2

(1. 中國石油大學(xué)(華東) 化學(xué)工程學(xué)院,山東 青島 266580；2. 合肥通用機(jī)械研究院有限公司，安徽 合肥 230031)

在現(xiàn)代工業(yè)制造過程中，機(jī)械臂操作系統(tǒng)已經(jīng)迅速被開發(fā)并得到了廣泛應(yīng)用，例如組裝、運(yùn)輸、焊接、噴漆以及其他各種高危高難度的復(fù)雜任務(wù)[1-2]。這些任務(wù)需要大量的操作和很好的可操控性，其中大多數(shù)都不能通過一個單獨(dú)的機(jī)械臂來實現(xiàn)。而固定基座機(jī)械臂系統(tǒng)的工作空間有一定的局限性，因此，多移動機(jī)械臂的應(yīng)用得到了廣泛的關(guān)注[3-4]。多移動機(jī)械臂系統(tǒng)是一種復(fù)雜的強(qiáng)耦合時變系統(tǒng)，具有極強(qiáng)的非線性特征。多個機(jī)械臂之間如何協(xié)同配合，以及怎樣解決兩個子系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，對其建立統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型并設(shè)計同步控制器，成為該系統(tǒng)同步控制問題的關(guān)鍵[5-6]。對于多移動機(jī)械臂同步控制問題的研究，國內(nèi)外的諸多學(xué)者近幾年已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展[7]。

林冠楠[8]針對移動機(jī)械臂的同步控制問題，將運(yùn)動解耦、機(jī)械臂與移動平臺分開進(jìn)行控制，分別針對兩者設(shè)計了基于自抗擾技術(shù)的同步控制器。Liu等[9]針對機(jī)械臂系統(tǒng)的無源化控制，研究了動力學(xué)參數(shù)不同的機(jī)械臂任務(wù)空間同步控制方法。方牧等[10]對各移動機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間做了軌跡規(guī)劃，并設(shè)計了基于模型參考的自適應(yīng)控制器，但當(dāng)較強(qiáng)的耦合關(guān)系存在于多個移動機(jī)械臂之間時該控制器并不能獲得很好的控制性能。Desai等[11]對移動平臺的軌跡進(jìn)行了規(guī)劃，為保證末端機(jī)械手能夠穩(wěn)定操作物體設(shè)計了相應(yīng)的控制器，但移動機(jī)械臂末端機(jī)械手對被操作物體所施加作用力的魯棒性該控制方法無法實現(xiàn)。Sugar等[12]針對多移動機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計了基于主從式通信網(wǎng)絡(luò)的同步控制算法，主動移動機(jī)械臂的路徑方案和力規(guī)劃可以依靠自身來完成，從動移動機(jī)械臂與主動移動機(jī)械臂的運(yùn)動狀態(tài)保持一致，對各自期望軌跡的追蹤可以通過所設(shè)計的控制器來完成。

雖然關(guān)于多移動機(jī)械臂的同步控制問題到目前為止已經(jīng)取得了很大進(jìn)展，但系統(tǒng)不確定性和主動控制力矩的估計等問題并沒有得到很好的解決，許多先進(jìn)控制算法如RBF(radial basis function,徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，未在多移動機(jī)械臂系統(tǒng)的同步控制中得到充分的應(yīng)用。因此，本研究在對多移動機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)特性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計了一種新的自適應(yīng)主從同步控制器，解決多移動機(jī)械臂系統(tǒng)同步控制的相關(guān)問題。

圖1 多移動機(jī)械臂主從同步控制系統(tǒng)Fig.1 Synchronous control system of multiple mobile manipulators

1 系統(tǒng)描述

1.1 動力學(xué)模型

考慮如圖1所示的多移動機(jī)械臂系統(tǒng)，由一個主動機(jī)械臂和n個從動機(jī)械臂所構(gòu)成，且所有機(jī)械臂均具有同樣的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)參數(shù)，系統(tǒng)模型如圖1所示。

在關(guān)節(jié)空間內(nèi)，其拉格朗日動力學(xué)方程可以表示為：

(1)

消掉微分約束引入的約束力項，多移動機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程可化為：

(2)

(3)

1.2 系統(tǒng)同步誤差

將主、從動機(jī)械臂間的同步誤差定義為如下形式：

εi=xi-x0。

(4)

將公式(3)代入并整理可得：

(5)

則本研究的控制任務(wù)為：基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)誤差方程式(5)，設(shè)計一種多移動機(jī)械臂系統(tǒng)的同步控制算法，對系統(tǒng)未知項進(jìn)行估計和補(bǔ)償，使同步誤差最終收斂至零，從而實現(xiàn)多移動機(jī)械臂系統(tǒng)的主從同步控制。

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主從同步控制器設(shè)計

根據(jù)已有相關(guān)文獻(xiàn)可知，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性系統(tǒng)中已獲得一定的應(yīng)用，并且能夠?qū)ο到y(tǒng)非線性進(jìn)行補(bǔ)償[13-14]。所以，本研究將利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對未知狀態(tài)進(jìn)行估計，并針對上述機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計一種自適應(yīng)主從同步控制算法，使得該系統(tǒng)在存在系統(tǒng)不確定性和外界干擾的情況下也可以實現(xiàn)同步運(yùn)動，完成上節(jié)所述的同步控制任務(wù)[15]。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射關(guān)系Fig.2 Mapping relations ofRBF neural network

2.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱層和輸出層構(gòu)成[16]，具有很好的泛化能力，可以使學(xué)習(xí)速率大幅提升，符合實時控制的條件，并且能夠防止局部極小值的出現(xiàn)。

輸入向量x與輸出y之間的映射關(guān)系可以用如下公式來表示：

(6)

其中，l∈Rmr是一個緊集，n*的值可以根據(jù)f(x)、ε0合理選擇。

圖3 基于高斯基函數(shù)的隸屬度函數(shù)Fig.3 Membership function based on gauss function

2.2 從動移動機(jī)械臂動力學(xué)補(bǔ)償

矩陣注1：對于矩陣R，其弗羅貝尼烏斯矩陣范數(shù)定義為如下形式：

其中，tr(·)表示矩陣的跡。

假設(shè)3：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中所有權(quán)重系數(shù)矩陣均從屬于一個大的緊集B(Mθi){θi:θiF≤Mθi}，其中，任意R(Mθi)>0是均為正數(shù)。那么：

(7)

定義由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入的建模誤差ηi為：

ηi

建模誤差ηi的有限正定常數(shù)上界η0i定義為：

η0i

漏電保護(hù)器按其保護(hù)功能和結(jié)構(gòu)特征分類：漏電保護(hù)開關(guān).它由零序電流互感器、漏電脫扣器和主開關(guān)組裝在一絕緣外殼之中，具有漏電保護(hù)及手動通斷電路的功能，但不具有過負(fù)荷和短路保護(hù)的功能.這類產(chǎn)品主要用于住宅，通稱漏電開關(guān).漏電斷路器.它是在低壓斷路器的基礎(chǔ)上加裝漏電保護(hù)部件組成，具有漏電保護(hù)和過負(fù)荷及短路保護(hù)的功能.它在家用及類似場所廣泛應(yīng)用.漏電繼電器.它由零序電流互感器和繼電器組成，具有檢測和判斷漏電和接地故障的功能，由繼電器發(fā)出信號，并控制斷路器或接觸器切斷電路.漏電保護(hù)插座.它由漏電開關(guān)或漏電斷路器與插座組合而成，使插座回路連接的設(shè)備具有漏電保護(hù)功能.

2.3 主動移動機(jī)械臂控制力矩估計

假設(shè)4：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所有的權(quán)重系數(shù)都屬于一個大的緊集B(Mθ0){θ0:θ0F≤Mθ0}，其中任意R(Mθ0)>0是均為正數(shù)。那么：

(8)

定義由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入的建模誤差η0l為：

η0l

2.4 主從同步控制器設(shè)計

在前面兩節(jié)的基礎(chǔ)上，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多移動機(jī)械臂分布式自適應(yīng)同步控制器可以設(shè)計為如下形式：

τi=τ1+τ2+τ3，

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在控制器設(shè)計中，τi1用來抵消哥氏力和重力；τi2可以消除主從機(jī)械臂間的同步誤差；τi3可以抵消主動機(jī)械臂輸入力矩的擾動。

2.5 Lyapunov穩(wěn)定性分析

將2.4節(jié)設(shè)計的控制器代入式(5)，可得：

(16)

(17)

定理1在滿足假設(shè)1～5的條件下，針對公式(1)、(2)所示的多移動機(jī)械臂系統(tǒng)，在主從同步控制律(9)～(15)的作用下，通過適當(dāng)?shù)剡x取矩陣Q≥0，可以在任意初始狀態(tài)下，使從動移動機(jī)械臂對主動機(jī)械臂移動軌跡實現(xiàn)跟蹤，且同步誤差εi可以收斂至一個小的剩余集。

證明：選擇式(18)所示的Lyapunov函數(shù)

(18)

將公式(18)兩邊同時對時間求導(dǎo)可得：

利用文獻(xiàn)[18]中的方法對方程進(jìn)行放縮，可得：

將控制器中自適應(yīng)律(13)、(14)帶入并整理可得：

上述李雅普諾夫函數(shù)的微分不等式可整理為：

(19)

3 Matlab仿真驗證

選取由5個二連桿機(jī)械臂構(gòu)成的多移動機(jī)械臂系統(tǒng)，進(jìn)行Matlab仿真，驗證本研究所提出的主從同步控制律(9)～(15)的穩(wěn)定性和有效性。其中下標(biāo)1表示主動機(jī)械臂，其余為從動機(jī)械臂。

3.1 基本參數(shù)設(shè)定

機(jī)械臂動力學(xué)方程如下：

其中，模型不確定性為如下形式：

相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：

m0=50 kg，m1=4 kg，m2=3.5 kg，R=0.3 m，d=0.3 m，J0=1.417 kg·m2，

J1=0.03 kg·m2，J2=0.036 kg·m2，r=0.1 m，L1=0.5 m，L2=0.35 m。

主動移動機(jī)械臂期望軌跡如下：

xcd=0.2t,ycd=0.2t,

xEd=0.2t,yEd=0.1sin(2t)+0.2t+0.15。

各移動機(jī)械臂的初始狀態(tài)分別設(shè)置為：

反饋增益K及自適應(yīng)律相關(guān)參數(shù)γ0、γi等分別設(shè)置為：

拉普拉斯矩陣L、D以及所選擇的正定矩陣Q、常數(shù)δ分別設(shè)置為：

圖4 通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Communication topology structure

Q=10.267 9×diag(1,1,1,1,1,1,1,1),

δ=0.367 9。

選取如圖4中的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。其中，信息可以由主動移動機(jī)械臂1傳遞給從動移動機(jī)械臂2和4，但無法反向進(jìn)行傳遞。

3.2 Matlab仿真結(jié)果及分析

在上述研究基礎(chǔ)上對此多移動機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行Matlab仿真，仿真結(jié)果見圖5～14。

圖5 主動移動機(jī)械臂及從動移動機(jī)械臂2～5運(yùn)動軌跡Fig.5 Movement trajectories of leader mobile robot and follower mobile robots 2-5

通過仿真結(jié)果圖5可以看出，多移動機(jī)械臂系統(tǒng)在主從同步控制器(9)～(15)的控制作用下，主動機(jī)械臂可以對預(yù)定軌跡實現(xiàn)快速跟蹤；從動機(jī)械臂在初始狀態(tài)各不相同的情況下，也可以快速對主動機(jī)械臂移動軌跡進(jìn)行跟蹤，并且整個系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后未再產(chǎn)生較大波動。

圖6 各移動平臺質(zhì)心位置Fig.6 Mass center position of each mobile platform

圖7 各移動平臺方向角Fig.7 Direction angle of each mobile platform

由仿真結(jié)果圖6～7可以看出，在同步控制器(9)～(15)的控制下，各平臺移動軌跡及前進(jìn)方向角均保持相同，即能夠準(zhǔn)確使平臺間誤差收斂到零，從而為多移動機(jī)械臂系統(tǒng)實現(xiàn)同步運(yùn)動提供了保證。

圖8 關(guān)節(jié)1位置變化曲線Fig.8 Position change curve of joint 1

圖9 關(guān)節(jié)2位置變化曲線Fig.9 Position change curve of joint 2

通過仿真結(jié)果圖8和圖9可以看出，在7 s左右時，主動移動機(jī)械臂和從動移動機(jī)械臂中關(guān)節(jié)1的位置誤差基本漸近收斂到零；在4 s左右時，主、從移動機(jī)械臂關(guān)節(jié)2的位置誤差基本漸近收斂到零，且穩(wěn)定后均不再發(fā)生較大波動。在4～7 s之間時，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2同步誤差共同漸近收斂到零。由仿真結(jié)果圖10可以看出，在4 s左右時，各移動平臺方向的角速度誤差能夠收斂到零。由圖11和圖12可知，分別在10 s和8 s左右時，各移動機(jī)械臂關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2處的速度誤差均能分別漸近收斂到零。

綜合分析仿真結(jié)果圖11～12可知：通過適當(dāng)?shù)剡x擇控制器參數(shù)，在本研究所設(shè)計的主從同步控制算法(9)～(15)的控制作用下，在初始階段即使存在一定偏差，同理論分析一樣，從動移動機(jī)械臂的平臺方向角速度及二連桿機(jī)械臂兩個關(guān)節(jié)的運(yùn)動速度均能迅速、高精度地同步于主動機(jī)械臂，即主、從機(jī)械臂之間的速度誤差能夠收斂到零，且在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后不再發(fā)生較大波動。

通過仿真結(jié)果圖13～14可知，各移動機(jī)械臂的輸入力矩均有界。

綜合分析仿真結(jié)果5～14，可以得到如下結(jié)論：在考慮各移動機(jī)械臂中移動平臺和二連桿機(jī)械臂之間交互影響條件下，通過合理設(shè)計控制器參數(shù)，利用所提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主從同步控制算法(9)～(15)，可以抵消主動移動機(jī)械臂輸入控制力矩的影響，估計從動移動機(jī)械臂的建模誤差并進(jìn)行補(bǔ)償，使各移動機(jī)械臂之間同步誤差漸近收斂到零，保證多移動機(jī)械臂實現(xiàn)同步運(yùn)動。

圖10 各移動平臺方向角速度變化曲線Fig.10 Angular velocity curve of each mobile platform

圖11 關(guān)節(jié)1速度變化曲線Fig.11 Velocity change curve of joint 1

圖12 關(guān)節(jié)2速度變化曲線 Fig.12 Velocity change curve of joint 2

圖13 主從機(jī)械臂二連桿關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩Fig.13 Joint driving torque of the two connectingrod of the leader and follower manipulators

圖14 主從移動機(jī)械臂移動平臺左右輪驅(qū)動力矩Fig.14 Left and right wheel driving torques of the platforms of the leader and follower manipulators

4 結(jié)論

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者通信拓?fù)涞姆椒ǎ槍Χ嘁苿訖C(jī)械臂同步控制系統(tǒng)，設(shè)計了一種新的分布式自適應(yīng)主從同步控制算法。主要結(jié)論有：

1) 主動移動機(jī)械臂和從動移動機(jī)械臂之間的同步誤差通過領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者通信拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來進(jìn)行了定義；

2) 利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對從動移動機(jī)械臂的模型誤差等系統(tǒng)不確定性進(jìn)行了逼近和補(bǔ)償，并對主動移動機(jī)械臂的控制力矩進(jìn)行了估計；

3) 所設(shè)計的同步控制器可以使同步誤差漸進(jìn)收斂到零，在存在較大初始誤差的情況下也能夠?qū)崿F(xiàn)多移動機(jī)械臂的同步控制。