聶生庚

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性。本文筆者就如何培養(yǎng)學(xué)生探究能力，孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)設(shè)計(jì)。

【問題的提出】

高一上學(xué)期，學(xué)習(xí)北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修2第一章第4節(jié)《空間圖形的基本關(guān)系與公理》后有這樣一道習(xí)題。

如圖，（略）M是正方體[ABCD—A'B'C'D']的棱[CC']的中點(diǎn)，探究：過M點(diǎn)有多少條直線與直線[A'D']，AB都相交？

從作業(yè)的批改、學(xué)生掌握情況調(diào)查來看，學(xué)生對該題存在較大的困惑。故本人專門設(shè)計(jì)了一節(jié)習(xí)題課，指導(dǎo)學(xué)生真正掌握好解題方法，培養(yǎng)探究能力，孕育學(xué)科核心素養(yǎng)。

【教學(xué)設(shè)計(jì)及效果分析】

一、構(gòu)建模型，顯直觀

師：如圖，（圖略）過點(diǎn)M引一條直線l與直線[A'D']、AB同時(shí)相交并沒有那么容易，但簡單點(diǎn)，我們可以先怎么處理呢？

生（大部分能馬上回答）：不妨先與其中的一條相交，看與另一條的位置情況。

師：很好，如圖，（圖略）不妨假設(shè)過點(diǎn)M的直線l與直線[A'D']相交于點(diǎn)S（教師調(diào)出課前利用《玲瓏畫板》軟件設(shè)計(jì)好的模型），拖動交點(diǎn)S變化，則代表過點(diǎn)M的直線l在變化，此時(shí)同學(xué)們觀察直線l與直線AB的位置關(guān)系情況。（教師操作軟件，拖動點(diǎn)S到不同的位置，并且利用軟件的功能展示不同方位觀察角度的3D效果，如下面的圖1、2、3、4為代表）。（圖略）你發(fā)現(xiàn)與直線[A'D']、AB同時(shí)相交的直線有幾條了嗎？

生：（都能立刻回答）有唯一的一條。

由于模型的直觀性，學(xué)生通過模型的幫助較輕松的找到了問題的答案，同時(shí)在這個(gè)過程中有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的空間想象能力。

二、動中有定，現(xiàn)邏輯

當(dāng)學(xué)生通過第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，對問題的答案有了認(rèn)識之后，本人開始引導(dǎo)學(xué)生邏輯推理探究問題中直線l的唯一性。

師：我們知道一條直線和直線外一點(diǎn)能確定唯一一個(gè)平面，假設(shè)直線[A'D']與點(diǎn)M確定平面[α]，那么當(dāng)點(diǎn)S在直線[A'D']上運(yùn)動時(shí)，觀察直線l與平面[α]的關(guān)系是什么？

生：（教師拖動點(diǎn)S，并用陰影區(qū)域標(biāo)注平面[α]，學(xué)生在觀察后大部分能回答）直線l在平面[α]內(nèi)。

師：如果直線l同時(shí)與直線AB相交，那么交點(diǎn)P與直線AB、平面[α]的關(guān)系又是怎樣的？

生：（片刻思考后）點(diǎn)P是直線l、AB與平面[α]三者的交點(diǎn)。

師：好了，而直線AB與平面[α]有多少個(gè)交點(diǎn)呢？

生：（立刻回答）直線AB與平面[α]相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

師：既然只有一個(gè)交點(diǎn)，那相關(guān)的與直線[A'D']、AB都相交的直線l是不是唯一的？

生：（歡快的立刻回答）是。

通過本環(huán)節(jié)的邏輯分析、推理，學(xué)生能明白這唯一一條滿足題意的直線l與直線AB的交點(diǎn)P是怎樣的一個(gè)點(diǎn)，為下一步的探究做好了鋪墊，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、追問作圖，探本源

師：接下來，我們把點(diǎn)P的位置確定下來。依據(jù)前面的分析，即做出平面[α]與直線AB的交點(diǎn)。請大家動動手，試試如何作出點(diǎn)P的位置。自主作圖完成后，同學(xué)們相互之間討論交流一下各自的方法。

生：（學(xué)生在草稿紙上自主作圖）有半數(shù)的學(xué)生能夠順利的完成作圖，討論交流環(huán)節(jié)也比較積極。接下來是學(xué)生代表發(fā)言、老師點(diǎn)評如何作圖，即作圖思路。

師：如圖，（圖略）設(shè)點(diǎn)N為[BB']的中點(diǎn)，則易知直線MN平行于[A'D']，連結(jié)[A'N]并延長交直線AB于點(diǎn)P，顯然[A'N]在平面[α]內(nèi)，故[A'N]與AB的交點(diǎn)即為直線AB與平面[α]的交點(diǎn)，也即滿足題意的唯一直線l就是直線SMP，其3D效果展示圖如下。

本環(huán)節(jié)通過學(xué)生自主作圖、老師講評，可以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì);通過信息技術(shù)的輔助，激發(fā)了學(xué)生作圖的興趣;通過作圖更好的理解題意，再次展現(xiàn)和加深了對解題思維的全過程的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生對問題的積極思考;最終孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、變式探究，話一般

師：變式：將本題中的條件“點(diǎn)M為[CC']的中點(diǎn)”，改為“點(diǎn)M為空間任意一點(diǎn)”，那么這樣的直線有多少條？大家花點(diǎn)時(shí)間思考并討論一下會有哪些情況。

生（自主思考，教師在班上進(jìn)行走動觀察，當(dāng)學(xué)生有了一定的討論成果后，教師開始進(jìn)行成果點(diǎn)評）

師：下面同學(xué)們誰來說說會有哪些情況出現(xiàn)？

生1舉手回答：情況1，當(dāng)點(diǎn)M在直線[A'D']或AB上時(shí)，有無數(shù)條這樣的直線（如圖1）;情況2，當(dāng)點(diǎn)M在過直線[A'D']且與直線AB平行的平面內(nèi)時(shí)，不存在這樣的直線（如圖1）;其它情況為一般情況，這樣的直線有且只有一條。

師：很好，分析的非常全面。（全體學(xué)生自主的為其鼓掌，學(xué)習(xí)的氛圍達(dá)到了高潮）。

師：（教師進(jìn)一步追問）如果把正方體這個(gè)背景去除掉，該問題更一般的表述可以是怎樣的呢？哪位同學(xué)能說說？

生2：（片刻思考）空間有一對異面直線[l1]、[l2]，和任意一點(diǎn)M，過點(diǎn)M引一條直線與直線[l1]、[l2]都相交，問這樣的直線有多少條？

師：概括的非常好，那答案有無變化呢？

生：（非常整齊的回答）沒有！

本環(huán)節(jié)通過變式探究，即“將M點(diǎn)更改為空間任意一點(diǎn)時(shí)，情況又會出現(xiàn)怎樣的變化？”進(jìn)一步的，“拋開本題中正方體的背景，該問題更一般的表述又是如何的呢？”學(xué)生帶著問題輕松步入課堂，通過這樣的變式教學(xué)抽象概括出更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律。

通過以上四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行完整、嚴(yán)密、有層次的分析，讓學(xué)生自主探究，合作討論，自主概括等方式，逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，避免了思維定式，增強(qiáng)了學(xué)生思維的深刻性。同時(shí)，引導(dǎo)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;促進(jìn)了學(xué)生思維能力，實(shí)踐探究能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，最終孕育了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。