禹磊，秦子雁，唐白雪，金德泉

(廣西大學數(shù)學與信息科學院， 廣西南寧530004)

0 引言

Amari 動力神經(jīng)場最早由日本神經(jīng)網(wǎng)絡專家甘利俊一于20世紀70年代末提出，用于在大尺度上描述神經(jīng)元活動規(guī)律。該模型不同于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡模型，它不關注微觀的個體神經(jīng)元活性變化情況，而是從宏觀的角度整體上考慮神經(jīng)活性分布，其結果更符合于目前fMRI等技術手段所獲得的人腦活性分布的特點，能夠更好地描述人在認知行為中腦區(qū)的活動，并能夠較好說明工作記憶和短期記憶等在內(nèi)的記憶現(xiàn)象，解釋一些復雜的認知現(xiàn)象。

在Amari動力神經(jīng)場模型中，對動力神經(jīng)場性質(zhì)起到?jīng)Q定性作用的部分是該模型的閾值函數(shù)和相互作用核[1-2]。在大部分研究中，閾值函數(shù)一般選擇為傳統(tǒng)的階躍函數(shù)或Sigmoid型函數(shù)。這一類函數(shù)更接近神經(jīng)元的激活函數(shù)，具有較好的神經(jīng)生理學背景。但在實際應用中，這一類閾值函數(shù)主要描述興奮型神經(jīng)元的作用，沒有考慮抑制性神經(jīng)元的作用,這就造成了動力神經(jīng)場的層向抑制作用只能通過正活性神經(jīng)元依據(jù)相互作用核對其鄰域內(nèi)的神經(jīng)元產(chǎn)生，與實際中抑制型神經(jīng)元也能產(chǎn)生層向相互作用的情況并不十分符合。本文主要在n維歐氏空間Rn中，討論當閾值函數(shù)為矩形函數(shù)，相互作用核為DoG (differential of guassin function)函數(shù)時[3-4]，Amari動力神經(jīng)場方程靜態(tài)解的存在性和穩(wěn)定性[5]。Amari動力神經(jīng)場方程是一個典型的非線性微分積分方程[6]，具有復雜的動力學性質(zhì)，在高維空間中的情況更為復雜[7-8]，一直是該領域研究的熱點[9-10]。對于其動力學性質(zhì)的研究，可以為動力神經(jīng)場在認知科學和機器學習等領域，如圖像處理、場景分割[11-12]等方面的應用提供理論依據(jù)。

1 預備知識

Amari模型為：

(1)

w(x)=Ag(z,σ)-Bg(z,γσ),γ>1，

(2)

為了能夠使得抑制型神經(jīng)元也產(chǎn)生與興奮型神經(jīng)元類似的層向相互作用，同時因為神經(jīng)元具有激活保護的性質(zhì)，即神經(jīng)元對過高的神經(jīng)活性輸入具有保護性低通作用，令θ(u)為矩形函數(shù)，即:

在討論神經(jīng)場方程的靜態(tài)解時，一般假定S(x,t)是時不變的，即對所有t≥0，都有S(x,t)=S(x)。令Ω為Rn，此時得到:

(3)

令?u/?t=0，所有靜態(tài)解都滿足：

在關于生理心理學，神經(jīng)心理學，機器械視覺與認知這些神經(jīng)場的運用中，φ解，∞解，球形解是關注的重點，這些解的定義如下：

定義1當u*(x)≤0,?x∈Rn,u*(x)稱為φ解；當u*(x)>0,?x∈Rn,u*(x)稱為∞解；當u*(x)>0,?x∈D,并且u*(x)≤0,?x∈{RnD},其中，D為球形領域，稱為球形解。

令wmax(x)=max{0,w(x)}，wmin(x)=min{0,w(x)}，假設相互作用核滿足以下條件：

且S(x)有界時，即:

s0≤S(x)≤S0,?x∈Rn。

(4)

2 主要結果

命題1當w(x)為式(2)所示的DoG函數(shù)時,S(x)有界，如式(4)所示, 則:

① 當Wmin+s0+h>0時，系統(tǒng)(3)所有靜態(tài)解都是∞解；

② 當系統(tǒng)(3)存在∞解，則Wmax+S0+h>0。

證明由于閾值函數(shù)θ(u):R→{0,1}，當Wmin+s0+h>0,?x∈Rn時，有:

從而所有解都是∞解。

當存在解是∞解,u*(x)>0,?x∈Rn，有:

=Wmax+S0+h,

即Wmax+S0+h≥u*(x)>0,證畢。

命題2當w(x)滿足式(2),S(x)滿足式(4),則:

① 當Wmax+S0+h≤0，系統(tǒng)(3)所有靜態(tài)解都是φ解；

② 若存在φ解u*(x)≤0，則Wmin+s0+h≤0。

證明由于閾值函數(shù)θ(u):R→{0,1}，當Wmax+S0+h<0，有:

=Wmax+S0+h<0。

由定義1可得系統(tǒng)(3)的靜態(tài)解都是φ解。

當存在φ解u*(x)=hφ≤0,?x∈Rn,有:

即Wmin+s0+h≤0,證畢。

命題3當w(x)滿足式(2),S(x)滿足式(4),當系統(tǒng)(3)存在球形解時，有：

①Wmax+S0+h>0;

②Wmin+s0+h≤0。

證明若u*(x)為球形解，當u*(x)>0,?x∈D時，有：

即Wmax+S0+h>0。

當u*(x)≤0,?x∈{RnD}時，有：

即Wmin+s0+h≤0,證畢。

3 結論

本文討論了n維歐氏空間Rn中Amari動力神經(jīng)場方程的動力學性質(zhì)。在假定閾值函數(shù)為矩形函數(shù)，相互作用核為DoG函數(shù)時，得到了一些關于動力神經(jīng)場靜態(tài)解的存在性和穩(wěn)定性的結論，并對這些靜態(tài)解的穩(wěn)定性情況進行了討論和分析。這些研究成果對于神經(jīng)場的動力學性質(zhì)的研究具有較高的理論價值，并可以為動力神經(jīng)場在認知科學和機器學習等領域的應用提供理論依據(jù)。