☉江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 陳 瑜

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，對于絕大多數(shù)學(xué)生而言，函數(shù)的學(xué)習(xí)是具有較大難度的，再加上函數(shù)部分涉及的知識點較多，因此有部分學(xué)生會存在畏懼心理.在考試中，函數(shù)試題變式繁多，涉及許多函數(shù)的性質(zhì)及變化，在很多的壓軸題中，函數(shù)方法或思想是常見的考點，如果學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不扎實，對函數(shù)方法掌握得不到位，那么在分析、解答這些問題時就會遇到困難，甚至是毫無思路.借助函數(shù)圖像，學(xué)生能夠理解函數(shù)的各種性質(zhì)以及變化規(guī)律，是輔助學(xué)生學(xué)習(xí)、答題的工具.

一、函數(shù)圖像的教學(xué)意義

（一）理解函數(shù)概念

函數(shù)的定義為：對于定義域中任何一個自變量，值域中都有唯一確定的值與之對應(yīng).學(xué)生對于這個概念缺乏直觀的認知，理解起來比較困難.借助函數(shù)圖像，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，如果x在定義域內(nèi)任意取一個值，表示的是x=m這一條直線與函數(shù)值域曲線至多有一個交點，如果出現(xiàn)了2個甚至多個交點，那么就不符合函數(shù)的定義.

（二）描述函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)圖像的變化規(guī)律、周期性、對稱性可以直觀地反映函數(shù)的單調(diào)性、周期性等性質(zhì)，學(xué)生通過觀察圖像，可以更加直觀地感受到函數(shù)的這些性質(zhì).在教材中，函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)也都是借助函數(shù)圖像進行的.

（三）輔助解題

在解決函數(shù)問題時，圖像是一個很好的輔助手段，可以將函數(shù)的變化特征、性質(zhì)等直觀地反映出來，在填空題的解決過程中，借助函數(shù)圖像可以省去復(fù)雜的推算過程，既化繁為簡，提高了正確率，又節(jié)省了答題時間.

二、函數(shù)圖像解題技巧

（一）巧解小題，節(jié)省時間

在考試中，時間是有限的，數(shù)學(xué)學(xué)科題目多，難度大，因此在日常的訓(xùn)練中教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)常見題型的最優(yōu)解答方法，通過簡便的解題方法來快速、準確地解決問題，尤其是最前面的填空題，為難度大、分值高、解題步驟要求高的解答題爭取更多的時間.

在解答填空題時，我們經(jīng)常會遇到比較復(fù)雜的題目.這時，我們就需要選用最為簡便的解答方式，因為填空題不要求書寫過程，答案正確就能拿分，所以要避免在這一題型中花費大量的時間，因小失大.具體來說，特殊值法、圖像法都是可以簡化解答過程的方法，需要我們轉(zhuǎn)換思維，將題目的有用信息提煉出來，盡可能地結(jié)合函數(shù)圖像快速獲解.

例1曲線與直線l：y=k（x-2）+4有2個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍為______.

解答：由圖1可知，當(dāng)直線l在AM和AN之間時，和半圓存在兩個不同的交點.不難求解，直線AM的斜率此時直線與半圓相切，有且僅有1個交點，是臨界狀態(tài)；直線AN的斜率為因此，如果直線l和半圓有兩個不同的交點，那么直線l的斜率的取值范圍為］，即k的取值范圍為

分析：這是一道常見的函數(shù)問題，對于這類題，從代數(shù)角度直接運算是很困難的，在時間有限的考試中幾乎不可能準確求解.因此，我們就需要結(jié)合函數(shù)圖像進行分析與解答.顯然，曲線y的形狀為一個半圓，直線l：y=k（x-2）+4的解析式不確定，但是過一固定點（2，4）.通過以上分析，我們就可以大致繪制出題干信息中所描述的圖形關(guān)系，如圖1所示.

圖1

（二）繪制圖像，分類討論

在解決一些函數(shù)問題時，從題干信息我們并不能確定解題思路，需要深入分析.比如，在判斷函數(shù)圖像時，對于給定的函數(shù)關(guān)系式，我們不能確定唯一解，對于其他潛在的答案又不能直接否定，這時我們就需要借助函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來分類討論.

例2如果函k不為0）以及函數(shù)y=k（1-x）在同一個圖中，請繪制出符合條件的函數(shù)圖像.

圖3

分析：面對這樣的一種函數(shù)圖像問題，首先要做的不是去判斷圖像，而是去分析題干信息中的兩個函數(shù)解析式.y=k（1-x）=-kx+k，這是一個一次函數(shù)表達式，如果想要確定函數(shù)圖像就需要對k的取值情況進行討論.因為這個問題中兩個函數(shù)的k值是統(tǒng)一的，因此我們的解題思路就以該函數(shù)為主，以這一函數(shù)為輔，通過對前一個函數(shù)的圖像分析就可以確定這兩個函數(shù)圖像的整體狀態(tài)，不僅節(jié)約了時間，簡化了解答過程，而且提高了解答的正確率.

解答：對于函數(shù)y=-kx+k而言，如果k＞0，那么函數(shù)圖像必定經(jīng)過第一、第二、第四象限，令x=0，y=k＞0，則函數(shù)與y軸的正半軸相交.函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、第三象限；如果k＜0，那么函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、第三、第四象限，令x=0，y=k＜0，則函數(shù)與y軸的負半軸相交.函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、第四象限.根據(jù)以上分析，可以確定兩種情況符合題目要求，如圖2所示.

圖2

（三）數(shù)形結(jié)合，值域求解

在高中函數(shù)問題中，值域求解是常考題型，形式多樣，常與解析幾何、向量等考題共同出現(xiàn).如果從代數(shù)角度著手求解，那么計算量會很大，也很難求出正確結(jié)果.如果結(jié)合函數(shù)圖像，那么值域的求解就會簡便很多.

例3已知A，B為橢圓y2=1上的兩個動點，點E的坐標為（1，0），如果滿足EA與EB垂直，試求向量數(shù)量積的范圍.

分析：這道題表面上是解析幾何以及向量問題，但是設(shè)問為向量積的取值范圍問題，我們就需要對題目進行轉(zhuǎn)化，將其變成函數(shù)值域問題.

解答：假設(shè)點A的坐標為（a，b）.由題目已知條件可知，EA與EB垂直，那么向量又因為A點在橢圓上，滿足，其中a的取值范圍為［-2，2］，所以可知，問題就轉(zhuǎn)化成了求解關(guān)于a的二次函數(shù)在區(qū)間［-2，2］上的值域，不難求解出的取值

三、結(jié)語

函數(shù)圖像的應(yīng)用很廣泛，除了本文所述之外，在求解方程近似解、確定函數(shù)值域等方面也有重要的應(yīng)用.借助函數(shù)圖像解決函數(shù)問題的實質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合的思想方法.要想在考試中能夠熟練應(yīng)用這種方法，教師就需要在初等函數(shù)的教學(xué)過程中訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，歸納總結(jié)出常見函數(shù)圖像問題的解題思路，讓學(xué)生在遇到這類考題時能從容應(yīng)對.