劉道軍，程 冬

安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部,安徽合肥,230088

1 相關(guān)研究與問(wèn)題提出

物理學(xué)中固體在外力作用下發(fā)生形狀的變化稱為形變。在胡克(R.Hooke)定律范圍內(nèi)的形變都是可恢復(fù)的，稱為彈性形變。一般地，在工程技術(shù)上，反映材料從不同角度抵抗形變能力的物理參數(shù)通常有楊氏模量、剪切模量和體變模量。其中楊氏模量是反映材料抗拉伸形變的物理量[1-4]。楊氏模量的測(cè)量方法主要分為兩大類：拉伸法和彎曲法。無(wú)論是拉伸法還是彎曲法，其關(guān)鍵所在都是要精確測(cè)量出材料在外力作用時(shí)，微小的形變量。目前，拉伸法多數(shù)借助光杠桿放大法測(cè)量形變[2-6]。但拉伸時(shí)物體通常存在弛豫過(guò)程，不能真實(shí)地反映物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化，而且實(shí)驗(yàn)中施力大小也不易把握。過(guò)小時(shí)不足以消除金屬絲的彎曲，過(guò)大則有可能超出物體彈性限度。彎曲法多數(shù)利用讀數(shù)顯微鏡測(cè)量形變，但讀數(shù)顯微鏡是直接讀取形變的，而且顯微鏡測(cè)量時(shí)容易產(chǎn)生回程誤差[7-12]，所以精度要低一些。若將拉伸法的光杠桿測(cè)量移植到彎曲法中就無(wú)須拉伸和用讀數(shù)顯微鏡讀取數(shù)據(jù)，這樣既能避免材料拉伸時(shí)的一系列不利因素，還能消除顯微鏡讀數(shù)時(shí)的一些誤差隱患，具有揚(yáng)長(zhǎng)避短的效果。

2 光杠桿放大原理

放大法思想在物理實(shí)驗(yàn)中有著極廣泛的應(yīng)用。當(dāng)實(shí)驗(yàn)中遇到需要對(duì)極微小的物理量變化進(jìn)行精確測(cè)量時(shí)，通常采用放大法對(duì)待測(cè)量放大適當(dāng)倍數(shù)，再進(jìn)行精確測(cè)量，最后再按照放大原理的逆路徑通過(guò)適當(dāng)計(jì)算還原待測(cè)物理量[13-16]。常見的放大法有光杠桿放大法和薄膜干涉放大法等，其中光杠桿放大法是利用幾何光學(xué)原理，故該方法有著原理通俗易懂，器材較少，平臺(tái)易搭建等優(yōu)點(diǎn)。如圖1所示，光杠桿是一個(gè)有著三足的小平面鏡。

圖1 光杠桿示意圖

其中l(wèi)尺寸可調(diào)節(jié)。實(shí)驗(yàn)中將光杠桿的兩前腳固定，后腳置于待測(cè)物體上端。平面鏡呈豎直狀態(tài)，如圖2所示。在平面鏡的正對(duì)面較遠(yuǎn)距離D(D?l)處放置一望遠(yuǎn)鏡，望遠(yuǎn)鏡側(cè)面固定一標(biāo)尺。通過(guò)調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的位置和焦距，可以在對(duì)面的平面鏡里觀測(cè)到標(biāo)尺的反射像，并且可以讀數(shù)。

圖2 光杠桿放大原理圖

如果待測(cè)物體有略微形變(如下移)，則會(huì)使光杠桿后腳以前腳為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一微小角度θ，鏡面及其法線隨之旋轉(zhuǎn)相同角度θ。根據(jù)幾何光學(xué)原理不難證明形變后的入射光線較之前旋轉(zhuǎn)了2θ[8-10]。設(shè)形變?yōu)棣?，結(jié)合裝置參數(shù)及讀數(shù)且考慮θ很小，則有：

(1)

(2)

聯(lián)立(1)、(2)有：

(3)

3 楊氏模量測(cè)量

3.1 楊氏模量

如圖3所示的是一根長(zhǎng)為x的直棒，其截面積為s。若在其一端施加一作用力F后，直棒有了Δx的形變，則比值Δx/x稱為直棒的應(yīng)變，比值F/s稱為直棒的應(yīng)力。據(jù)胡克定律可知，在彈性限度內(nèi)物體的應(yīng)變?chǔ)?Δx/x與應(yīng)力F/s成正比關(guān)系[15-18]，即

(4)

式中比例系數(shù)Y即為物理學(xué)中定義的楊氏模量，它只決定于物體的材料，與物體的形狀、尺寸及受力大小無(wú)關(guān)。

圖3 拉伸形變示意圖

3.2 彎曲法楊氏模量測(cè)量

圖4 橫梁彎曲示意圖

(5)

則據(jù)3.1所述內(nèi)容應(yīng)變?chǔ)艦?

(6)

將(6)式代入(4)式得:

(7)

(8)

對(duì)整個(gè)橫斷面的轉(zhuǎn)矩即為對(duì)(8)式積分:

(9)

(10)

根據(jù)高數(shù)相關(guān)知識(shí)可知橫梁上各點(diǎn)曲率k可表示為：

(11)

其中y(x)為橫梁彎曲曲線方程。因橫梁彎曲微小，故y′(x)=0，則(11)式可化簡(jiǎn)為:

(12)

將(12)式代入(10)式可得:

(13)

根據(jù)邊界條件y(0)=0；y′(0)=0，解微分方程(13)得

(14)

(15)

實(shí)驗(yàn)中只要對(duì)下降的距離δ精確測(cè)量，再結(jié)合其他固定參數(shù)即可求出物體的楊氏模量Y。

3.3 基于光杠桿的彎曲法楊氏模量測(cè)量

根據(jù)3.1內(nèi)容所述，測(cè)量物體楊氏模量Y必須對(duì)橫梁下降距離δ做精確的測(cè)量。但δ很小，所以設(shè)計(jì)了光杠桿放大法對(duì)δ進(jìn)行精確測(cè)量。

如圖5所示裝置是將光杠桿前兩腳放置于固定臺(tái)面，后腳置于橫梁鉤碼之上，然后在光杠桿平面鏡的正前方較遠(yuǎn)處(一般2米以上)放置帶有標(biāo)尺的望遠(yuǎn)鏡，調(diào)整望遠(yuǎn)鏡直至看清平面鏡里標(biāo)尺的反射像，并讀取刻度n0。如圖2所示。然后輕輕加掛砝碼，此時(shí)會(huì)看見望遠(yuǎn)鏡里標(biāo)尺刻度會(huì)變化至n1，然后代入相關(guān)固定參數(shù)得出(3)式，最后將(3)式代入(15)式得出

(16)

圖5 光杠桿法楊氏模量測(cè)量裝置圖

(16)式即是基于光杠桿的彎曲法測(cè)量楊氏模量的實(shí)驗(yàn)原理公式。實(shí)驗(yàn)中還可以多次加掛砝碼并依次記錄望遠(yuǎn)鏡刻度值，然后采用如逐差法等數(shù)據(jù)處理方法來(lái)提高測(cè)量準(zhǔn)確度[17-21 ]。

上述實(shí)驗(yàn)裝置是在讀數(shù)顯微鏡的平臺(tái)基礎(chǔ)上改建而成，利用了光杠桿的幾何光學(xué)原理將微小的待測(cè)量放大后測(cè)量，相比較于薄膜干涉法等其他放大法而言，它的原理簡(jiǎn)單，器材較少，操作容易，容易推廣。同時(shí)該平臺(tái)有效規(guī)避了拉伸法及彎曲法中讀數(shù)顯微鏡的不足[9-11]。

4 總 結(jié)

文中結(jié)合楊氏模量測(cè)量的兩種常見的方法，對(duì)兩種測(cè)量方式的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析對(duì)比，針對(duì)他們的優(yōu)勢(shì)與不足設(shè)計(jì)了一種新型的楊氏模量測(cè)量裝置，該裝置是基于光杠桿的彎曲法楊氏模量測(cè)量，是將光杠桿放大法與彎曲法結(jié)合起來(lái)的一種取長(zhǎng)補(bǔ)短的測(cè)量方法。該方法巧妙地利用了幾何光路圖將待測(cè)物理量擴(kuò)大，使測(cè)量變得更加準(zhǔn)確，同時(shí)避免了讀數(shù)顯微鏡直接讀取δ時(shí)的視覺誤差，及拉伸法中可能出現(xiàn)的待測(cè)鋼絲與裝置的摩擦等不利因素，再次提高了測(cè)量精確度；在實(shí)驗(yàn)原理設(shè)計(jì)過(guò)程中采用了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而化解了物理過(guò)程中彎曲角度與下降距離之間的抽象且晦澀的物理關(guān)系，便于對(duì)實(shí)驗(yàn)原理的理解。