故問題轉(zhuǎn)化為15t2-2kt+1=0在[1，2]內(nèi)有解.

又2k=15t2+1t=15t+1t，

∵15t+1t≥215，當且僅當15t=1t，t=115時取等號，

∵t=115[1，2]，∴記f（t）=15t+1t，

f′（t）=15-1t2，∵t∈[1，2]，∴f′（t）=15-1t2>0，∴f（t）單調(diào)遞增，

∴f（t）∈[16，612]，2k∈[16，612]，即k∈[8，614]，

故k的取值范圍為k∈[8，614].

18.（1）因為橢圓T的中心在坐標原點，一條準線方程為y=2，

所以橢圓T的焦點在y軸上，于是可設(shè)橢圓T的方程為x2b2+y2a2=1（a>b>0）.

因為橢圓T經(jīng)過點（1，0），

所以a2a2-b2=2，0a2+1b2=1，解得a2=2，b2=1.

故橢圓T的方程為y22+x2=1.

（2）由題意知，矩形ABCD是橢圓x2+y22=1的外切矩形，

（i）若矩形ABCD的邊與坐標軸不平行，則可設(shè)一組對邊所在直線的方程為y=kx+m（k≠0），

則由x2+y22=1，y=kx+m

消去y得（k2+2）x2+2kmx+m2-2=0，

于是Δ=4k2m2-4（k2+2）（m2-2）=0，

化簡得m=±k2+2.

所以矩形ABCD的一組對邊所在直線的方程為

y=kx±k2+2，即y-kx=±k2+2，

則另一組對邊所在直線的方程為

ky+x=±1+2k2，

于是矩形頂點坐標（x，y）滿足

（y-kx）2+（ky+x）2=（k2+2）+（1+2k2），

即（1+k2）（x2+y2）=3（1+k2），亦即x2+y2=3.

（ii）若矩形ABCD的邊與坐標軸平行，則四個頂點（±1，±2）顯然滿足x2+y2=3.

故滿足條件的所有矩形的頂點在定圓x2+y2=3上.

19.（1）因為f（x）≤f′（x），所以x2-2x+1≤2a（1-x），又因為-2≤x≤-1，

所以a≥x2-2x+12（1-x）在x∈[-2，-1]時恒成立，因為x2-2x+12（1-x）=1-x2≤32，

所以a≥32.

（2）因為f（x）=|f′（x）|，

所以x2+2ax+1=2|x+a|，

所以（x+a）2-2|x+a|+1-a2=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1-a.

①當a<-1時，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a;

②當-1≤a≤1時，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，

所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）;

③當a>1時，|x+a|=1+a，

所以x=1或x=-（1+2a）.

（3）因為f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，

g（x）=f′（x），f（x）≥f′（x），f（x），f（x）

①若a≥-12，則x∈[2，4]時，f（x）≥f′（x），

所以g（x）=f′（x）=2x+2a，

從而g（x）的最小值為g（2）=2a+4;

②若a<-32，則x∈[2，4]時，f（x）

所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，

當-2≤a<-32時，g（x）的最小值為g（2）=4a+5，

當-4

當a≤-4時，g（x）的最小值為g（4）=8a+17.

③若-32≤a<-12，則x∈[2，4]時，

g（x）=x2+2ax+1，x∈[2，1-2a）2x+2a，x∈[1-2a，4]

當x∈[2，1-2a）時，g（x）最小值為g（2）=4a+5;

當x∈[1-2a，4]時，g（x）最小值為g（1-2a）=2-2a.

因為-32≤a<-12，（4a+5）-（2-2a）=6a+3<0，

所以g（x）最小值為4a+5.

綜上所述，

[g（x）]min=8a+17，a≤-4，1-a2，-4

20.（1）因為a1+a2+…+an-pan+1=0，所以n≥2時，a1+a2+…+an-1-pan=0，兩式相減，得an+1an=p+1p（n≥2），故數(shù)列{an}從第二項起是公比為p+1p的等比數(shù)列，又當n=1時，a1-pa2=0，解得a2=ap，

從而an=a（n=1），ap（p+1p）n-2（n≥2）.

（2）①由（1）得ak+1=ap（p+1p）k-1，

ak+2=ap（p+1p）k，ak+3=ap（p+1p）k+1，

若ak+1為等差中項，則2ak+1=ak+2+ak+3，

即p+1p=1（舍）或p+1p=-2，解得p=-13;

此時ak+1=-3a（-2）k-1，ak+2=-3a（-2）k，

所以dk=|ak+1-ak+2|=9a·2k-1，

若ak+2為等差中項，則2ak+2=ak+1+ak+3，

即p+1p=1，此時無解;

若ak+3為等差中項，則2ak+3=ak+1+ak+2，

即p+1p=1（舍）或p+1p=-12，解得p=-23，

此時ak+1=-3a2（-12）k-1，

ak+3=-3a2（-12）k+1，

所以dk=|ak+1-ak+3|=9a8·（12）k-1，

綜上所述，p=-13，dk=9a·2k-1或p=-23，

dk=9a8·（12）k-1.

②當p=-13時，Sk=9a（2k-1）.

則由Sk<30，得a<103（2k-1），

當k≥3時，103（2k-1）<1，所以必定有a<1，

所以不存在這樣的最大正整數(shù).

當p=-23時，Sk=9a4[1-（12）k]，

則由Sk<30，得a<403[1-（12）k]，

因為403[1-（12）k]>403，所以a=13滿足Sk<30恒成立;但當a=14時，存在k=5，使得a>403[1-（12）k]即Sk>30，

所以此時滿足題意的最大正整數(shù)a=13.

第Ⅱ卷（附加題，共40分）

21.A.（1）設(shè)M=abcd，則abcd12=-1-2，故a+2b=-1c+2d=-2.

abcd11=0-3，故a+b=0c+d=-3.

聯(lián)立以上方程組解得a=1，b=-1，c=-4，d=1，故M=1-1-41.

（2）由（1）知M=1-1-41

則矩陣M的特征多項式為

f（λ）=λ-114λ-1=（λ-1）2-4=λ2-2λ-3.

令f（λ）=0，得矩陣M另一個特征值為3.

設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e2=xy，

則Me2=x-y-4x+y=3x3y，解得2x+y=0，故e2=-12.

由α=me1+ne2，得m-n=2m+n=4，得m=3，n=1.

∴A5α=M5（3e1+e2）=3（M5e1）+M5e2

=3（λ51e1）+λ52e2=3×（-1）512+35-12

=-246480.

B.（1）∵ρ=2cosθ-2sinθ，

∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，

∴圓C的直角坐標方程為

x2+y2-2x+2y=0，

即（x-22）2+（y+22）2=1，

∴圓心直角坐標為（22，-22）.

（2）方法1：直線l上的點向圓C引切線長是

（22t-22）2+（22t+22+42）2-1

=t2+8t+40=（t+4）2+24≥26，

∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是26.

方法2：直線的普通方程為x-y+42=0，

圓心C到直線l距離是22+22+422=5，

∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是52-12=26.

C.證明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2.又a，b，c，d均為正數(shù).

∴a2+b2c2+d2≥ac+bd>0，

同理a2+b2c2+d2≥ad+bc>0，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）（ad+bc）>0.

即xy≥（ac+bd）（ad+bc）.

22.（1）由題意“S1=5且S2≥0”表示：

“答完2題，第一題答對，第二題答錯;或第一題答對，第二題也答對”

此時概率P=13×23+13×13=13.

（2）因為答完5道題，結(jié)果可能是：

答對0道，此時S5=-25，ξ=25;答對1道，此時S5=-15，ξ=15;

答對2道，此時S5=-5，ξ=5;答對3道，此時S5=5，ξ=5;

答對4道，此時S5=15，ξ=15;答對5道，此時S5=25，ξ=25，

∴ξ的取值只能是5，15，25，

因此P（ξ=5）=C25（23）3×（13）2+C35（13）3×（23）2=4081，

P（ξ=15）=C15（23）4×13+C45（13）4×23=1027，

P（ξ=25）=C05（23）5+C55（13）5=1181，

∴ξ的分布列為：

ξ51525

P408110271181

∴E（ξ）=92581.

23.（1）首先，容易得到一個簡單事實：數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}均為不減數(shù)列且an∈N，bn∈N.

若a1=b1=0，故數(shù)列{an}中小于等于1的項至少有一項，從而b1≥1，這與b1=0矛盾.

若a1=b1≥2，則數(shù)列{an}中沒有小于或等于1的項，從而b1=0，這與b1≥2矛盾.

所以，a1=1.

（2）假設(shè)當n=k時，ak=bk=k，k∈N*.

若ak+1≥k+2，因數(shù)列{an}為不減數(shù)列，故數(shù)列{an}中小于等于k+1的項只有k項，

于是bk+1=k，此時數(shù)列{bn}中小于等于k的項至少有k+1項（b1，b2，…，bk，bk+1），

從而ak≥k+1，這與假設(shè)ak=k矛盾.

若ak+1=k，則數(shù)列{an}中小于等于k的項至少有k+1項（a1，a2，…，ak，ak+1），

于是bk≥k+1，這與假設(shè)bk=k矛盾.

所以，ak+1=k+1.

所以，當n=k+1時，猜想也成立.

綜上，由（1），（2）可知，an=bn=n對一切正整數(shù)n恒成立.

所以，an=n，即為所求的通項公式.