1. 北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081 2. 中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院 空間微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710000 3. 北京經(jīng)緯恒潤(rùn)科技有限公司，北京 100191

多個(gè)載波通過非線性無源器件傳輸時(shí)，輸出端會(huì)產(chǎn)生無源互調(diào)干擾分量，落入接收機(jī)通帶內(nèi)時(shí)就會(huì)形成干擾[1]。一般情況下，輸出信號(hào)中的各次諧波和偶數(shù)階次的無源互調(diào)分量都會(huì)落在接收頻帶外，而奇數(shù)階次的分量可能會(huì)落入帶內(nèi)[2]。圖1為雙載波信號(hào)的無源互調(diào)干擾頻譜示意。另外，無源互調(diào)干擾分量的幅值隨階次的增高而減小，所以奇數(shù)階次中的3階和5階無源互調(diào)分量是形成干擾的主要原因。衛(wèi)星通信中，由于系統(tǒng)具有高發(fā)射功率和極佳的接收靈敏度，這種干擾會(huì)更加嚴(yán)重[3-4]。因此，無源互調(diào)干擾是衛(wèi)星通信系統(tǒng)必須考慮的問題之一。

圖1 雙載波信號(hào)的無源互調(diào)干擾頻譜示意Fig.1 Spectrum of passive intermodulation interference caused by dual carrier signals

目前，已有很多學(xué)者對(duì)無源互調(diào)干擾問題進(jìn)行了相應(yīng)研究。Sea[5]提出了利用冪級(jí)數(shù)模型表征無源器件的非線性特性的方法。Eng和Yue[6]對(duì)不同階數(shù)的無源互調(diào)分量進(jìn)行了研究。Heiter[7]介紹了描述非線性器件和系統(tǒng)的簡(jiǎn)單模型，對(duì)冪級(jí)數(shù)法的功能進(jìn)行了拓展。Pedro和Carvalho[8]提出了使用雙曲正切函數(shù)來表征非線性器件的非線性特性。張世全[9]提出使用冪級(jí)數(shù)模型和傅里葉變換的方法，推導(dǎo)了無源互調(diào)干擾信號(hào)的表達(dá)式。Almudhafar等[10]研究了無源互調(diào)干擾信號(hào)對(duì)通信接收機(jī)的影響，并與白噪聲存在的情況下進(jìn)行比較。葉鳴等[11]從測(cè)試和頻譜算法等方面對(duì)無源互調(diào)干擾問題進(jìn)行了綜述分析。

由于無源互調(diào)干擾問題具有一定的復(fù)雜性，直接分析無源互調(diào)分量幾乎是不可能的，應(yīng)當(dāng)建立相應(yīng)模型進(jìn)行分析[12]。已有研究中多使用冪級(jí)數(shù)模型擬合無源互調(diào)干擾，但是冪級(jí)數(shù)模型無法體現(xiàn)非線性行為的記憶性且擬合精度較低，因此需要建立更加合適的行為模型。

1 無源互調(diào)干擾模型推導(dǎo)

1.1 基于雙指數(shù)函數(shù)的無源互調(diào)干擾模型推導(dǎo)

雙指數(shù)函數(shù)是兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的組合，可以很好地?cái)M合一些非線性曲線。與冪級(jí)數(shù)模型相比，雙指數(shù)函數(shù)模型形式相對(duì)復(fù)雜，但擬合精度較高。冪級(jí)數(shù)運(yùn)算復(fù)雜度為O(nk) ，而雙指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算復(fù)雜度為O(en) ，因此在運(yùn)算階數(shù)較高時(shí)，雙指數(shù)函數(shù)模型具有比冪級(jí)數(shù)模型更優(yōu)越的性能。非線性系統(tǒng)的雙指數(shù)函數(shù)表達(dá)式為[13]：

(1)

式中：y(t)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；x(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)；V0為非線性擬合系數(shù)；b1和b2為線性擬合系數(shù)。

這里將雙載波信號(hào)sdown(t)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào),

sdown(t)=s1(t)+s2(t)(2)

式中：s1(t)和s2(t)為輸入的兩個(gè)載波信號(hào)。

代入雙指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中，并使用如下索寧擴(kuò)展式對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化[14]：

(3)

式中：Ik(z)為第一類修正貝塞爾函數(shù)中的第k個(gè)，則系統(tǒng)的輸出信號(hào)形式為：

1.2 基于Volterra級(jí)數(shù)的無源互調(diào)干擾模型推導(dǎo)

Volterra級(jí)數(shù)模型是有記憶性的一般非線性模型。與冪級(jí)數(shù)模型相比，Volterra級(jí)數(shù)模型形式較為復(fù)雜，但可以很好地體現(xiàn)非線性行為的記憶性。冪級(jí)數(shù)運(yùn)算復(fù)雜度為O(nk) ，而雙指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算復(fù)雜度為O(n) 。因此在運(yùn)算階數(shù)較高時(shí)，Volterra級(jí)數(shù)模型具有比冪級(jí)數(shù)模型更優(yōu)越的性能。Volterra級(jí)數(shù)模型的具體形式如下[15]：

式中：y(t)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；x(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)；τ為時(shí)延。將其擴(kuò)展為無窮項(xiàng)的形式

y(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t)+…+yn(t)+…

其中：

x(t-τ2)dτ1dτ2(9)

...

x(t-τ2)…x(t-τn)dτ1dτ2…dτn(10)

則y(t)可表示為：

x(t-τ2)…x(t-τn)dτ1dτ2…dτn(11)

式中：hn(τ1,…,τn)為Volterra級(jí)數(shù)的核函數(shù)。Volterra級(jí)數(shù)模型的原理如圖2所示。

圖2 Volterra級(jí)數(shù)模型原理Fig.2 Schematic diagram of the Volterra series model

2 雙載波無源互調(diào)干擾信號(hào)分析

本文采用QPSK調(diào)制的雙載波信號(hào)作為輸入信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析。與目前已有研究中多采用的BPSK調(diào)制方式相比，QPSK調(diào)制具有壓縮信號(hào)的頻帶、提高信道的利用率和增加傳輸效率等特點(diǎn)。

QPSK信號(hào)表示為：

sk(t)=Acos(ωct+θk)=Acos(2πfct+θk)(12)

式中：A為載波振幅；ωc為載波角頻率；fc為載波頻率；θk為載波相位，可以取4個(gè)值，

θk=2π(k-1)/M,k=1,2,3,4,M=4(13)

假設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)sdown(t)由兩個(gè)QPSK調(diào)制的信號(hào)s1(t)和s2(t)組成：

sdown(t)=s1(t)+s2(t)(14)

s1(t)和s2(t)的表達(dá)式分別為：

s1(t)=hs1·Is1(t)cos[2πf1t+θ1(t)]-

Qs1(t)sin[2πf1t+θ1(t)](15)

s2(t)=hs2·Is2(t)cos[2πf2t+θ2(t)]-

Qs2(t)sin[2πf2t+θ2(t)](16)

式中：hs1和hs2為成形濾波器；兩個(gè)載波的頻率分別為f1和f2；Is1(t)、Qs1(t)、Is2(t)和Qs2(t)分別為兩路QPSK調(diào)制信號(hào)的基帶信號(hào)；θ1(t)和θ2(t)分別為兩路信號(hào)載波的相位。

2.1 雙指數(shù)函數(shù)模型的雙載波QPSK調(diào)制

對(duì)式(5)進(jìn)行化簡(jiǎn)，將連乘符號(hào)進(jìn)行展開，則系統(tǒng)輸出信號(hào)可以表達(dá)為：

(17)

當(dāng)k=2時(shí)將求和符號(hào)進(jìn)行展開，可得在頻率2f1-f2和2f1-f2處的三階無源互調(diào)干擾分量的表達(dá)式

當(dāng)k=3時(shí)將求和符號(hào)進(jìn)行展開，可得在頻率3f1-2f2和3f2-2f1處的五階無源互調(diào)干擾分量的表達(dá)式

假設(shè)非線性系統(tǒng)電壓和電流具有奇對(duì)稱的特性，則設(shè)b1=-b2=b=1/a，則3階無源互調(diào)干擾分量的表達(dá)式可簡(jiǎn)化為

yin3(t)=2V0I2[as1(t)]·I1[as2(t)](20)

式中：s1(t)和s2(t)為通過窄帶濾波器后的QPSK調(diào)制信號(hào)；I1(z)和I2(z)分別表示第一類修正貝塞爾(Bessel)函數(shù)中的第1個(gè)和第2個(gè)。

將s1(t)和s2(t)入式(20)中可得

yin3(t)=2V0I2ahs1·Is1(t)cos[2πf1t+

θ1(t)]-Qs1(t)sin[2πf1t+θ1(t)]·

I1ahs2·Is2(t)cos[2πf2t+θ2(t)]-

Qs2(t)sin[2πf2t+θ2(t)]

(21)

對(duì)式(21)進(jìn)行仿真，非線性系統(tǒng)為雙指數(shù)函數(shù)模型，輸入信號(hào)為QPSK調(diào)制的雙載波信號(hào)，中心頻率是f1=22 MHz和f2=24 MHz，碼元速率是1.6 Mbit/s。根據(jù)理論分析，將在輸出信號(hào)中產(chǎn)生新的頻率分量f=2f1-f2和f=2f2-f1，即3階無源互調(diào)干擾分量。使用MATLAB進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示?？梢杂^察到在仿真圖中，理論值的頻點(diǎn)f=22 MHz, 24 MHz, 20 MHz,26 MHz處都有相應(yīng)峰值出現(xiàn)。通過對(duì)仿真值與理論值進(jìn)行比較，可以得到理論值與仿真值一致，且輸入信號(hào)中心頻率處的幅度值與無源互調(diào)頻率分量處的幅度值比例近似為9:3，其余頻率分量處的無源互調(diào)干擾分量落到接收頻率之外。

圖3 QPSK調(diào)制下的雙指數(shù)函數(shù)模型的3階無源互調(diào)分量頻譜Fig.3 Third-order passive intermodulation component spectrum of double exponential function model under QPSK modulation

同理可得，5階無源互調(diào)干擾分量的表達(dá)式可簡(jiǎn)化為

yin5(t)=2V0I3[as1(t)]I2[as2(t)] (22)

式中：s1(t)和s2(t)為通過窄帶濾波器后的QPSK調(diào)制信號(hào)；I2(z)和I3(z)分別表示第一類修正貝塞爾函數(shù)中的第2個(gè)和第3個(gè)。

同理，將s2(t)和s3(t)代入式(4)，可得

yin5(t)=2V0I3ahs1·Is1(t)cos·

[2πf1t+θ1(t)]-Qs1(t)sin·

[2πf1t+θ1(t)]·I2ahs2·

Is2(t)cos·[2πf2t+θ2(t)]-

Qs2(t)sin[2πf2t+θ2(t)]

(23)

對(duì)式(23)進(jìn)行仿真，根據(jù)理論分析，將在輸出信號(hào)中產(chǎn)生新的頻率分量f=3f1-2f2和f=3f2-2f1，即5階無源互調(diào)干擾分量。使用MATLAB進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示?？梢杂^察到在仿真圖中，理論值的頻點(diǎn)f=22 MHz,24 MHz, 18 MHz,28 MHz處都有相應(yīng)峰值出現(xiàn)，通過對(duì)仿真值與理論值進(jìn)行比較，可以得到理論值與仿真值一致，且輸入信號(hào)中心頻率處的幅度值與無源互調(diào)頻率分量處的幅度值比例近似為25:5，其余頻率分量處的無源互調(diào)干擾分量會(huì)落到接收頻率之外。

圖4 QPSK調(diào)制下的雙指數(shù)函數(shù)模型的五階無源互調(diào)分量頻譜Fig.4 Fifth-order passive intermodulation component spectrum of double exponential function model under QPSK modulation

2.2 Volterra級(jí)數(shù)模型的雙載波QPSK調(diào)制

隨著非線性階數(shù)和記憶深度的增加，Volterra級(jí)數(shù)模型的系數(shù)會(huì)急劇增加，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度大大增長(zhǎng)。記憶多項(xiàng)式模型通過只保留Volterra級(jí)數(shù)的對(duì)角核，在復(fù)雜性和模型性能之間實(shí)現(xiàn)了很好的折衷[16]。

連續(xù)的記憶多項(xiàng)式模型為[17]:

(24)

對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，將式(24)中的積分變?yōu)榍蠛?，可以表示為[16]:

(25)

式中：x(n)為系統(tǒng)輸入信號(hào)；y(n)為系統(tǒng)輸出信號(hào)；K和M分別為記憶多項(xiàng)式模型的階數(shù)和記憶深度；hkm為記憶多項(xiàng)式模型的系數(shù)。

根據(jù)已有研究[18]中描述的方法，在系統(tǒng)輸入信號(hào)為雙載波QPSK調(diào)制信號(hào)的背景下，可以得到使用的模型記憶深度M=3時(shí)有最好的擬合效果。則輸入信號(hào)為雙載波信號(hào)的情況下，3階無源互調(diào)干擾分量表達(dá)式為:

對(duì)式(26)進(jìn)行仿真，非線性系統(tǒng)為記憶多項(xiàng)式模型，輸入信號(hào)為QPSK調(diào)制的雙載波信號(hào)，中心頻率為是f1=22 MHz和f2=24 MHz，碼元速率為1.6 Mbit/s。根據(jù)理論分析，將在輸出信號(hào)中產(chǎn)生新的頻率分量f=2f1-f2和f=2f2-f1，即無源互調(diào)干擾分量。使用MATLAB進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5所示?？梢杂^察到在仿真圖中，理論值的頻點(diǎn)f=22 MHz, 24 MHz, 20 MHz,26 MHz處都有相應(yīng)峰值出現(xiàn)，通過對(duì)仿真值與理論值進(jìn)行比較，可以得到理論值與仿真值一致，且輸入信號(hào)中心頻率處的幅度值與無源互調(diào)頻率分量處的幅度值比例近似為9∶3，其余頻率分量處的無源互調(diào)干擾分量會(huì)落到接收頻率之外。

圖5 QPSK調(diào)制下的Volterra級(jí)數(shù)模型的三階無源互調(diào)分量頻譜Fig.5 Third-order passive intermodulation component spectrum of Volterra series model under QPSK modulation

同理可得5階無源互調(diào)干擾分量表達(dá)式為：

sdown(n-m) (27)

對(duì)式(27)進(jìn)行仿真，根據(jù)理論分析，將在輸出信號(hào)中產(chǎn)生新的頻率分量f=3f1-2f2和f=3f2-2f1，即無源互調(diào)干擾分量。使用MATLAB進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖6所示。可以觀察到在仿真圖中，理論值的頻點(diǎn)f=22 MHz, 24 MHz, 18 MHz,28 MHz處都有相應(yīng)峰值出現(xiàn)，通過對(duì)仿真值與理論值進(jìn)行比較，可以得到理論值與仿真值一致，且輸入信號(hào)中心頻率處的幅度值與無源互調(diào)頻率分量處的幅度值比例近似為25:5，其余頻率分量處的無源互調(diào)干擾分量會(huì)落到接收頻率之外。

圖6 QPSK調(diào)制下的Volterra級(jí)數(shù)模型的五階無源互調(diào)分量頻譜Fig.6 Fifth-order passive intermodulation component spectrum of Volterra series model under QPSK modulation

從上述仿真結(jié)果可以觀察到，峰值出現(xiàn)的頻點(diǎn)位置與無源互調(diào)干擾分量理論頻率相一致：3階無源互調(diào)分量頻譜圖在f=2f1-f2和f=2f2-f1處都出現(xiàn)了峰值，5階無源互調(diào)分量頻譜圖在f=3f1-2f2和f=3f2-2f1處都出現(xiàn)了峰值。

3 結(jié)束語

本文采用雙指數(shù)函數(shù)模型和Volterra級(jí)數(shù)模型擬合無源互調(diào)干擾，推導(dǎo)了時(shí)域表達(dá)式并進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果表明，理論值頻點(diǎn)處都出現(xiàn)了相應(yīng)峰值，理論值與仿真值一致，且幅度值與輸入信號(hào)中心頻率處的幅度值的比例符合理論分析。與已有研究中使用的冪級(jí)數(shù)模型相比，本文建立的模型形式較為復(fù)雜，但是運(yùn)算復(fù)雜度較低、擬合精度較高且可以體現(xiàn)非線性行為的記憶性。

本文僅對(duì)模型的理論和仿真結(jié)果進(jìn)行了分析和研究，本文得到的結(jié)論還需通過實(shí)際測(cè)量進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。

本文內(nèi)容豐富了對(duì)無源互調(diào)干擾行為建模的分析和研究，具有一定的實(shí)用性，可以為通信衛(wèi)星的工程應(yīng)用提供幫助。