(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 山東 青島 266590)

1971年，華裔科學(xué)家蔡少棠[1]根據(jù)概念的對(duì)稱(chēng)性首次提出了憶阻器的概念，描述了磁通和電荷之間的非線性關(guān)系。2008年，惠普公司研究團(tuán)隊(duì)首次實(shí)現(xiàn)了具有TiO2雙層薄膜結(jié)構(gòu)的實(shí)物憶阻器[2]。由于憶阻器的阻值依賴(lài)于電壓或電流的作用時(shí)間而非當(dāng)前時(shí)刻的瞬時(shí)值，從而使得憶阻器成為天然的非易失性存儲(chǔ)器，即當(dāng)憶阻器兩端電壓(或電流)掉電時(shí)，憶阻器仍然能記憶其當(dāng)前時(shí)刻的電阻值。文獻(xiàn)[3]研究表明憶阻器能夠模擬大腦中的神經(jīng)突觸，由于憶阻器的這種記憶特性，越來(lái)越多的研究者用憶阻器代替?zhèn)鹘y(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的電阻來(lái)構(gòu)建憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]。近年來(lái)，憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(memristive neural networks，MNNS)的動(dòng)力學(xué)行為得到了廣泛的研究[5]。

分?jǐn)?shù)階微積分目前在各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。相較于整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分最主要的優(yōu)點(diǎn)在于其具有記憶特性，這使得它為描述具有遺傳和記憶特性的各種物質(zhì)和過(guò)程提供了更新穎的、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)工具[6]。文獻(xiàn)[7]表明分?jǐn)?shù)階微積分能夠更精確地刻畫(huà)小鼠大腦新皮層錐體神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為。鑒于此，為了更好地描述大腦神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，一些研究人員將分?jǐn)?shù)階微積分引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，建立了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以由超大規(guī)模集成電路(vary large scale integration，VLSI)來(lái)實(shí)現(xiàn)[9]。在整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，電容是整數(shù)階的。然而，大量研究表明電容實(shí)際上是分?jǐn)?shù)階的[10]。為此，研究人員用分?jǐn)?shù)階電容代替整數(shù)階電容來(lái)構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路，以提高模型的精確度，從而建立了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。與整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性更強(qiáng)，且具有更多自由參數(shù)。近年來(lái)，關(guān)于分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)研究取得了巨大的進(jìn)展[11]。

為了更精確地描述大腦神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為，研究人員結(jié)合憶阻器和分?jǐn)?shù)階微積分的優(yōu)點(diǎn)建立了分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(fractional memristive neural networks，F(xiàn)MNNS)[12]。從電路實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，F(xiàn)MNNs可以通過(guò)將整數(shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的整數(shù)階電容用分?jǐn)?shù)階電容代替來(lái)實(shí)現(xiàn)。雖然目前關(guān)于整數(shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)研究成果豐碩，但是傳統(tǒng)的分析方法如Lyapunov方法和矩陣測(cè)度方法等都不能直接應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中去。因此，如何將分?jǐn)?shù)階微積分理論的最新研究成果應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分析中來(lái)是目前急需解決的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)階和憶阻器的引入給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)分析帶來(lái)了巨大的困難和挑戰(zhàn)。近年來(lái)，關(guān)于分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)取得了一些成果[12-17]。文獻(xiàn)[12]利用分?jǐn)?shù)階李雅普諾夫函數(shù)方法研究了FMNNs的Mittag-Leffler的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]利用不等式技術(shù)研究了時(shí)滯FMNNs的自適應(yīng)同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]研究了時(shí)滯FMNNs的混合投影同步。文獻(xiàn)[16]利用比較原理研究了參數(shù)不確定多時(shí)滯FMNNs的同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]利用新的Mittag-Leffler估計(jì)引理研究了參數(shù)不匹配FMNNs的準(zhǔn)同步問(wèn)題。

根據(jù)上述討論可知，文獻(xiàn)[5，11]研究的都是連續(xù)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)，文獻(xiàn)[13]研究了具有不連續(xù)憶導(dǎo)函數(shù)的FMNN的動(dòng)力學(xué)行為，文獻(xiàn)[12，14-17]主要研究了不連續(xù)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步問(wèn)題。目前尚沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)不連續(xù)時(shí)滯FMNN的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。為此，提出了一個(gè)不連續(xù)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并研究了不同的分岔參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。值得注意的是，不連續(xù)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)重不同，使得其包含多個(gè)子系統(tǒng)。系統(tǒng)隨開(kāi)關(guān)階躍T的變化而切換，使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。另外，文獻(xiàn)[5，11]中提出的系統(tǒng)通往混沌的道路大多為倍周期分岔或反向倍周期分岔，而本研究提出的FMNN模型通往混沌的道路為陣發(fā)混沌，動(dòng)力學(xué)行為更加豐富。不連續(xù)憶導(dǎo)函數(shù)和開(kāi)關(guān)階躍的加入能夠極大地豐富系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，所得結(jié)果為不連續(xù)FMNN的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

定義 1[18] 函數(shù)f(t)的α階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中t≥t0，n是正整數(shù)并且滿足n-1<α

1.2 憶阻器模型

憶阻器最初被用來(lái)描述磁通φ和電荷q之間的關(guān)系。磁通φ和電荷q之間的關(guān)系可以用q-φ或φ-q平面上一條過(guò)原點(diǎn)的特性曲線f(φ,q)=0來(lái)表征。磁通和電荷之間的關(guān)系φ=φ(q)可以定義一個(gè)電荷控制(或電流控制)的憶阻器。此時(shí)，非線性關(guān)系f(φ,q)=0能由關(guān)于電荷q的單值方程φ=φ(q)表示出來(lái)。因此，憶阻器可以用其憶阻值M(q)來(lái)表征，其電流-電壓關(guān)系特性為

同樣地，電荷-磁通特征關(guān)系q=q(φ)能定義一個(gè)磁通控制(或電壓控制)的憶阻器。此時(shí)，f(φ,q)=0能由一個(gè)關(guān)于磁通φ的單值方程q=q(φ)來(lái)表示。由此可以推出：

2 不連續(xù)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的混沌現(xiàn)象

考慮一類(lèi)不連續(xù)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14-17],表示如下：

(1)

其中，i=1,2,…,n,n代表神經(jīng)元的數(shù)量；0<α< 1代表分?jǐn)?shù)階；ci> 0代表自反饋系數(shù)；xi(t)為第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)變量；fj(·),gj(·)代表激活函數(shù)；τ代表時(shí)滯。憶阻連接系數(shù)aij(xj(t))和bij(xj(t))可以表示為：

本文提出了一個(gè)三維的不連續(xù)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，描述為

(2)

其中，將參數(shù)設(shè)置如下：c1= 2.2，c2= 1.2，c3= 1.8，τ=0.8，T= 1，fj(xj)=gj(xj)=tanh(xj)，j= 1,2,3。不連續(xù)的連接權(quán)重為：

令α= 0.905，初始狀態(tài)設(shè)定為x(s)= (0.9,-0.5,0.7)T，?s∈ [-0.8,0]。如圖1所示，系統(tǒng)(2)能夠產(chǎn)生混沌吸引子。

圖1 當(dāng)初始狀態(tài)x(s) = (0.9,-0.5,0.7)T時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖Fig.1 Phase portraits of system (2) with initial condition x(s)= (0.9,-0.5,0.7)T

圖2 隨x10變化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram with varied x10

2.1 隨初值x10的分岔分析

上述分析已經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)α=0.905,x(s)= (0.9,-0.5,0.7)T,T= 1時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。因此，取系統(tǒng)的初始狀態(tài)α= 0.905,T= 1，(x1,x2,x3)T= (x10,-0.5,0.7)T，x10的變化范圍為0.9～9，步長(zhǎng)為0.02。分?jǐn)?shù)階微分方程(2)通過(guò)Adams-Bashforth-Moulton 預(yù)估-校正算法[20]求解，步長(zhǎng)為0.005。如圖2所示，當(dāng)x10從0.9變化到8.12時(shí)，隨著x10的增加，系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出混沌行為。當(dāng)x10從8.14變化到9,系統(tǒng)(2)出現(xiàn)周期-1軌道。

分別選取不同的x10，系統(tǒng)(2)的相圖及相應(yīng)的龐加萊截面(選取的截面為x1=0.5)如圖3～4所示，仿真時(shí)間范圍設(shè)為[200 s,400 s]。不同的x10對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為如表1所示。

圖3 x10取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖Fig.3 Phase portraits exhibited in system (2) with different values of x10

圖4 x10取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的龐加萊截面Fig.4 Poincaré sections of system (2) with different values of x10

表1 x10取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)Tab.1 Dynamics of system (2) for different x10

圖5 隨α變化的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram with varied α

2.2 隨分?jǐn)?shù)階α的分岔分析

令初始狀態(tài)(x1,x2,x3)T=(1,-0.5, 0.7)T，T= 1。α從0.8變化到1，步長(zhǎng)為0.000 4。如圖5所示，當(dāng)α∈ [0.841 6,0.909 2]，[0.910 8,0.951 6]和[0.954 0,0.951 2]時(shí)，系統(tǒng)(2)展現(xiàn)出混沌狀態(tài)。當(dāng)α∈ [0.800 0, 0.841 2]，[0.909 6,0.910 4]，[0.952 0,0.953 6]，[0.961 6,0.986 0]，[0.986 4,0.993 6]和[0.994 0,1.000 0]時(shí)，系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出周期狀態(tài)。

選取不同的分?jǐn)?shù)階α，系統(tǒng)(2)的相圖及相應(yīng)的龐加萊截面(選取的截面為x1=0)如圖6～7所示，仿真時(shí)間范圍設(shè)為[200 s,400 s]。不同的分?jǐn)?shù)階α對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為如表2所示。

圖6 α取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖Fig.6 Phase portraits exhibited in system (2) with different values of α

圖7 α取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的龐加萊截面Fig.7 Poincaré sections of system (2) with different values of α

由圖2、圖5可以看出，隨著分岔參數(shù)的變化，周期窗口與混沌窗口以陣發(fā)的形式交替出現(xiàn)，而未出現(xiàn)通過(guò)倍周期分岔到混沌的這種分岔過(guò)程。因此，不同于文獻(xiàn)[5，11]中所研究的連續(xù)型系統(tǒng)的倍周期分岔，不連續(xù)系統(tǒng)(2)通往混沌的道路為陣發(fā)混沌。因此，本研究豐富了之前的結(jié)果。

2.3 開(kāi)關(guān)階躍T的分岔分析

令初始狀態(tài)(x1,x2,x3)T= (1,-0.5,0.7)T，α= 0.905。T的變化范圍為0.1～1.1，步長(zhǎng)為0.002。當(dāng)T∈ [0.392,0.544],[0.590,1.100]時(shí)，系統(tǒng)(2)展現(xiàn)出混沌狀態(tài)。當(dāng)T∈[0.100,0.222]，[0.224,0.390]，[0.546,0.588]時(shí)，系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出周期狀態(tài)。

選取不同的開(kāi)關(guān)階躍T，系統(tǒng)(2)的相圖及相應(yīng)的龐加萊截面(選取的截面為x1=0)如圖9～10所示，仿真時(shí)間范圍設(shè)為[200 s,400 s]。不同的開(kāi)關(guān)階躍T對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為如表3所示。

表2 α取不同值時(shí)系統(tǒng) (2) 的動(dòng)力學(xué)Tab.2 Dynamics of system (2) for different α

圖8 隨T變化的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram with varied T

圖9 T取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖Fig.9 Phase portraits exhibited in system (2) with different values of T

圖10 T取不同值時(shí)系統(tǒng)(2)的龐加萊截面Fig.10 Poincaré sections of system (2) with different values of T

T動(dòng)力學(xué)圖0.20周期-1圖9(a)0.30周期-10圖9(b)0.45混沌圖9(c)1.00混沌圖9(d)

圖11 T取不同值時(shí)a11(x1(t))的切換律Fig.11 Switching laws of a11(x1(t)) with different values of T

由于不連續(xù)憶導(dǎo)函數(shù)的存在，使得系統(tǒng)(1)本質(zhì)上是一個(gè)由2n個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的切換系統(tǒng)。顯然，新構(gòu)建的系統(tǒng)(2)由8個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成。因此，不連續(xù)憶導(dǎo)函數(shù)的加入可以豐富切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)數(shù)目。特別地，本文分析了開(kāi)關(guān)階躍T對(duì)系統(tǒng)(2)動(dòng)力學(xué)行為的影響。本文憶阻器的阻值是二值切換的，當(dāng)開(kāi)關(guān)階躍T達(dá)到閾值電壓時(shí)，憶阻器的阻值為一個(gè)特定的值，當(dāng)開(kāi)關(guān)階躍T的值小于閾值電壓時(shí)，憶阻器的阻值為另一個(gè)特定的值。憶阻器的阻值在兩個(gè)值之間切換，系統(tǒng)展現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。值得注意的是，不同的開(kāi)關(guān)階躍T并沒(méi)有改變系統(tǒng)(2)的8個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，但可以改變憶阻連接權(quán)重的切換律。如圖11所示，不同的開(kāi)關(guān)階躍T能夠產(chǎn)生不同的切換律，進(jìn)而可以影響或改變系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為。

3 結(jié)論

提出了一個(gè)不連續(xù)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)選取不同的分岔參數(shù)，對(duì)該模型進(jìn)行了詳細(xì)的分岔分析。利用分岔圖、相圖和龐加萊截面等數(shù)值仿真手段驗(yàn)證了其典型的動(dòng)力學(xué)行為。不同于倍周期分岔，所提出的不連續(xù)分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通往混沌的道路為陣發(fā)混沌。同時(shí)，還揭示了不連續(xù)的憶導(dǎo)函數(shù)和開(kāi)關(guān)階躍T對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的內(nèi)在影響機(jī)制。研究結(jié)果可為混沌生成提供新的思路和方法。