何晉丞，陳國(guó)平,何 歡

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量等因素，在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，在跨越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)這種振動(dòng)尤為明顯。其中一部分振動(dòng)會(huì)通過軸和軸承傳遞到支承上，從而引發(fā)整個(gè)裝置結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。過度振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致各種問題。低頻的振動(dòng)會(huì)造成結(jié)構(gòu)疲勞損傷，干擾儀器設(shè)備的正常使用。高頻的振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生噪聲，從而影響使用者的身心健康。所以抑制軸承和支承之間的振動(dòng)，開展結(jié)構(gòu)的減振降噪研究，在工程實(shí)踐中有著重要的研究?jī)r(jià)值。

20世紀(jì)，研究人員發(fā)現(xiàn)利用壓電材料的正壓電效應(yīng)可以將振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，最終被電阻等外接電路耗散掉，從而對(duì)振動(dòng)實(shí)現(xiàn)有效的被動(dòng)控制。該技術(shù)被稱為壓電分流阻尼技術(shù)[1]。Forward[2]最先提出利用壓電片外接分流電路可以實(shí)現(xiàn)對(duì)金屬梁振動(dòng)的被動(dòng)控制。Hagood等[3]對(duì)壓電分流阻尼系統(tǒng)中的分流電路進(jìn)行了定量分析。楊智春等[4]研究了壓電片對(duì)懸臂梁的減振作用。近些年來，研究人員對(duì)于壓電分流阻尼技術(shù)的研究主要集中在壓電片方面。但是，Ramsay等[5]發(fā)明壓電堆作動(dòng)器以來，將壓電堆疊用于壓電分流阻尼技術(shù)的研究才剛起步。Atzrodt等[6]將壓電堆疊沿著軸承的徑向方向安裝在支承座內(nèi)部，實(shí)現(xiàn)了對(duì)傳動(dòng)軸的隔振。但是這樣的結(jié)構(gòu)不利于批量生產(chǎn)和安裝，作用在壓電堆疊端面的切向力也會(huì)造成壓電堆疊的損壞。

本文設(shè)計(jì)了一款采用壓電堆疊的新型減振環(huán)裝置，實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承-支承系統(tǒng)的隔振，同時(shí)減少了作用在壓電堆疊上的切向力，提高了壓電堆疊的使用壽命。利用壓電分流阻尼技術(shù)，提出了新的壓電減振環(huán)被動(dòng)控制理論模型。并根據(jù)系統(tǒng)力傳遞函數(shù)優(yōu)化分流電路中電子元件的參數(shù)。

1 基于壓電分流阻尼技術(shù)的壓電堆疊復(fù)剛度分析

為了更準(zhǔn)確地表述壓電堆疊在外接電路下的剛度和阻尼特性，引入復(fù)彈簧模型模擬外接分流電路的壓電堆疊，則壓電堆疊的剛度可用復(fù)剛度形式表示[7]

(1)

式中:k為無損剛度，η為壓電疊堆在外電路作用下的損耗因子。

如圖1所示，壓電堆疊由壓電薄片堆疊在一起燒結(jié)而成，每一片壓電片之間用導(dǎo)電材料并聯(lián)在一起。典型的壓電片結(jié)構(gòu)如圖2所示。在壓電堆疊中的壓電片極化方向?yàn)?方向。當(dāng)受到3方向上的力時(shí)，產(chǎn)生3方向的應(yīng)變，在兩個(gè)電極上產(chǎn)生電壓。則單片的壓電片的壓電方程如下[8]

(2)

圖1 壓電堆疊示意圖Fig.1 Depiction of piezo stack 圖2 壓電片示意圖Fig.2 Depiction of piezo element variables

為了從壓電片的壓電方程中推導(dǎo)出壓電堆疊的本構(gòu)關(guān)系式，做了以下假設(shè)：① 每個(gè)壓電堆疊模型用線性壓電本構(gòu)方程建模；② 應(yīng)力、電荷、應(yīng)變和電場(chǎng)在壓電堆疊中均勻分布；③ 壓電片絕緣端板和電極之間的接觸關(guān)系在理論模型中視為完全固連，且忽略電荷泄漏和機(jī)械滯后損失。

根據(jù)以上假設(shè)，式(2)可變換為

(3)

式中：y為位移，I為電流，F(xiàn)為極化方向所受的力，V為端面兩端電壓，A為端面面積，l為極化方向的厚度，下標(biāo)el代表單個(gè)壓電片。由于參數(shù)方向都是沿3方向，式中省略表示方向的下標(biāo)。

一個(gè)壓電堆疊由n個(gè)單元連接組成，則壓電堆疊和壓電片單元有如下關(guān)系

F=Fel,y=nyel,V=Vel,I=nIel

(4)

式中：無下標(biāo)的符號(hào)表示壓電堆疊的參數(shù)，將式(4)代入到式(3)中得壓電堆疊的本構(gòu)關(guān)系

(5)

式中：ksc=A/nlsE是壓電堆疊的短路剛度，C=nAεT/l是壓電堆疊的兩端自由邊界條件下的電容。deff=n·d是壓電堆疊的有效壓電常數(shù)。所以式(5)可以轉(zhuǎn)化為

(6)

分流電路中從電極到外部負(fù)載的電流可以表示成

(7)

式中：zL是負(fù)載阻抗，IL是流向負(fù)載的電流。

連接外接電路時(shí)，壓電堆疊可以看作是一個(gè)電源和電容的組合。在研究壓電分流阻尼外接電路時(shí)，本文考慮了三種情況。一種是壓電堆疊串聯(lián)電阻，即RC電路。另一種是壓電堆疊串聯(lián)電阻和電感，即串聯(lián)RLC電路。第三種情況是外電路電阻和電感并聯(lián)，即并聯(lián)RLC電路[9]。三種情況的簡(jiǎn)圖如圖3所示。

(a)串聯(lián)RLC電路

(b) RC電路(c) 并聯(lián)RLC電路

在RC電路中，諧振電路負(fù)載為電阻，則ZL=R。代入式(6)和式(7)中，推導(dǎo)出連接RC電路的壓電堆疊復(fù)剛度

(8)

當(dāng)負(fù)載電阻R=0時(shí)，剛度取最小值，即短路剛度ksc。當(dāng)R=∞，剛度取最大值，即開路剛度koc

(9)

壓電堆疊的機(jī)電耦合系數(shù)可以表示為

(10)

將式(10)代入式(8)中得到RC電路情況下壓電堆疊的復(fù)剛度表達(dá)式

(11)

將式(11)轉(zhuǎn)化為式(1)的復(fù)剛度表達(dá)形式，其中損耗因子和無損剛度分別為

(12)

(13)

在串聯(lián)RLC電路情況中，壓電分流阻尼系統(tǒng)外部電路為串聯(lián)的電阻和電感，外部電路阻抗為

ZL=R+Lωj

(14)

代入到式(6)和式(7)中，推導(dǎo)出壓電堆疊在串聯(lián)RLC電路下的復(fù)剛度

(15)

將式(15)轉(zhuǎn)化為式(1)的形式，則無損剛度和損耗因子的表達(dá)式分別為

(16)

(17)

在并聯(lián)RLC電路情況中，壓電分流阻尼系統(tǒng)外部負(fù)載為并聯(lián)的電阻和電感，外部電路阻抗為

(18)

代入到式(6)和式(7)中推導(dǎo)出壓電堆疊在并聯(lián)RLC電路下的復(fù)剛度：

(19)

將式(19)轉(zhuǎn)化為式(1)的形式，則無損剛度和損耗因子的表達(dá)式分別為

一是要協(xié)調(diào)人民內(nèi)部矛盾。利益沖突是人民內(nèi)部矛盾的根源和基礎(chǔ)?；鶎泳瘎?wù)工作要依靠依法照章辦事，切實(shí)保障人民的根本利益。[7]基層警務(wù)機(jī)關(guān)要按照“發(fā)現(xiàn)得早、控制得住、處置得好”的總體要求，根據(jù)有關(guān)信息，及時(shí)了解當(dāng)前社會(huì)的核心問題并且及時(shí)處理。高度關(guān)注重點(diǎn)領(lǐng)域、重點(diǎn)行業(yè)、重點(diǎn)地區(qū)的動(dòng)向，健全和完善維護(hù)穩(wěn)定的預(yù)警工作機(jī)制。在政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，基層警務(wù)工作者應(yīng)該主動(dòng)配合有關(guān)部門進(jìn)行問題調(diào)查，根據(jù)調(diào)查情況進(jìn)行針對(duì)性的行動(dòng)，協(xié)調(diào)人民群眾通過正常渠道反映問題，指導(dǎo)群眾通過法律手段維護(hù)自身權(quán)益，通過源頭上即基層方面的控制來保證社會(huì)的穩(wěn)定。

k=

(20)

(21)

2 基于壓電分流阻尼技術(shù)的壓電減振環(huán)力學(xué)特性分析

2.1 壓電減振環(huán)設(shè)計(jì)

如圖4和圖5所示，減振環(huán)安裝在軸承和支承之間，可以產(chǎn)生一個(gè)阻尼作用，從而抑制從軸承傳遞到支承的振動(dòng)。減振環(huán)分為壓電堆疊、分流電路、保護(hù)框三大部分。保護(hù)框分為內(nèi)圈、外圈、內(nèi)外圈端蓋、碟型保護(hù)框，碟型保護(hù)框可以減少由于軸承轉(zhuǎn)動(dòng)施加在壓電堆疊端面的切向力。減振環(huán)采用8個(gè)壓電堆疊沿周向均勻分布，每個(gè)壓電堆疊的極化方向垂直于減振環(huán)的徑向平面。由圖6可知，當(dāng)內(nèi)圈和外圈變形時(shí)，內(nèi)外圈間距縮短，從而擠壓碟型保護(hù)框，使得在壓電堆疊極化方向上產(chǎn)生變形，從而擠壓壓電堆疊產(chǎn)生壓力。該設(shè)計(jì)便于加工、拆卸和安裝，能有效保護(hù)壓電堆疊。

圖4 減振環(huán)Fig.4 The vibration ring

圖5 減振環(huán)裝配圖Fig.5 Assembly drawing of the vibration ving

2.2 連接外接電路的減振環(huán)復(fù)剛度

在實(shí)際工程中，軸承所受振動(dòng)的方向是在徑向平面內(nèi)繞軸線隨時(shí)間不斷變化的。減振環(huán)中有8組碟型連接件和壓電堆疊的組合，沿著周向?qū)ΨQ分布。這樣可以對(duì)垂直于軸向的平面內(nèi)各個(gè)方向都能起到減振的效果。受到某一方向上的力時(shí)，其中一個(gè)壓電堆疊起主要作用。所以將系統(tǒng)化簡(jiǎn)為單自由度系統(tǒng)。并且推導(dǎo)分流電路的最優(yōu)參數(shù)時(shí)，只考慮一個(gè)壓電堆疊起作用的情況。

圖6 減振環(huán)剖視圖Fig.6 Depiction of sectional view of the vibration ring

利用壓電堆疊的復(fù)剛度推導(dǎo)減振環(huán)的復(fù)剛度時(shí)，還需要在推導(dǎo)過程中引入以下假設(shè)：① 外力為豎直方向過軸承中心的正弦激勵(lì)；② 減振環(huán)的振型和響應(yīng)的頻率和正弦外激勵(lì)一致；③ 減振環(huán)在軸向方向的變形都是一致的，這樣可以取其中一個(gè)平面來分析，建立二維的受力模型；④ 只考慮保護(hù)框在徑向的等效剛度，在壓電堆疊極化方向上的等效剛度與壓電堆疊的剛度相比可以忽略不計(jì)；⑤ 碟型保護(hù)框在建模時(shí)簡(jiǎn)化為剛性二力桿，在轉(zhuǎn)折處簡(jiǎn)化為鉸接，使用徑向的彈簧來替代碟型保護(hù)框的徑向剛度。

減振環(huán)的截面尺寸如圖7所示。

圖7 減振環(huán)截面尺寸Fig.7 Measurements of the vibration ring

由以上假設(shè)，得到減振環(huán)的二維簡(jiǎn)化模型。如圖8所示。

連接分流諧振電路的壓電堆疊在外力作用下提供的反作用力為

(22)

式中:y′是壓電堆疊受到壓力后的變形位移。

連接彈簧提供的作用力為

(23)

圖8 減振環(huán)二維簡(jiǎn)化模型Fig.8 Dynamic representation of the vibration ring

因?yàn)榧僭O(shè)減振環(huán)的軸向剛度與壓電堆疊剛度相比可以忽略不計(jì)，所以本文只考慮徑向剛度，簡(jiǎn)化為上下兩側(cè)的彈簧。該彈簧提供的作用力為

Fcage=kcage·x

(24)

式中:x為外力作用下內(nèi)環(huán)和外環(huán)間距的壓縮量。

所以根據(jù)以上假設(shè)和推導(dǎo)，可以求出外力表達(dá)式為

Fext=Fcage+Flinkcosφunload

(25)

式中:下標(biāo)unload指代碟型保護(hù)框未受外力的情況。

根據(jù)以上公式和截面尺寸間的關(guān)系，可以求出減振環(huán)的復(fù)剛度表達(dá)式

(26)

式中:G為φunload的函數(shù)

(27)

由于減振環(huán)的變形很小，所以x≈0，且φunload在0°～90°，則G可以近似為

(28)

kvr=kcage+kG

(29)

(30)

2.3 系統(tǒng)的力傳遞率

如圖9和圖10所示，假設(shè)受力和運(yùn)動(dòng)只在一個(gè)方向上，可以將系統(tǒng)看作一個(gè)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，軸承和減振環(huán)分別簡(jiǎn)化為復(fù)彈簧。

(a) 無減振環(huán)(b) 有減振環(huán)

圖9 軸承-支承系統(tǒng)示意圖Fig.9 Schematics of simple driveline

軸承的復(fù)剛度可表示為

(31)

減振環(huán)的復(fù)剛度可表示為

(32)

則彈簧系列組合的總剛度表達(dá)式為

(33)

對(duì)比有無減振器的情況，得到系統(tǒng)的力傳遞率表達(dá)式為

(34)

3 壓電分流諧振電路的電子元件參數(shù)優(yōu)化

減振環(huán)系統(tǒng)力傳遞率描述的是減振環(huán)和軸承以及支承系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下的力響應(yīng)。力傳遞率函數(shù)以外激勵(lì)的頻率為自變量，在固有頻率處達(dá)到峰值。當(dāng)軸承型號(hào)和減振環(huán)外形被確定后，系統(tǒng)中的剛度，質(zhì)量，壓電堆疊電容等參數(shù)，除了外接電路元器件的值是變量，其他都為不變量。所以使力傳遞函數(shù)的幅值最小的電路元件數(shù)值就是最優(yōu)解。

下面通過實(shí)際案例分析減振環(huán)的減振性能，并介紹外接電路的參數(shù)優(yōu)化過程。本節(jié)分析的系統(tǒng)采用6205型軸承，并設(shè)計(jì)了和軸承相匹配的減振環(huán)，系統(tǒng)中的參數(shù)如表1所示。

表1 減振環(huán)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of simple driveline system

分別將三種電路情況下的壓電堆疊復(fù)剛度代入式(26)中，得到三種電路情況下的減振環(huán)復(fù)剛度，代入式(34)，得到系統(tǒng)力傳遞率函數(shù)。在實(shí)際工程中，過大的電阻和電感會(huì)增加設(shè)備的體積和重量，所以最優(yōu)值的求解應(yīng)在一個(gè)合理的范圍內(nèi)進(jìn)行，電阻不超過20 000 Ω，電感不超過10 H。用MATLAB軟件，采用嵌套循環(huán)和判斷語句求解不同電路元件值對(duì)應(yīng)的力傳遞率曲線。找出幅值最小的力傳遞率曲線對(duì)應(yīng)的電路元件值，即為最優(yōu)解。其中RC電路的MATLAB求解程序如圖11(a)所示，串聯(lián)和并聯(lián)RLC電路的MATLAB求解程序如圖11(b)所示。

(a) RC電路求解程序(b) 串聯(lián)RLC電路和并聯(lián)RLC電路求解程序

由MATLAB程序得到的三種電路情況的最優(yōu)電路參數(shù)和對(duì)應(yīng)的力傳遞率曲線峰值如表2所示。將三種電路的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的力傳遞率曲線繪制于圖12中。當(dāng)減振環(huán)連接串聯(lián)和并聯(lián)RLC電路時(shí)，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的力傳遞率峰值最低。使得力傳遞率曲線在固有頻率附近出現(xiàn)一個(gè)平緩的雙峰。但是并聯(lián)所需的電阻值過大，所以采用串聯(lián)RLC電路的最優(yōu)解作為減振環(huán)的外接電路。

表2 三種電路情況最優(yōu)解情況表Tab.2 The optimal solution of three circuits

圖12 力傳遞率曲線圖Fig.12 Force transmissibility plots

為比較傳統(tǒng)阻尼橡膠和減振環(huán)的減振效果，分別計(jì)算安裝同尺寸橡膠環(huán)和減振環(huán)以及不安裝任何阻尼裝置的系統(tǒng)力傳遞率。橡膠環(huán)的無損剛度6×106N/M、損耗因子η=0.1[10]。減振環(huán)采用串聯(lián)RLC的最優(yōu)電路。計(jì)算得到三種情況的力傳遞率如圖13所示。

圖13 力傳遞率曲線對(duì)比圖Fig.13 Force transmissibility plots

從圖13可知，不安裝任何阻尼的軸承-支承系統(tǒng)的力傳遞率峰值為37.05。安裝了連接最優(yōu)串聯(lián)RLC電路的減振環(huán)后，系統(tǒng)力傳遞率峰值降為一個(gè)平坦的雙峰，最大值為4.64，較原系統(tǒng)下降了87.5%。安裝了和減振環(huán)同樣尺寸的橡膠圈的系統(tǒng)，力傳遞率峰值為17.93。很顯然，減振環(huán)的減振效果更為明顯，且造成的頻移影響也較橡膠圈更小。

4 結(jié) 論

(1)利用壓電堆疊的正壓電效應(yīng)，可以將振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，并通過外接的分流電路消耗。從而產(chǎn)生一個(gè)阻尼作用。這種阻尼作用可以用壓電堆疊復(fù)剛度中的損耗因子來表述。

(2)安裝減振環(huán)后，系統(tǒng)的力傳遞率峰值顯著下降，說明減振環(huán)可以有效降低由軸承傳遞到支承的振動(dòng)，起到很好的減振作用。當(dāng)外接電路為串聯(lián)RLC電路時(shí)減振效果最好。

(3)相比傳統(tǒng)橡膠材料的阻尼效果，利用壓電分流阻尼技術(shù)的減振環(huán)不但減振效果更為明顯，而且安裝減振環(huán)后比安裝橡膠圈后系統(tǒng)的頻移產(chǎn)生的影響更小。

(4)減振環(huán)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可采用線切割、鑄造等傳統(tǒng)加工工藝加工，安裝方便，壓電堆疊有多種型號(hào)可供選擇，使其非常適合批量生產(chǎn)，具有廣泛的發(fā)展前景和實(shí)用價(jià)值。