王舒凱，周志東

(廈門大學(xué) 材料學(xué)院，福建省特種先進材料重點實驗室，福建 廈門361000)

1 引 言

20世紀(jì)50年代末，發(fā)現(xiàn)了液晶材料在熱圖像方面的應(yīng)用價值，激發(fā)了人們對液晶的研究熱潮[1]。液晶盒又稱液晶顯示板，是將薄層液晶注入到兩塊玻璃基板之間，加以密封。當(dāng)施加外電場時，液晶分子的排列狀態(tài)和指向矢發(fā)生改變，從而改變液晶盒宏觀的電學(xué)和光學(xué)特性。液晶盒也可以當(dāng)作一個電容器[2]，液晶層的有效介電常數(shù)會隨著外加電學(xué)條件的變化而變化[3], 其電容可調(diào)。同時，液晶的介電常數(shù)[4]、彈性常數(shù)[5-6]、撓曲電系數(shù)[7-9]和基板的錨定條件[10-11]等特性，對液晶盒電容特性及其液晶顯示器件性能具有重要的影響。

液晶盒中的液晶分子呈楔形、紡錐形或香蕉形。當(dāng)分子指向發(fā)生變化時，會引起整體結(jié)構(gòu)的彎曲、展曲和扭曲等機械形變，此時存在顯著的撓曲電效應(yīng)。撓曲電效應(yīng)描述了向列相液晶發(fā)生形變后液晶盒產(chǎn)生的自發(fā)極化現(xiàn)象，并具有永久的偶極矩[12-13]，影響液晶盒的介電常數(shù)[7]。崔文靜等基于液晶彈性理論和變分原理，推導(dǎo)了液晶盒系統(tǒng)的平衡態(tài)方程和電容的表達式，模擬不同撓曲電系數(shù)下電壓-電容曲線，分析了液晶撓曲電特性對液晶盒電容的影響[8]，以及彈性常數(shù)和介電各向異性對混合液晶盒和平行液晶盒電容的影響[14]。Kaur等[15]實驗測試了液晶盒中液晶分子指向偏轉(zhuǎn)的臨界電壓，獲得了展曲和彎曲撓曲電系數(shù)的差值。Reshetnyak等[16]采用一種半定量的方法描述了光折變材料中兩束光引起的能量增益，發(fā)現(xiàn)液晶的撓曲電能是驅(qū)動光柵結(jié)構(gòu)的主要物理機制。Vitoriano和Satiro[17]考慮液晶盒中液晶分子不同的分布密度，分析了液晶分子指向密度耦合理論在實驗測量撓曲電系數(shù)e3和e1以及組合e1+e3和e1-e3中的實際應(yīng)用。

相場法可以模擬并預(yù)測材料在不同的物理場下各種微觀結(jié)構(gòu)的形成及演化過程。Oates和Wang[18]建立了向列相液晶的相場模型，研究了液晶中單疇和多疇結(jié)構(gòu)，分析了熱和機械拉伸加載過程中液晶核的自發(fā)形態(tài)和多疇結(jié)構(gòu)的演化。液晶器件大部分是在電壓控制下進行工作，如果液晶器件與其他電容器連接時，也可以在恒定表面電荷控制下工作。但是，關(guān)于采用相場方法研究各種初始取向液晶在表面電荷密度作用下液晶核指向的演化，并最終分析如何影響宏觀電學(xué)特性的工作還很少見。

本文考慮構(gòu)建研究液晶微結(jié)構(gòu)的相場方法，結(jié)合液晶材料的撓曲電效應(yīng)，應(yīng)用液晶相整體的自由能密度，分析液晶指向矢隨外加表面電荷密度的演化，并給出液晶盒約化電容離散化的表達式。通過數(shù)值算例，分析討論混合液晶盒和平行液晶盒液晶指向矢、約化電容與撓曲電系數(shù)、機械約束條件、表面電荷密度和液晶盒厚度等的相互數(shù)值關(guān)系與演變趨勢。

2 液晶系統(tǒng)的相場方法

2.1 液晶盒系統(tǒng)的自由能密度

圖1 混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系Fig.1 Structure of liquid crystal cells and the coordinate system. (a) HAN cell, (b) PAN cell.

液晶盒的總自由能可以表示為[19]：

(1)

其中：fof、fdiel和fflex分別表示彈性形變自由能密度、介電自由能密度和撓曲電效應(yīng)引起的自由能密度。彈性形變自由能的表達式為[20]：

(2)

其中：K1，K2和K3分別表示液晶的展曲、扭曲和彎曲彈性系數(shù)，為拉普拉斯算子。對于本文分析的一維問題，代入液晶指向矢n(z)可以得到形變自由能密度為：

(3)

式(3)中不存在含K2的項，說明在一維問題中液晶盒沒有發(fā)生扭曲形變，只有展曲和彎曲形變。對于本文研究的對象，液晶的電位移矢量可以表示為：

D=ε0[ε⊥E+(Δε)(E·n)n]+Pf，

(4)

其中：ε0為真空介電常數(shù)，ε⊥為垂直于液晶分子長軸方向的相對介電常數(shù)，ε‖為平行于液晶分子長軸方向的相對介電常數(shù)，Δε=ε‖-ε⊥為液晶材料的介電各向異性。E表示液晶中的電場強度。Pf是液晶中由于撓曲電效應(yīng)產(chǎn)生的極化強度[17]：

Pf=e1n(·n)+e3[(×n)×n]，

(5)

其中：e1和e3表示液晶展曲和彎曲的撓曲電系數(shù)。對于一維問題，z方向上的極化強度Pfz可以表示為：

(6)

當(dāng)液晶盒表面存在自由表面電荷密度σ時，可以獲得液晶盒內(nèi)沿厚度方向上的電場分布為[17]：

(7)

因此，液晶系統(tǒng)的介電自由能fdiel可以表示為：

(8)

而由于撓曲電效應(yīng)引起的自由能為：

(9)

結(jié)合式(4，6，8，9)可以看出，液晶系統(tǒng)的自由能密度與液晶分子的指向矢即液晶核的極化方向密切相關(guān)。當(dāng)外加物理場發(fā)生改變時，液晶分子通過改變其指向矢(極化方向)來降低系統(tǒng)的自由能，使得液晶盒系統(tǒng)更穩(wěn)定。

2.2 液晶指向矢的相場方程

相場方法可以通過序參量模擬材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的演化，也可以很容易推廣描述二維和三維結(jié)構(gòu)。本文把表示液晶分子指向矢的偏轉(zhuǎn)角θ作為液晶系統(tǒng)的序參量，其在外場下的演化可以通過動態(tài)金茲堡-朗道方程來求解[21]：

(10)

其中：δF/δθ(r,t)表示熱力學(xué)驅(qū)動力，t為時間，L為動力學(xué)系數(shù)。將式(1，3，8，9)代入式(10)，得到關(guān)于液晶指向矢偏角θ的相場方程具體表達式：

(11)

式(11)相場方程可以通過有限差分法求解。將液晶盒沿厚度方向平均劃分成m份，在第i(1

(12)

(13)

(14)

將式(14)簡化為如下函數(shù)形式:

(15)

(16)

其中:

(17)

其中:Δt表示時間步長。

2.3 液晶盒電容表達式

(18)

(19)

(20)

從式(20)可以看粗，約化電容與液晶盒內(nèi)液晶分子指向分布密切相關(guān)。

3 數(shù)值分析與討論

在整個數(shù)值計算過程中，采用如下材料參數(shù)[8]：r=1、L=1、K1=6.2 pN、K3=8.3 pN、Δε=5.2、ε‖=10.5、ε0=8.85×10-12C2/(N·m2)。液晶盒厚度取d= 4μm，沿厚度方向分成10等份，即m=10，計算時間步長Δt=1×10-4，整個時間循環(huán)次數(shù)為5000～30 000。通過數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，對于平行液晶盒，在臨界厚度或臨界電荷密度工況下，時間循環(huán)次數(shù)需要達到30 000時結(jié)果才能趨于穩(wěn)定值。在液晶盒上下基板位置上設(shè)定液晶核的機械邊界條件，對于平行液晶盒θ(1)=θ(11)=0，而混合液晶盒θ(1)=0，θ(11)=/2，在液晶盒內(nèi)每個節(jié)點液晶指向矢偏角的計算初始值賦予微小高斯隨機值。

圖2 不同表面電荷密度值對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)指向矢厚度分布的影響Fig.2 Distribution of director in (a) HAN cell and (b) PAN cell with different surface charge density

圖2給出了不同表面電荷對混合液晶盒與平行液晶盒內(nèi)液晶分子指向矢分布的影響，此時撓曲電系數(shù)和取e1+e3=30 pC/m。從圖2(a)中可以看出，在混合液晶盒中，表面電荷密度越大，液晶分子的指向矢偏角越大，沿厚度方向指向矢偏角在0～π/2連續(xù)變化。從圖2(b)可以看出，在平行液晶盒中，當(dāng)表面電荷密度超過某一臨界值時(大約3×10-5C/m2)，液晶分子指向矢才能發(fā)生改變，并在液晶盒中間層出現(xiàn)最大值。當(dāng)表面電荷密度低于臨界值時，液晶分子指向矢保持不變。臨界表面電荷密度值與液晶盒的厚度密切相關(guān)，將在下節(jié)討論。

圖3 不同撓曲電系數(shù)對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)指向矢厚度分布的影響Fig.3 Distribution of director in (a) HAN cell and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖3給出了撓曲電效應(yīng)對兩種液晶盒指向矢分布的影響，此時表面電荷密度取σ=8×10-5C/m2。從圖中可以看出，在混合液晶盒和平行液晶盒中，撓曲電效應(yīng)對液晶核指向矢的影響是一樣的，即撓曲電系數(shù)和越大，液晶核指向矢偏角越小。這個結(jié)果與文獻[7]報道的結(jié)果很類似，他們討論的是電壓控制。

圖4 不同撓曲電系數(shù)對混合液晶盒(a)和平行液晶盒(b)約化電容-表面電荷密度曲線的影響Fig.4 Capacitance-surface charge density curve in (a) HAN and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖4分別給出了撓曲電效應(yīng)對約化電容-表面電荷密度曲線的影響。從圖4(a)可以發(fā)現(xiàn)，在混合液晶盒中，當(dāng)表面電荷密度較小時，約化電容隨表面電荷密度的增加而顯著增加，當(dāng)表面電荷密度較大時，約化電容趨于穩(wěn)定值。這是因為在不斷加大的表面電荷作用下，液晶分子指向矢都穩(wěn)定地趨于電場的加載方向，因此約化電容的變化逐漸平緩并最終趨于穩(wěn)定。而從圖4(b)可以發(fā)現(xiàn)，在平行盒液晶盒中，當(dāng)表面電荷密度低于臨界值時，約化電容不發(fā)生改變，當(dāng)表面電荷密度超過臨界值時，液晶盒的約化電容發(fā)生陡變，并最終趨于穩(wěn)定。這是因為，在平行液晶盒中，電荷密度達到臨界值后，液晶分子指向矢發(fā)生變化，從而引起電容的巨大變化，而且平行液晶盒的液晶分子指向矢比混合液晶的液晶分子指向矢更快的達到飽和指向。圖4也顯示了在混合液晶盒和平行液晶盒中，撓曲電系數(shù)和越大，約化電容越小，但隨著表面電荷密度的增加，約化電容最終會趨于相等。因此，我們可以通過調(diào)節(jié)液晶材料的撓曲電系數(shù)來調(diào)控液晶盒的宏觀電容特性。

圖5 不同撓曲電系數(shù)對(a)混合液晶盒和(b)平行液晶盒約化電容-厚度曲線的影響Fig.5 Capacitance-Thickness in (a) HAN and (b) PAN cell with different flexoelectric coefficients

圖5給出了兩種液晶盒中撓曲電效應(yīng)對約化電容-厚度關(guān)系曲線的影響，此時表面電荷密度取σ=8×10-5C/m2。圖5(a)顯示，在混合液晶盒中，當(dāng)表面電荷密度確定時，約化電容隨著液晶盒厚度的增加而增加。當(dāng)液晶盒厚度達到一定值時，約化電容趨于穩(wěn)定。從圖5(b)可以看出，在平行液晶盒中，當(dāng)表面電荷確定時，液晶厚度存在一臨界值，當(dāng)液晶盒厚度小于此臨界值時，約化電容保持不變；當(dāng)液晶盒厚度達到此臨界值時，電容發(fā)生陡增并很快達到穩(wěn)定值。因此，當(dāng)設(shè)計液晶器件時，需要充分考慮其應(yīng)用工況。例如，當(dāng)工況表面電荷密度確定時，設(shè)計平行液晶盒的厚度必須大于臨界厚度，這樣才能獲得大的電容特性。從圖5(b)也可以看出，撓曲電效應(yīng)對液晶盒厚度臨界值幾乎無影響。

圖6 不同表面電荷密度對(a)混合液晶盒和(b)平行液晶盒約化電容-厚度曲線的影響Fig.6 Capacitance-Thickness curve in (a) HAN and (b) PAN cell with different surface free charge density

圖6分別給出了兩種液晶盒中表面電荷密度對約化電容-厚度關(guān)系的影響，此時撓曲電效應(yīng)取e1+e3=30 pC/m。從圖6(a)中可以看出，大的表面電荷密度產(chǎn)生更大的約化電容，但是，表面電荷密度大小對大厚度的液晶盒幾乎無影響。而圖6(b)的結(jié)果顯示，在平行液晶盒中，表面電荷密度越大，液晶盒的約化電容發(fā)生改變時的液晶盒厚度越小，即液晶分子發(fā)生反轉(zhuǎn)時的臨界厚度越小。因此，當(dāng)設(shè)計應(yīng)用于小表面電荷密度工況下工作的平行液晶盒時，液晶盒的厚度應(yīng)該盡量小。圖6(b)也顯示，對于大厚度液晶盒，表面電荷密度也幾乎不改變液晶盒的約化電容。

4 結(jié) 論

本文采用相場方法研究了表面電荷作用下不同初始分布向列相液晶盒(混合液晶盒與平行液晶盒)中撓曲電效應(yīng)對液晶電容特性的影響?；谝壕Ш械恼w能量，構(gòu)建描述液晶分子指向矢偏角在外加電場下演化的相場方程，給出了液晶盒約化電容的數(shù)值表達式。分析了撓曲電系數(shù)和表面電荷密度對混合液晶盒和平行液晶核指向矢的影響，討論了兩種初始分布的液晶盒內(nèi)約化電容-表面電荷密度曲線和約化電容-厚度曲線。分析結(jié)果表明，在混合液晶盒中，表面電荷密度越大，撓曲電系數(shù)越小，液晶核指向矢偏角越大并最終沿電荷加載的方向趨于穩(wěn)定，其約化電容隨表面電荷和液晶厚度的增加而增加并趨于平緩。在平行液晶盒中，表面電荷密度和液晶厚度都存在臨界值，當(dāng)超過其臨界值時，液晶核的指向矢才會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而引起液晶電容的巨大改變。當(dāng)表面電荷密度越大，液晶盒約化電容發(fā)生顯著變化的臨界厚度越小，而表面電荷密度幾乎不影響大厚度液晶盒的約化電容。因而，液晶器件在設(shè)計時應(yīng)該充分考慮其應(yīng)用工況(表面電荷密度)、液晶盒厚度、液晶核初始取向與液晶材料等各種因素的影響。