(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

分?jǐn)?shù)階微積分具有和整數(shù)階微分理論近乎同樣長的歷史，但由于人們的認(rèn)知水平不足、缺乏對應(yīng)的物理應(yīng)用背景等原因，分?jǐn)?shù)階微分一直沒得到相應(yīng)的發(fā)展和重視[1]。直到1982年,Mandelbrot等[2]第一次指出自然界和許多其他領(lǐng)域中存在很多相似于整數(shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維現(xiàn)象；在生物醫(yī)學(xué)、力學(xué)物理、金融工程和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工程等一些新興領(lǐng)域，用整數(shù)微分方程建模存在很大的局限性，但利用分?jǐn)?shù)階微積分可以有效改善遺傳記憶問題[3-5]。此外，由于混沌信號具有初值敏感性、類隨機(jī)性、連續(xù)寬帶譜等特性，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信中具有巨大的潛在價(jià)值，可實(shí)現(xiàn)數(shù)字混沌加密通信，有利于提高信息的安全傳輸[6-7]，因此研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有十分重要的意義。

早在1990年，Peora和Corrol[8]就提出了混沌同步的概念，并廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、氣象學(xué)等各種工程和物理領(lǐng)域中。近年來，混沌同步在保密通信等跨學(xué)科領(lǐng)域的潛在應(yīng)用價(jià)值吸引了許多學(xué)者的注意[9]，并取得了一些重大成果。例如：自適應(yīng)、脈沖和滑模變結(jié)構(gòu)等同步方法[10-11]，完全同步、反同步、投影同步、函數(shù)投影同步等[12-14]。相對于整數(shù)階系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可以更加準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，并且控制自由度更高[15]，吸引了很多學(xué)者對分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)同步進(jìn)行研究，并取得了一系列進(jìn)展[16-17]。然而，在工程實(shí)踐中復(fù)值變量更為常見，復(fù)值系統(tǒng)在電磁場等領(lǐng)域中具有更重要的應(yīng)用前景，研究者開展復(fù)值系統(tǒng)動(dòng)力行為的研究，包括分岔、同步和穩(wěn)定性分析等[17-18]。但目前對于復(fù)值分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和階次不等的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步研究還很少[19]。本研究利用混沌同步能增強(qiáng)保密通信的抗破解能力的特點(diǎn)，結(jié)合不同階次分?jǐn)?shù)階廣義投影同步和采用復(fù)雜多變的比例因子，提出不同階次復(fù)值分?jǐn)?shù)階廣義錯(cuò)位投影同步，提高保密通信的安全傳輸。

1 知識準(zhǔn)備與問題描述

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

在不同領(lǐng)域的研究中，分?jǐn)?shù)階微積分是對整數(shù)階微積分的推廣，在研究過程的實(shí)際應(yīng)用中,定義主要有Grunwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義。

Caputo定義數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

其中n-1<α

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階Caputo微分定義對初始值有敏感性，所以更多的應(yīng)用在工程領(lǐng)域，與分?jǐn)?shù)階微分對應(yīng)的是積分：

(2)

1.2 廣義投影同步和廣義錯(cuò)位投影同步描述

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：

(3)

(4)

其中x=(x1,x2,…xn)T∈Rn,y=(y1,y2,…yn)T∈Rn分別表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)間狀態(tài)變量；f,g:Rn→Rn,F,G:Rn×n→Rn×n表示非線性函數(shù)；A,B表示參數(shù)向量，u(t)為要設(shè)計(jì)的非線性控制器。

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步的誤差向量：e(t)=y(t)-Δx(t), 其中Δ=δij是比例因子矩陣，Δ∈Rn×n為非奇異矩陣，該矩陣每行每列只有一個(gè)非零元素值，若Δ為對角矩陣，該同步稱為廣義投影同步，若Δ不是對角矩陣，則此同步為廣義錯(cuò)位投影同步，要求驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量不是完全一一對應(yīng)的，而是按照錯(cuò)位關(guān)系成比例的同步。

(5)

2 分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen混沌系統(tǒng)及其不同階次廣義投影同步

2.1 分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen混沌系統(tǒng)

分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

(6)

為研究該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，取系統(tǒng)參數(shù)和階數(shù)：a1=35,a2=3,a3=28,α=0.93,α=0.98, 分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，混沌吸引子見圖1和圖2。

圖1 相空間中的混沌吸引子(α=0.93)Fig.1 Chaotic attractor in phase space (α=0.93)

圖2 相空間中的混沌吸引子(α=0.98)Fig.2 Chaotic attractor in phase space (α=0.98)

2.2 不同階次分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen系統(tǒng)廣義投影同步

研究驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)階次不等情況下的同步，以系統(tǒng)(6)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，以系統(tǒng)(7)作為響應(yīng)系統(tǒng)，假設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)的階次β大于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的階次α(0<α<β<1)，有

(7)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分的定義和引理1知，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方程(6)可以轉(zhuǎn)化為：

(8)

即

(9)

因此不等階次的分?jǐn)?shù)階復(fù)值混沌Chen系統(tǒng)(6)和(7)的同步問題就轉(zhuǎn)化為混沌系統(tǒng)(9)和(7)的同步問題。

定義系統(tǒng)的同步誤差：

(10)

由式(7)、(9)、(10)，得到其同步誤差方程：

(11)

定理1基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制方法，設(shè)計(jì)控制器如下：

(12)

證明：把所設(shè)計(jì)的控制器(12)代入誤差系統(tǒng)(11)得到新的同步誤差系統(tǒng)：

(13)

構(gòu)造函數(shù)h1(e):

(14)

根據(jù)引理2，在控制器(12)的控制下，分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)(11)穩(wěn)定，定理1得證。

3 不同階次分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen系統(tǒng)廣義錯(cuò)位投影同步

以不同階次分?jǐn)?shù)階復(fù)值Chen系統(tǒng)為例，以(6)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，以(7)為響應(yīng)系統(tǒng)，研究廣義錯(cuò)位投影同步，也就是研究系統(tǒng)(9)和(7)的同步問題，因?yàn)轵?qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)階次都是5，所以廣義錯(cuò)位投影同步有5!-1=119種，設(shè)ni表示第i種錯(cuò)位形式，i=1，2，3，…，119，xj和yj(j=1，2，3，4，5)表示兩個(gè)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)變量，則有如下119種組合：

n1:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y5),(x5,y4);

n2:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),(x4,y5),(x5,y3);

n3:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),(x4,y3),(x5,y5);

n4:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y5),(x4,y3),(x5,y4);

n5:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y5),(x4,y4),(x5,y3);

?

n119:(x1,y5),(x2,y1),(x3,y2),(x4,y3),(x5,y4)。

這里討論第119種組合n119, 假設(shè)存在非奇異矩陣Δ,δij(i,j=1,2,3,4,5)是常數(shù)：

其余形式也可用此法進(jìn)行類似分析,該形式的廣義錯(cuò)位投影同步誤差為：

(15)

由 (7),(9),(15)式,可得同步誤差系統(tǒng)方程：

(16)

定理2對于任意給定的非奇異比例因子矩陣Δ和初始值，在自適應(yīng)控制器(17)的作用下，可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(9)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)的廣義錯(cuò)位投影同步，設(shè)計(jì)的非線性控制器如下：

(17)

證明：將非線性控制器 (17) 代入誤差系統(tǒng)方程 (16) 得：

(18)

構(gòu)造函數(shù)h2(e):

+δ45x5(t)e2(t)e5(t)+δ23x3(t)e4(t)e5(t)

(19)

由于(19)式滿足引理2，誤差系統(tǒng)(16)穩(wěn)定于零點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了廣義錯(cuò)位投影同步，定理2得證。

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證上述方法的有效性，本節(jié)采用求解分?jǐn)?shù)階微分方程計(jì)算精度很高的預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。

對于第3部分的數(shù)值仿真，初始值取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=0,y3=-2,y4=0,y5=9, 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)階次α=0.96, 響應(yīng)系統(tǒng)階次β=0.98, 其仿真結(jié)果如圖3所示。初始值取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=-1.5,y3=-2,y4=0,y5=7, 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)階次α=0.93, 響應(yīng)系統(tǒng)階次β=0.98, 其仿真結(jié)果如圖4所示，圖示結(jié)果表明在所設(shè)計(jì)控制器的作用下誤差趨于零，可以實(shí)現(xiàn)不同階次復(fù)值分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

圖3 階次0.96的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和階次0.98的響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步誤差Fig.3 Generalized projective synchronization error of order 0.96 drive system and 0.98 response system

圖4 階次0.93的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和階次0.98的響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步誤差Fig.4 Generalized projective synchronization error of order 0.93 drive system and 0.98 response system

對于第4部分的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，比例因子選取δ12=3,δ23=2.5,δ34=2,δ45=1.5,δ51=3,驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的階次α=0.96,β=0.98, 初始值選取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=0,y3=-2,y4=0,y5=9, 同步誤差系統(tǒng)圖見圖5。驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的階次選取α=0.93,β=0.98, 初始值選取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=-1.5,y3=-1,y4=0,y5=7, 同步誤差系統(tǒng)圖見圖6，從圖5和圖6可以看出廣義錯(cuò)位投影同步誤差系統(tǒng)趨于零，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了廣義錯(cuò)位投影同步，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

圖5 階次0.96的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和階次0.98的響應(yīng)系統(tǒng)的廣義錯(cuò)位投影同步誤差Fig.5 Generalized dislocation projective synchronization error of order 0.96 response system and 0.98 response system

圖6 階次0.93的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和階次0.98的響應(yīng)系統(tǒng)的廣義錯(cuò)位投影同步誤差Fig.6 Generalized dislocation projective synchronization error of order 0.93 response system and 0.98 response system

5 結(jié)論

依據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的定義和定理，提出一種不同階次復(fù)值分?jǐn)?shù)階同步的方法。針對不同分?jǐn)?shù)階階次的復(fù)值混沌系統(tǒng)，可以通過將不同分?jǐn)?shù)階階次的復(fù)值分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等階次的復(fù)值分?jǐn)?shù)階不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過設(shè)計(jì)非線性控制器實(shí)現(xiàn)了廣義投影同步和廣義錯(cuò)位投影同步，并給出了證明。利用預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到的仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)理論分析一致，該方法的同步效果與以往的混沌同步效果相同，驗(yàn)證了該方法的正確性。