侯 明， 付興建， 關(guān)靜麗， 陳雯柏， 柏 森

(北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100192)

0 引言

控制理論多采用放大器電子系統(tǒng)進(jìn)行電學(xué)仿真，采用硬件實(shí)現(xiàn)，存在本質(zhì)的不足:靈活性較低，元件數(shù)量有限，結(jié)構(gòu)比較固定，構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)困難;可調(diào)元件耐用性有限，3年以后的設(shè)備的精度、穩(wěn)定性降低較多，影響實(shí)驗(yàn)效果。由于電子學(xué)系統(tǒng)是一種成本低、能夠嵌入真實(shí)系統(tǒng)的技術(shù)方法，技術(shù)應(yīng)用價(jià)值很大。Matlab是著名的商業(yè)數(shù)據(jù)分析軟件，其高級(jí)語(yǔ)言仿真與Simulink的圖形模塊化仿真功能，操作便捷，結(jié)果展示優(yōu)秀，適合簡(jiǎn)單與復(fù)雜系統(tǒng)的理論設(shè)計(jì)與驗(yàn)證。在各行業(yè)的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中有大量的應(yīng)用，近年來(lái)在自動(dòng)控制理論實(shí)驗(yàn)中，逐漸成為一種驗(yàn)證工具，輔助學(xué)生的理論學(xué)習(xí)［1-2］。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，6個(gè)以內(nèi)運(yùn)放構(gòu)成的系統(tǒng)適合電學(xué)系統(tǒng)構(gòu)建，更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，運(yùn)用Simulink軟件更適合教學(xué)。

解耦控制是現(xiàn)代控制理論的重要綜合方法之一，是多變量控制系統(tǒng)(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)的經(jīng)典控制方法，在復(fù)雜系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用［3-7］。結(jié)合了魯棒性、不確定性、容錯(cuò)性的高性能解耦控制方法，在智能制造［8］、航空航天［9］、過(guò)程控制［10-11］等工業(yè)工程領(lǐng)域存在大量示例。而現(xiàn)代控制理論的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，以理論推導(dǎo)為主，缺少實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)。本文以解耦控制為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)，并將MATLAB在實(shí)現(xiàn)解耦控制時(shí)所遇到問(wèn)題進(jìn)行分析，提出解決方案。

實(shí)現(xiàn)雙輸入雙輸出系統(tǒng)，一般需要6個(gè)運(yùn)放構(gòu)建，解耦部分需要再增加4個(gè)左右的運(yùn)放，不宜采用電學(xué)系統(tǒng)仿真，采用Simulink仿真是可行的辦法。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中存在一些不易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，因其誤導(dǎo)性較大，具有普遍性，通過(guò)深入的研究分析其原因，提出合理的解決方法。

1 案例設(shè)計(jì)及仿真結(jié)果

給出的雙輸入、雙輸出系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 原始雙輸入雙輸出對(duì)象

原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)陣為:

原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣為:

MATALB默認(rèn)仿真條件，其解算器為Ode45，變步長(zhǎng)，原系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 原始系統(tǒng)y1、y2響應(yīng)曲線

設(shè)計(jì)解耦控制器，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)陣為:

求解串聯(lián)解耦控制器［12-13］:

設(shè)計(jì)其Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 串聯(lián)解耦仿真結(jié)構(gòu)圖

在串聯(lián)解耦器后，系統(tǒng)響應(yīng)如圖4所示。

圖4 串聯(lián)解耦后y1、y2結(jié)果

2 問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)

解耦設(shè)計(jì)目標(biāo)是將原系統(tǒng)Φ0(s)轉(zhuǎn)變?yōu)棣?s)。根據(jù)式(3)，其響應(yīng)y1、y2理論結(jié)果如圖5所示。

圖5 串聯(lián)解耦后y1、y2的理論結(jié)果

通過(guò)比較可知y1正確，y2響應(yīng)1～2.5 s的曲線與理論差異很大，2.5 s以后的部分，近似正確。解耦控制設(shè)計(jì)的模塊結(jié)構(gòu)、參數(shù)均是正確的，造成與理論不符的原因是什么?

Simulink以模塊化圖像作為系統(tǒng)構(gòu)建的操作手段，其系統(tǒng)響應(yīng)的結(jié)果是通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算得出的，數(shù)值解算方法的階次、初值的獲取方法、激勵(lì)源的信號(hào)類(lèi)型等，均有可能是產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。

Simulink默認(rèn)的仿真條件為:解算方法為4階龍格庫(kù)塔方法，步長(zhǎng)為變步長(zhǎng)。如果想確定問(wèn)題的原因，需要對(duì)“錯(cuò)誤”的細(xì)節(jié)進(jìn)行觀察。變步長(zhǎng)的方法由于步長(zhǎng)不易確定，因而不便于定量分析;高階解算方法需要較多的初值，可以采用低階解算方法測(cè)試?；谶@兩個(gè)方向，考慮采用如下步驟進(jìn)一步分析“錯(cuò)誤”原因:①將仿真步長(zhǎng)條件轉(zhuǎn)換為定步長(zhǎng)。②將靜默認(rèn)的解算方法轉(zhuǎn)換為低階解算方法。測(cè)試響應(yīng)結(jié)果。

3 測(cè)試過(guò)程分析

(1) 步長(zhǎng)為0.01，解算方法為 Ode3，響應(yīng)y1、y2見(jiàn)圖6。

圖6 固定步長(zhǎng)，3階龍格庫(kù)塔法結(jié)果

(2)步長(zhǎng)為0.01，解算方法為Ode2，結(jié)果見(jiàn)圖7。

圖7 固定步長(zhǎng)，2階龍格庫(kù)塔法結(jié)果

(3)步長(zhǎng)為0.01，解算方法為Ode1，結(jié)果見(jiàn)圖8。

圖8 固定步長(zhǎng)，1階龍格庫(kù)塔法結(jié)果

根據(jù)圖4、6～8分析，采用3階以上的解算方法，初始階段y2不正確，采用2階以下的解算方法基本正確，但是在階躍信號(hào)的起始瞬間，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)尖刺脈沖，尖刺脈沖的幅值與采用的解算方法有關(guān)。通過(guò)上面的測(cè)試，說(shuō)明仿真結(jié)果的“錯(cuò)誤”與解算方法有直接關(guān)系。下面進(jìn)一步將時(shí)間軸拉開(kāi)，觀察系統(tǒng)的幾個(gè)響應(yīng)點(diǎn)。

根據(jù)圖3，y2的輸出由2部分相加構(gòu)成:Gain2輸出的耦合信號(hào)(記為y21)和Gp2輸出的信號(hào)(記為y22)，現(xiàn)考察Ode1算法的響應(yīng):

圖 9 Ode1解算中 y21、y22、y2響應(yīng)

Simulink中設(shè)定階躍信號(hào)在t=1.00 s時(shí)刻產(chǎn)生，y21在前一步(0.99 s)產(chǎn)生計(jì)算結(jié)果，y22通過(guò)Ode1單步法解算，在后一步(1.01 s)產(chǎn)生計(jì)算結(jié)果，其疊加的效果即為y2。計(jì)算方法的步驟差是產(chǎn)生尖刺的原因。在后續(xù)的計(jì)算中，是數(shù)值計(jì)算正確的。Ode2的結(jié)果如圖10所示。

圖 10 Ode2解算中 y21、y22、y2響應(yīng)

同Ode1比較，y22通過(guò)Ode2兩步法解算，從0.99 s開(kāi)始，在1.01 s產(chǎn)生計(jì)算結(jié)果，使用2個(gè)步長(zhǎng)時(shí)間，產(chǎn)生尖刺的幅度與Ode1不同。其后續(xù)計(jì)算數(shù)值正確。圖11所示為Ode4的結(jié)果。

圖 11 Ode4解算中 y21、y22、y2響應(yīng)

同 Ode1、Ode2比較，y22通過(guò) Ode4計(jì)算，其在 1.01 s的時(shí)刻沒(méi)有完全抵消y21，留有一個(gè)初值。系統(tǒng)Gp2有了一個(gè)初始值，使得后續(xù)2.5 s之前的數(shù)據(jù)結(jié)果都包含這個(gè)初值的響應(yīng)成分。由于解耦后系統(tǒng)閉環(huán)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以初值的響應(yīng)逐漸建衰減到0［14］，總的輸出y2也逐漸趨近于正確的理論結(jié)果。

4 系統(tǒng)模塊的沖激響應(yīng)問(wèn)題

根據(jù)式(4)，Gc21的解耦子式的分子部分階次高于分母，不能使用系統(tǒng)模塊構(gòu)建，其中的比例微分部分構(gòu)成見(jiàn)圖3，這個(gè)子式與圖3系統(tǒng)中的Gp2串聯(lián)。下面考察比例微分與系統(tǒng)模塊串聯(lián)的仿真的初值問(wèn)題，構(gòu)建如下仿真模塊:

圖12中的比例微分與系統(tǒng)環(huán)節(jié)的順序不一樣，理論上y3、y4的結(jié)果應(yīng)該一樣，在Ode4的高階解算計(jì)算下，結(jié)果相差較大，如圖13所示。

圖12 比例微分與系統(tǒng)模塊串聯(lián)

圖13 y3、y4的響應(yīng)結(jié)果

可見(jiàn)，Simulink在處理比例微分模塊與傳遞函數(shù)模塊的串聯(lián)仿真計(jì)算過(guò)程中，微分與積分模塊的先后順序影響仿真結(jié)果。微分模塊的解算方法是前向差分方程，對(duì)階躍信號(hào)微分，產(chǎn)生尖刺脈沖，此尖刺脈沖為兩個(gè)步長(zhǎng)，三角形，幅值為階躍信號(hào)的終值/步長(zhǎng)。比例微分的輸出為尖刺脈沖與階躍響應(yīng)的疊加，見(jiàn)圖14所示。

圖14 Simulink中微分環(huán)節(jié)對(duì)階躍響應(yīng)的作用

尖刺脈沖近似沖激信號(hào)［15］，根據(jù)信號(hào)系統(tǒng)理論，沖激響應(yīng)相當(dāng)于給系統(tǒng)賦予初值，對(duì)于如Gp4所示的漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng)，其響應(yīng)具有如下形式:

式中:y為系統(tǒng)響應(yīng);U為沖擊能量量;α為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù);t為時(shí)間。

參看圖4中y2的結(jié)果，其前2.5 s的響應(yīng)中主要成分為沖激響應(yīng)，其后的部分因脈沖響應(yīng)逐漸衰減到0，主要成分是階躍響應(yīng)的作用，站在數(shù)值計(jì)算的角度上看，圖4中y2的響應(yīng)結(jié)果是正確的。高階解算方法(3階以上)在步長(zhǎng)之間取值［16］，能夠保留沖激信號(hào)的響應(yīng)信息。沖激響應(yīng)信息是仿真結(jié)果不符合理論的原因。

低階解算方法(2階以下)不在步長(zhǎng)之間取值，沒(méi)有保留沖激的信息。例如采用Ode1方法(見(jiàn)圖9)，y21部分在t－1時(shí)刻已經(jīng)賦值，系統(tǒng)模塊響應(yīng)y22采用Ode1使用t0時(shí)刻的數(shù)據(jù)，計(jì)算t1時(shí)刻輸出，與y21的響應(yīng)大小幾乎一致，方向相反，相位差一個(gè)步長(zhǎng)，因此在系統(tǒng)的總輸出y2中遺留一個(gè)峰值為2的尖峰信號(hào)。采用Ode2的算法，系統(tǒng)模塊響應(yīng)y21在t－1時(shí)刻開(kāi)始計(jì)算，在t－1到t+1期間產(chǎn)生了一個(gè)與y22大小幾乎一致，方向相反，斜率減半的輸出，因此在系統(tǒng)的總輸出y2中遺留可一個(gè)峰值為1的尖刺。因此站在數(shù)值計(jì)算的角度看，低階解算器，由于計(jì)算步驟的關(guān)系，忽略了沖激響應(yīng)的對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)充能作用，僅對(duì)沖激信號(hào)進(jìn)行了濾波，丟失了較多的信息。然而，這個(gè)結(jié)果如果站在解耦算法設(shè)計(jì)的角度看，更接近算法設(shè)計(jì)的理論結(jié)果。

5 問(wèn)題的合理解決方法

解耦控制的教學(xué)重點(diǎn)在于其方法的思想與實(shí)現(xiàn)過(guò)程，不在于解算方法的精度;Simulink的使用精髓也在于其模塊化的便捷性;從上面的角度考慮，如果注重對(duì)方法的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)避免數(shù)據(jù)解算方法細(xì)節(jié)產(chǎn)生的差異對(duì)方法有效性的影響。

采用如下幾種方法規(guī)避數(shù)值解算的問(wèn)題，并給出合適的解釋。

(1)采用定步長(zhǎng)，不高于2階的解算方法。采用低階解算法，其結(jié)果見(jiàn)圖7、8。階躍信號(hào)的上跳沿所產(chǎn)生的尖刺，站在濾波的角度看，可以解釋為系統(tǒng)的低通濾波效應(yīng)對(duì)尖峰信號(hào)的濾波殘留。

(2)以圖3的基礎(chǔ)，在階躍信號(hào)后面串聯(lián)一個(gè)小慣性環(huán)節(jié)，降低上升沿的斜率。這樣采用高階解算方法可大幅減低沖激的殘留。圖15所示是在默認(rèn)的仿真條件下即變步長(zhǎng)，Ode45解算結(jié)果，慣性時(shí)間常數(shù)為0.01。

圖15 串聯(lián)小慣性環(huán)節(jié)改善輸出結(jié)果

該方法大幅改善了輸出結(jié)果，基本準(zhǔn)確地反映了解耦控制的結(jié)果，響應(yīng)起始階段仍有初始的計(jì)算誤差，通過(guò)增大慣性時(shí)間常數(shù)減小影響。串聯(lián)慣性環(huán)節(jié)可合理的解釋為:真實(shí)系統(tǒng)中，不存在嚴(yán)格的階躍信號(hào)，是具有慣性延遲的。

(3)以圖3的基礎(chǔ)，將比例積分替換為帶有小慣性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模塊，在變步長(zhǎng)，Ode45解算結(jié)果見(jiàn)圖16。

圖16 帶有小慣性的比例微分環(huán)節(jié)改善輸出結(jié)果

該方法較好改善了輸出結(jié)果，基本準(zhǔn)確地反映了解耦控制的結(jié)果，響應(yīng)起始階段的尖刺，可以解釋為由于引入慣性環(huán)節(jié)后補(bǔ)償存在很小的延遲，不能將耦合作用完全解除。

(4)將上述3種方法同時(shí)使用，如果階躍信號(hào)的延遲大于比例微分的延遲，可以獲得更好的效果。

6 解算問(wèn)題的意義

現(xiàn)代控制理論中，非線性反饋、串聯(lián)解耦控制、前饋解耦控制、系統(tǒng)矯正、前饋控制、PID控制等基本控制器設(shè)計(jì)方法都存在使用比例微分來(lái)抵消對(duì)象的慣性延遲環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)，很容易出現(xiàn)先微分、后積分的串聯(lián)形式，并且順序不能調(diào)換，教學(xué)中容易出現(xiàn)“錯(cuò)誤”結(jié)果誤導(dǎo)學(xué)生。產(chǎn)生的原因不易解釋?zhuān)虼嗽趯?shí)際使用中應(yīng)當(dāng)注意采用本文所提供的方法避免錯(cuò)誤結(jié)果的出現(xiàn)。

本文所述問(wèn)題，大部分教材沒(méi)有提及，少部分文獻(xiàn)給出了理論原因［12］:求解的控制器部分非真，不具有物理實(shí)現(xiàn)性。處理實(shí)際應(yīng)用中，確實(shí)可采用小慣性延遲的串接、限制信號(hào)的頻帶寬度來(lái)近似實(shí)現(xiàn)，獲得良好的控制效果。采用串聯(lián)小慣性環(huán)節(jié)具有明確的物理意義，并符合實(shí)際應(yīng)用。限制信號(hào)帶寬，是被動(dòng)的措施，如采用斜坡信號(hào)輸入，輸出信號(hào)不具有典型性，教學(xué)示范作用弱，不易在教學(xué)中采用。

7 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)的解耦控制仿真方案與解算誤差問(wèn)題的規(guī)避方法在現(xiàn)代控制理論教學(xué)中具有良好的示范作用，在進(jìn)一步研究現(xiàn)代控制系統(tǒng)教學(xué)案例中具有重要指導(dǎo)作用?？蒲腥藛T能注意到此類(lèi)問(wèn)題，采用本文提供的方法避免過(guò)大誤差，亦可以防止科研結(jié)論的錯(cuò)誤。