☉山東省臨清市京華中學(xué) 齊 欣

參考文獻(xiàn)［1］指出體會(huì)對(duì)稱之美，欣賞對(duì)稱之妙，是貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的.參考文獻(xiàn)［2］指出，對(duì)稱是一種審美心向下的思維走勢(shì)，是一種方向性引領(lǐng)，引領(lǐng)我們走出困境，走向澄明.筆者深受啟發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐及閱讀參考文獻(xiàn)［3］的思考，基于兩個(gè)案例，分析解題過程中的錯(cuò)因，注重學(xué)生對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，才能讓學(xué)生領(lǐng)悟解題的真諦，達(dá)到“吃一塹，長(zhǎng)一智”的目的，還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解題糾錯(cuò)中滲透的方法、蘊(yùn)含的哲理.

一、糾錯(cuò)案例展示

案例1：（2016年成都卷第24題）實(shí)數(shù)a、n、m、b滿足a＜n＜m＜b，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、N、M、B（如圖1），若AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，則稱m為a、b的“黃金大數(shù)”，n為a、b的“黃金小數(shù)”.當(dāng)b-a=2時(shí)，a、b的黃金大數(shù)與黃金小數(shù)之差m-n=______.

圖1

學(xué)生的困惑：此法先把各線段的長(zhǎng)用代數(shù)式表示出來，再分別代入到已知條件中，列出方程組求解，這個(gè)答案顯然違背題意，這到底是什么原因呢？

對(duì)于本題，還可以求出AB，然后列出關(guān)于AM、BN的方程，再求解.把已知AM2=BM·AB及BN2=AN·AB看作關(guān)于AM（或BM）或AN（或BN）的一元二次方程，即可求出線段AB上任意一條線段.

另解1：由AM2=BM·AB，BM=AB-AM，得AM2=（ABAM）·AB.又AB=b-a=2，則AM2=（2-AM）×2，解得AM=-1.根據(jù)對(duì)稱性，得BN=-1.則MN=AM+BNAB=2-4.

另解2：設(shè)MN=x，AN=y，則（x+y）2=2（2-x-y）.將“x+y”視為整體，整理得（x+y+1）2=5，解得x+y=-1（負(fù)值不合題意，舍去）.所以MB=2-（x+y）=3-.根據(jù)對(duì)稱性，得AN=3-.所以MN=AB-AN-MB=2-（3-）-（3-）=-4.

盡管得到的“答案”很明顯是錯(cuò)誤的，但查找錯(cuò)因并不那么容易.通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思考和基于對(duì)稱視角分析，不僅查明了真相，還收獲了借助對(duì)稱性來思考問題，及對(duì)稱觀念引領(lǐng)下的簡(jiǎn)單解法，可謂一舉多得，下面再看一例.

學(xué)生的困惑：錯(cuò)解1、2的解是怎樣丟掉的？錯(cuò)解3怎么多了四個(gè)解呢？

錯(cuò)因分析：第一個(gè)學(xué)生“由xy=15，得到x、y同號(hào)，進(jìn)而想當(dāng)然推出x+y與x-y也同號(hào)，從而丟掉了兩個(gè)解”.事實(shí)上，x、y同為正數(shù)或x、y同為負(fù)數(shù)；當(dāng)x、y同為正數(shù)時(shí)，可以得到x、y的和是正數(shù)，但x、y的差呢？并不一定是正數(shù)啊.同樣，當(dāng)x、y同為負(fù)數(shù)時(shí)，x、y的和是負(fù)數(shù)，但x、y的差也不一定是負(fù)數(shù).第二個(gè)學(xué)生忽視“正數(shù)有兩個(gè)平方根……”這一平方根的性質(zhì).第三個(gè)學(xué)生“解方程組的過程中，第2個(gè)方程兩邊平方了，因此求得方程組的解之后，必須代入原方程組進(jìn)行檢驗(yàn)，因此結(jié)合x、y必須取同號(hào)的值，必須舍掉異號(hào)的四個(gè)解”.在解題過程中，應(yīng)隨時(shí)注意整體與局部的關(guān)系，不能以局部的性質(zhì)代替整體，從而有效規(guī)避錯(cuò)誤.

學(xué)生如有從對(duì)稱的角度分析問題的意識(shí)，則成功解題易如反掌，對(duì)稱在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用不勝枚舉.如2014年泰州卷第16題：

如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE，則AP等于______cm.

圖2

圖3

賞析：如果能從對(duì)稱的視角來理解則事半功倍（如圖3，兩次利用對(duì)稱，第一次是P′Q′與PQ關(guān)于直線m對(duì)稱，第二次是AP′與PD對(duì)稱），否則，要么容易忽視“確定性”或因思維定式導(dǎo)致丟解，要么事倍功半，即使做出來了，也耗時(shí)過多，造成“隱性丟分”，得不償失.關(guān)于本題的研究，錢德春老師在參考文獻(xiàn)［4］中已有詳細(xì)論述，這里不再贅述.

又如概率中用列表法和樹狀圖法求概率，列出的表格和樹狀圖從數(shù)學(xué)的角度來看是對(duì)稱的.

如圖4，一只螞蟻?zhàn)杂勺栽诘卦谟闷咔砂迤闯傻恼叫沃信纴砼廊ィ恳粔K的表面完全相同）.

（1）分別計(jì)算它最終停留在1號(hào)板和2號(hào)板上的概率；

（2）它最終停留在3號(hào)板上的概率是多少？

圖4

圖5

分析：如圖5，加上這三條輔助線后，借助對(duì)稱便直觀地看出停在2、3號(hào)板上的概率分別是多少了.

又如，求滿足（n+1）n2-2n-3=1的整數(shù).

錯(cuò)解：由x0=1，x≠0，得n2-2n-3=0，且n+1≠0，解得n=3.

分析：對(duì)于ab=1，上述解法只考慮了非零數(shù)的零次方等于1，而忽略了底數(shù)n+1等于1（指數(shù)為任意數(shù)）和-1（指數(shù)為偶數(shù)）的情況.如果想象有一條數(shù)軸，那么1、-1是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

總之，對(duì)稱，是觀念，也是方法，是一種或圖或式的靈活運(yùn)用，在對(duì)稱視角下辨析錯(cuò)因，澄清了錯(cuò)誤，走出了困惑，同時(shí)開闊了視野，豐富了解題思路.

二、教學(xué)建議

1.解題教學(xué)要理解基礎(chǔ)知識(shí)，重視等價(jià)轉(zhuǎn)化，探索一題多解

通過對(duì)錯(cuò)解引發(fā)的一題多解的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，其根源是沒有重視等價(jià)轉(zhuǎn)化，思考不嚴(yán)密或基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí).轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種形式.等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如分式方程化為整式方程可能會(huì)出現(xiàn)增根，因此要驗(yàn)根），它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口.但是一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確（如案例1中的錯(cuò)解，看似經(jīng)得起推敲卻百密一疏，又如案例2及參考文獻(xiàn)［3］中對(duì)“解”的“純粹性”與“完備性”的分析）.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法是高中數(shù)學(xué)解題的基本方法，在歷年高考中也常見，因此我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，這有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.

2.解題要讓學(xué)生學(xué)會(huì)自覺分析，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生解題水平取決于對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.案例1、案例2及參考文獻(xiàn)［3］中的錯(cuò)解，這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因都是隱性的.羅增儒教授說過數(shù)學(xué)解題不僅要關(guān)注“答案”，更要對(duì)過程進(jìn)行“自覺分析”.因此數(shù)學(xué)解題要讓學(xué)生養(yǎng)成自覺分析、反思質(zhì)疑的良好習(xí)慣.從核心知識(shí)和概念入手，深挖教材，設(shè)計(jì)核心例題，充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)（如本文中的對(duì)稱思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等）.站在教育者的角度，數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)該包括數(shù)與形的客觀規(guī)律，知識(shí)所處的背景、地位、作用、聯(lián)系、區(qū)別及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、思維過程.

3.解題教學(xué)要揭示數(shù)學(xué)思想方法與思維的形成

解題教學(xué)要推動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和問題的解決途徑，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的正遷移，滲透學(xué)習(xí)方法，轉(zhuǎn)換視角，借助數(shù)學(xué)思想化錯(cuò)、融錯(cuò)、究錯(cuò)，使學(xué)生在科學(xué)精神、思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步；體會(huì)解決問題的過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的表達(dá)和交流，積累經(jīng)驗(yàn)；在掌握“四基”的同時(shí)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)更高層次的思維突破.

4.解題要注重生成，教學(xué)相長(zhǎng)

數(shù)學(xué)問題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識(shí)加以解決的，知識(shí)轉(zhuǎn)化才是一切轉(zhuǎn)化思想與方法的本源.學(xué)生參與的解題活動(dòng)不僅包括外顯的、可觀察的解題過程，也包括學(xué)生積極展示內(nèi)隱的思維活動(dòng).作為一線教師，要想讓學(xué)生做到“吃一塹，長(zhǎng)一智”，不僅要會(huì)講授，更要學(xué)會(huì)“傾聽”，要大膽放手，讓學(xué)生嘗試.布魯納說過：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的.”著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括錯(cuò)誤.錯(cuò)誤也從一定角度反映出學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度及暴露出來的教與學(xué)方面存在的問題.因此要善待學(xué)生的出錯(cuò)，讓錯(cuò)誤成為轉(zhuǎn)機(jī)，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，重視生成性資源的教學(xué)，采用逐步深入糾錯(cuò)的方法，讓學(xué)生樂于糾錯(cuò)，踏實(shí)糾錯(cuò).學(xué)生的主動(dòng)好學(xué)定能讓數(shù)學(xué)課堂出彩.在教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)解分析，挖掘錯(cuò)誤的根源，從而鞏固和加深基礎(chǔ)知識(shí)，真正做到教學(xué)相長(zhǎng).總之，通過辨析錯(cuò)解產(chǎn)生的原因，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性、批判性與獨(dú)創(chuàng)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.以上論述還很粗淺，希望得到批評(píng)與指正.