齊志強(qiáng)

（中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009）

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)目前已廣泛應(yīng)用于精確制導(dǎo)武器系統(tǒng)和其他需要導(dǎo)航定位的平臺(tái)上，如飛機(jī)、船舶、車輛等。衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)采用擴(kuò)頻技術(shù)，到達(dá)地面的信號(hào)強(qiáng)度比白噪聲低20 dB左右，工作頻率固定，很容易遭到敵方的壓制干擾而導(dǎo)致無(wú)法正常工作［1］，因此，抗干擾能力成了制約衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)應(yīng)用的瓶頸［2］。為了滿足在復(fù)雜電磁環(huán)境下的應(yīng)用需求，軍用衛(wèi)星導(dǎo)航定位產(chǎn)品多采用陣列處理天線來(lái)提高抗干擾能力［3］。

目前采用陣列信號(hào)處理來(lái)進(jìn)行衛(wèi)星定位系統(tǒng)的抗干擾處理算法主要有兩大類:一類是閉環(huán)算法，另一類是開環(huán)算法。常用的閉環(huán)算法以LMS算法為典型代表，該算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，因而成為美軍早期采用的主要的抗干擾算法。但該算法的收斂速度與其輸出協(xié)方差矩陣的特征值分布相關(guān)，其收斂速度隨著干擾信號(hào)強(qiáng)度和干擾信號(hào)的類型變化而變化，當(dāng)特征值散布較大時(shí)，收斂速度慢［4］，特別是在動(dòng)態(tài)載體上難以收斂到最優(yōu)值。開環(huán)算法的收斂速度快，被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)抗干擾處理的最優(yōu)算法［5］，已成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)方向。開環(huán)算法主要有多級(jí)維納濾波MSNWF（Multistage Nested Wiener Filter）和 SMI（Sample Matrix Inversion）算法［6-7］，MSNWF算法雖然具有良好的降秩性能，但降秩處理會(huì)影響陣列自由度，使干擾抑制性能下降［8］，而且MSNWF算法包含前向迭代和后向迭代，當(dāng)振元數(shù)目過(guò)多時(shí)，計(jì)算量迅速增加，難以滿足實(shí)時(shí)性的要求［9］。傳統(tǒng)的SMI算法需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，硬件系統(tǒng)復(fù)雜［10］，實(shí)現(xiàn)困難［11］，為解決此問(wèn)題，通常用矩陣分解的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文主要闡述基于Cholesky分解的自適應(yīng)抗干擾算法應(yīng)用研究。

1 自適應(yīng)抗干擾算法

衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)由于接收到的信號(hào)比較弱，湮沒在白噪聲中，而干擾信號(hào)比較強(qiáng)，常用的抗干擾算法主要有自適應(yīng)調(diào)零和自適應(yīng)波束形成技術(shù)，自適應(yīng)波束形成技術(shù)被認(rèn)為是干擾抑制最有效的工具之一［12］。文獻(xiàn)［12］推導(dǎo)的自適應(yīng)波束形成算法最終需要求得的權(quán)值表達(dá)式為:

式（1）中，a（θd）為陣列在 θd方向的陣列響應(yīng)，R 為輸入信號(hào)的協(xié)方差矩陣，a（θd）和 R 的求解在文獻(xiàn)［12］中已有詳細(xì)的推導(dǎo)，這里不再重復(fù)。從式（1）中易見，權(quán)值求解的關(guān)鍵在于求得協(xié)方差矩陣R的逆矩陣。

2 矩陣求逆的方法

自適應(yīng)抗干擾算法的主要運(yùn)算，最終歸結(jié)為對(duì)輸入信號(hào)的協(xié)方差矩陣求逆問(wèn)題。矩陣求逆的方法較多，而矩陣求逆方法的選擇不僅關(guān)系硬件資源的占用量，還關(guān)系著權(quán)值的更新速度。因此，對(duì)于硬件平臺(tái)來(lái)說(shuō)，由于硬件資源有限，需要找到一種既耗費(fèi)資源少，又可以快速完成矩陣求逆的方法。

矩陣求逆最基本的方法是Gauss消元法，但該方法計(jì)算步驟繁多，運(yùn)算量大，不適合硬件實(shí)現(xiàn)。硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)通常采用矩陣分解的方法，將矩陣轉(zhuǎn)換為特殊矩陣，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。矩陣分解常用的方法有LU 分解［13］，QR 分解，Cholesky分解等方法，LU 分解結(jié)果不唯一；QR分解需要將矩陣分解為一個(gè)正交矩陣和一個(gè)上三角矩陣，并且需要求平方和開根號(hào)，步驟繁多，利用硬件實(shí)現(xiàn)比較困難［14］；Cholesky分解需要用到開方和除法，不太適合FPGA實(shí)現(xiàn)，但近年來(lái)隨著FPGA的規(guī)模越來(lái)越大，用FPGA來(lái)完成Cholesky變換，資源問(wèn)題已不再成為問(wèn)題的瓶頸［15-16］，因此，本文擬采用Cholesky分解來(lái)實(shí)現(xiàn)權(quán)值求解。

3 Cholesky分解求權(quán)值方法

R是秩為n的赫米特矩陣，利用Cholesky分解可求得下三角矩陣G，使R=GGH。

矩陣R可以寫作如下形式:

則存在下三角矩陣:

由式（3）可知，要得到矩陣G，需要分3步走:

第3步:求解矩陣G1。令，則有，G1為下三角矩陣，顯然，矩陣G1的求解過(guò)程和矩陣G的求解過(guò)程相同，先算出矩陣R1，然后采用相同的方法即可逐步求出矩陣G1中的全部元素。

將式（4）兩邊同乘以 R，并將R=GGH帶入，可得:

式（5）中 a（θd）為 n×1 的列向量，G 為 n×n 的下三角矩陣，令，則T為n×1的列向量，式（5）可以寫為:

式（6）可以用Gauss消元法求得T，以n=4為例，式（6）可以寫為:

由式（7）可求得 T，

4 FPGA實(shí)現(xiàn)

用FPGA實(shí)現(xiàn)Cholesky分解求權(quán)值，需要3個(gè)功能模塊，如圖1所示:

圖1 Cholesky分解求權(quán)值模塊結(jié)構(gòu)圖

控制模塊負(fù)責(zé)協(xié)方差矩陣R和導(dǎo)向矢量a（θd）的調(diào)取，協(xié)調(diào)Cholesky分解模塊和Gauss消元模塊的數(shù)據(jù)進(jìn)出及時(shí)序控制，并將最終求得的權(quán)值輸出。

Cholesky分解模塊完成對(duì)協(xié)方差矩陣R的分解，求出下三角矩陣G。由上面的介紹可知，Cholesky分解由3個(gè)計(jì)算單元組成:第1個(gè)計(jì)算單元進(jìn)行開方運(yùn)算，求出矩陣G的第1個(gè)元素，；第 2個(gè)計(jì)算單元求出矩陣G的第1列其他元素，；第3個(gè)計(jì)算單元更新下三角矩陣中的其他元素，即求出。由于下三角矩陣G1為n-1維矩陣，因此，上述3個(gè)計(jì)算單元可在控制模塊作用下重復(fù)利用，最終完成下三角矩陣G的求解。

Gauss消元模塊只需要一個(gè)計(jì)算模塊即可完成兩次Gauss消元的全部運(yùn)算，以4振元為例，只需完成計(jì)算模塊，當(dāng)計(jì)算t1時(shí)，控制模塊將a1賦給a4，將G11賦給G44，其他元素賦0即可，在控制模塊作用下，依次算出 t1，t2，…，t4。

上述計(jì)算過(guò)程多是順序執(zhí)行，需要幾百個(gè)時(shí)鐘周期才可以完成一次權(quán)值更新，但協(xié)方差矩陣也是需要多個(gè)時(shí)鐘周期的樣本數(shù)據(jù)才可求得［12］，即使1 000個(gè)時(shí)鐘周期更新一次權(quán)值，以系統(tǒng)時(shí)鐘62 MHz為例，更新周期也只有16 μs，足以滿足高動(dòng)態(tài)條件下的權(quán)值更新要求。

表1列出了幾種常用自適應(yīng)抗干擾算法的比較情況，其中M代表陣列的維數(shù)，D表示MSNWF降秩后的維數(shù)。

表1 幾種常用自適應(yīng)抗干擾算法的比較

從表1可以看出，SMI算法性能最優(yōu)，但計(jì)算復(fù)雜度也最高，因?yàn)樵撍惴ㄐ枰_方和除法運(yùn)算，這也是很多人望而卻步的原因。本文所述方法由于可以實(shí)現(xiàn)資源復(fù)用，僅需要1個(gè)開方模塊和1個(gè)除法模塊，乘法器也可以復(fù)用，cholesky分解所需乘法器數(shù)量?jī)H和LMS算法相當(dāng)，因此，該算法對(duì)資源的需求并不是特別大，完全可以用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié)論

本文所述的基于Cholesky分解的自適應(yīng)抗干擾算法巧妙地回避了矩陣求逆運(yùn)算，大幅度降低了運(yùn)算復(fù)雜度，掃除了利用FPGA實(shí)現(xiàn)的障礙。按照文獻(xiàn)［12］所述方法，已在工程上實(shí)現(xiàn)，其抗干擾效果可達(dá)80 dB以上，特別是在高動(dòng)態(tài)載體上，依然可以獲得優(yōu)異的抗干擾性能。該方法不但可以應(yīng)用于空域抗干擾技術(shù)，也適用于空時(shí)抗干擾算法，應(yīng)用前景廣泛。當(dāng)載體姿態(tài)不易獲知時(shí)，可以將導(dǎo)向矢量a（θd）設(shè)為固定值，以4振元為例，當(dāng)時(shí)為常用的功率倒置算法［17］，時(shí)則為Capon空域自適應(yīng)抗干擾方法，當(dāng)時(shí)為空時(shí)聯(lián)合抗干擾方法［18］。