王科 王穎 張霆

摘要：“復變函數(shù)與積分變換”是高等院校工科專業(yè)的一門重要基礎課，其在許多領域有廣泛的應用，如何教好這門課程是教師非常關注的問題。通過優(yōu)化教學大綱、加強相關課程的融合、豐富實踐性教學案例、增加演示實驗等幾個方面對復變函數(shù)與積分變換的教學改革進行討論，提高復變函數(shù)與積分變換的教學效果，為應用型人才的培養(yǎng)積累經驗。

關鍵詞：復變函數(shù)與積分變換;課程融合;教學改革

中圖分類號：O1745 文獻標志碼：A

文章編號：2095-5383（2019）01-0102-02

Thoughts on the Teaching Reform of Complex Functions

and Integral Transformation

WANG Ke1a， WANG Ying2，ZHANG Ting1b

（1. a. Department of Information and Computing Sciences;b. School of Electrical Engineering，Chengdu Technological University，Chengdu 611730，China;2. School of Mathematical Sciences， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731，China）

Abstract：Complex Function and Integral Transform is an important basic course in engineering colleges. It has a wide range of applications in many fields. Many teachers pay attention to the problem that how to teach this course. The teaching reform of Complex Funcions and Integral Transform from the aspects of optimization syllabus， strengthening the integration of relevant courses， enriching practical teaching cases， and increasing demonstration experiments was discussed in this artical. It can improve the teaching effect of complex functions and accumulate experience for the construction of applied universities.

Keywords： Complex Function and Integral Transform;curriculum integration;teaching reform

“復變函數(shù)與積分變換”是高等院校工科專業(yè)的重要基礎課程，該課程是實變函數(shù)理論的推廣和發(fā)展，它的許多理論和方法是培養(yǎng)學生思維能力和計算能力的重要工具，并在自動控制、通信原理、信號分析、機械系統(tǒng)、流體力學等諸多領域有廣泛應用。本文將分析如何對復變函數(shù)與積分變換進行教學改革，以便讓學生更好地學習相關專業(yè)課程做好鋪墊。

1“復變函數(shù)與積分變換”教學現(xiàn)狀及存在問題

11

課程內容較多，學生很難構建完整的知識體系

“復變函數(shù)與積分變換”涉及內容較多，一些內容之間的連貫性不強，如果采取蜻蜓點水式全面介紹，會使得學生理解不夠深入，無法構建完整的知識體系。

12學生學習中存在嚴重的畏難情緒

本課程作為高等數(shù)學的后續(xù)課程，與高等數(shù)學知識密切相關，許多理論知識是將實變函數(shù)推廣到復變函數(shù)。大多數(shù)內容都必須使用高等數(shù)學知識來完成，但一些學生對高等數(shù)學知識掌握程度不理想，不能為該課程的學習提供必要的基礎。

13課程理論性較強，缺乏直觀性

“復變函數(shù)與積分變換”作為理論性很強的課程，數(shù)學推導嚴謹，缺乏實際應用背景，這使得教學內容沉悶，學生學習的熱情低落，沒有主動性，這樣導致學生在學習過程中形成依賴，缺乏創(chuàng)新意識。不僅如此，課程需要記住許多結論和公式，這些公式的表達式比高等數(shù)學中的公式更難記憶，例如柯西積分公式、拉普拉斯變換公式等[1-2]。

2教學改革的設計

針對以上問題，應從以下幾個方面來進行改革：

21優(yōu)化教學大綱，理清課程脈絡

教學大綱的制定是教學的重要環(huán)節(jié)，制定合理的教學大綱為教學的開展提供了有力的參考?！皬妥兒瘮?shù)與積分變換”是高等院校工科專業(yè)的重要基礎課程，為了在有限的時間完成有效的教學內容，教師必須優(yōu)化教學大綱，在保證課程嚴謹性的前提下，構建完整的知識體系。所以，該課程應在了解復數(shù)與復變函數(shù)的基礎上，以函數(shù)的解析性為主線，研究常見初等函數(shù)的解析與調和，結合柯西積分定理，著重討論復變函數(shù)在封閉曲線的積分，從而討論復變函數(shù)級數(shù)的求和以及和函數(shù)展開成級數(shù)，并討論其推廣到整個復平面的洛朗級數(shù)，最后講解傅立葉變換和拉普拉斯變換。以上優(yōu)化省略了留數(shù)和共形映射這兩部分，雖然這兩部分也很重要，但并沒有影響到整個知識體系的完整性，課程脈絡清晰，課程結構如下圖所示：

22加強相關課程的融合，促進課程概念理解

多課程融合為我們提供了一種新的教學理念，它不但打通了課程間知識點的聯(lián)系，提高了教學效率，也有利于學生完成綜合性問題的求解，進而提高學生解決實際問題的能力?！皬妥兒瘮?shù)與積分變換”作為高等數(shù)學的后繼課程，同時也為“自動控制原理”“信號與系統(tǒng)”等課程提供了理論基礎。尤其是傅立葉變換，這部分內容的教學一方面通過復變函數(shù)定積分的定義、定積分在對稱區(qū)間的性質推導傅立葉積分公式，讓學生加深對傅立葉變換概念的理解。另一方面，通過與“信號與系統(tǒng)”“自動控制原理”等課程結合，明確傅立葉變換的實際意義，比如頻譜分析，即信號頻譜分析是將時域信號變換至頻域加以分析的方法稱為頻譜分析，其目的是把復雜的時間歷程波形，經過傅里葉變換分解為若干單一的諧波分量來研究，以獲得信號的頻率結構以及各諧波和相位信息。所以，雖然傅立葉變換可以將微分方程變成代數(shù)方程，將卷積變成乘積，但從實際意義來看，可以說傅立葉變換是時域和頻域的一種轉換，所以傅立葉變換應從時域和頻域兩個方面來考慮它的性質，即平移性質、微分性質、積分性質、卷積計算都有時域性質和頻域性質，具體如下圖所示：

23結合專業(yè)特點，豐富實踐性案例

“復變函數(shù)與積分變換”課程教學真正做到有的放矢，應結合專業(yè)特點，使得教學更具有針對性。在課堂教學中根據學生所在專業(yè)設計豐富的實踐性案例，這樣可以有效提高學生的學習積極性。對于自動化專業(yè)的學生應多講解一些信號與系統(tǒng)中的案例，比如連續(xù)系統(tǒng)的時域分析和頻域分析，主要利用的就是復變函數(shù)與積分變換中周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅立葉變換，以及在此基礎上研究連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析，即拉普拉斯變換及相關的應用。對于測試與控制專業(yè)應多講解一些控制系統(tǒng)的相關案例，比如對于控制系統(tǒng)的時域分析和頻域分析，即一階、二階控制系統(tǒng)的階躍響應，主要利用復變函數(shù)與積分變換的零點、極點的判斷，以及在此基礎上研究代數(shù)穩(wěn)定的判據，即討論微分方程解的穩(wěn)定性等。

24通過演示實驗，增強計算和概念的直觀理解

在教學過程中，適當補充一些演示實驗，用數(shù)學軟件快速進行數(shù)值計算，比如計算函數(shù)值的實部、虛部和冪等，簡化繁瑣的問題，并用數(shù)學軟件繪制復變函數(shù)與積分變換的圖形，讓學生直觀地了解新知識。例如，在解釋三角函數(shù)時，復數(shù)正弦和復數(shù)余弦具有奇偶性、周期性、可微性等，盡管它們與實數(shù)中的正弦和余弦形式上相同[3]。但是，在復數(shù)域中，正弦和余弦不再有界。又比如，“復變函數(shù)與積分變換”中的歐拉公式，該公式將復數(shù)三角表示轉變?yōu)橹笖?shù)表示，雖然形式簡單，結果卻驚人，被譽為“數(shù)學中的天橋”。對于傅立葉變換的頻譜分析，應結合信號與系統(tǒng)將振幅譜和相位譜概念講清楚，通過實驗演示，讓學生認識到機械領域的人利用歐拉公式圓周與振動運動的互相轉換，以此創(chuàng)造了縫紉機，如圖3所示。

當曲柄遙感機構圖片中OP作圓周運動的時候，PQ在水平線之間作正弦振動（保持Q的橫向位置不變），從而說明了這個機構就是縫紉機的腳踏板機構。

3教學改革的效果

通過以上改革，學?！皬妥兒瘮?shù)與積分變換”課程課堂上學生的出勤率、作業(yè)完成率和課堂學習效率得到了大幅度提高，成績較以往有了大幅度提升，不及格率從以往的50%以上下降到30%以內。在實踐教學方面，學生興趣也有所增加，通過Matlab軟件自己動手完成一些復變函數(shù)與積分變換中的實驗。比如，畫出多個波形疊加的圖形，觀察圖形的變換。同時，在學習后繼的專業(yè)課程的時候，任課教師感到學生傅里葉變換和拉普拉斯變換掌握較好，為以后的學習做了良好鋪墊作用。

4結語

為了讓“復變函數(shù)與積分變換”課程更好地為后續(xù)的專業(yè)課程服務，優(yōu)化教學大綱、加強相關課程的融合、豐富實踐性教學案例、增加演示實驗等，并輔之合理的考核方式，必將有利于教學效果的提升。學校教師要以“復變函數(shù)與積分變換”的教學改革為突破口，將該課程的改革思想融入到其它理論課程中，為應用型人才的培養(yǎng)積累經驗[4]。參考文獻：

[1]

李澤. 復變函數(shù)與積分變換課程教學改革淺談[J]. 數(shù)學學習與研究：教研版，2017（21）：34.

[2]謝娟，邱劍鋒. 復變函數(shù)與積分變換教學改革研究與實踐[J]. 合肥師范學院學報，2009（3）： 2628，44.

[3]谷菲菲. 工科復變函數(shù)與積分變換教學改革的探索[J]. 科教文匯，2016（14）：3031.

[4]劉顯全. 復變函數(shù)教學法探討[J]. 大學數(shù)學，2012，28（2）：156158.