李 成，晉玉猛，田文飚

（1.91001部隊(duì)，北京100036；2.中國(guó)新興鑄管股份有限公司，河北邯鄲056300；3.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

如今，許多信號(hào)寬帶較大，常規(guī)采樣器件可能有采集壓力，但在典型應(yīng)用中這些信號(hào)的“信息速率”通常很小。近年來(lái)，在壓縮感知[1-4]（Compressed Sensing，CS）框架下，可以通過(guò)多尺度壓縮感知（基于數(shù)字信號(hào)）獲取壓縮表示形式[5-8]，但這種模式還是基于傳統(tǒng)的先高速采樣、后大量丟棄的思路。人們開始考慮能否在執(zhí)行模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)同時(shí)實(shí)現(xiàn)壓縮，即直接獲取壓縮表示，然后完全重構(gòu)其稀疏信息。

CS框架下的直接信息采樣[9-11]（Analog-to-Information Conversion，AIC）技術(shù)非常適合這些應(yīng)用場(chǎng)景，已在機(jī)器學(xué)習(xí)[12]、圖像壓縮[13]、視頻壓縮[14]、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)[15]以及模式識(shí)別[16]等等眾多領(lǐng)域應(yīng)用，能夠大大降低數(shù)據(jù)采集速率（匹配信號(hào)的信息速率），因?yàn)锳IC能夠僅關(guān)注輸入信號(hào)當(dāng)中的信息，而這些信息往往是稀疏的。另外，有些信號(hào)盡管不是絕對(duì)稀疏的，但它們?cè)谙裥〔ㄓ蜻@樣的變換域中可壓縮。國(guó)際上對(duì)AIC的研究取得了一些成果[9-10]，它們往往假設(shè)信號(hào)在頻域稀疏（存在有限個(gè)整數(shù)頻率分量），對(duì)信號(hào)進(jìn)行均勻低速的隨機(jī)觀測(cè)。這往往存在局限性，例如：采集對(duì)象為非多音信號(hào)的情況，均勻采樣忽視了信號(hào)中不同的尺度在重構(gòu)中占據(jù)的不同地位[17]。小波[18]在信號(hào)壓縮中的優(yōu)勢(shì)不言而喻，現(xiàn)考慮建立多尺度直接信息采樣框架，在采樣的同時(shí)，針對(duì)信號(hào)的不同尺度，實(shí)行不同的觀測(cè)速率即進(jìn)行不同程度的壓縮并重構(gòu)。

1 自適應(yīng)直接信息采樣框架

1.1 AIC設(shè)計(jì)方案

直接信息采樣系統(tǒng)由3部分組成：解調(diào)器、積分器以及常規(guī)采樣單元，AIC設(shè)計(jì)方案如圖1所示。模擬信號(hào)首先被一個(gè)NHz（信號(hào)x(t)的Nyquist頻率）的偽隨機(jī)最大長(zhǎng)度PN序列pc(t)解調(diào)，其取值為±1，即

接著，對(duì)解調(diào)后的信號(hào)進(jìn)行低通濾波，這里的低通濾波簡(jiǎn)化為一個(gè)積分過(guò)程，完成Ms時(shí)間內(nèi)解調(diào)信號(hào)的累加。解調(diào)的目的在于擴(kuò)展頻譜以保證低通濾波后信息的完整性。最后，利用常規(guī)的ADC器件以速率M進(jìn)行采樣、量化后得到信息觀測(cè)值序列y[m]。

圖1 AIC設(shè)計(jì)方案Fig.1 Composition block diagram ofAIC

1.2 信號(hào)模型

信號(hào)x(t)在小波域稀疏或近似稀疏，將其在小波基上展開：

式（1）中：aj0,k為信號(hào)x()t的第j0級(jí)尺度系數(shù)；dj,k為信號(hào)x(t)的第j級(jí)小波系數(shù)。將信號(hào)x(t)的j級(jí)小波分解系數(shù)表示成矢量形式：

根據(jù)稀疏性假設(shè)，α中非零元素或大系數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系數(shù)的總數(shù)。

不妨在1 s內(nèi)考察整個(gè)系統(tǒng)（當(dāng)然也可以選擇其他時(shí)間分辨率），現(xiàn)以離散時(shí)間表示信號(hào)，令

式中，T1=N為PN序列一個(gè)碼元的持續(xù)時(shí)間，在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)PN序列取值為一個(gè)常數(shù)。因此，可以先來(lái)考察積分器對(duì)信號(hào)的作用：

這里，Φ(t)、Ψ(t)分別為尺度函數(shù)φ(t)、小波函數(shù)ψ(t)的原函數(shù)。

定義N×N矩陣：

于是，式（2）可寫為矩陣形式β=W′α。

1.3 自適應(yīng)直接信息采樣

因?yàn)镻N序列一個(gè)碼元的持續(xù)時(shí)間為T1=N，在1 s內(nèi)PN序列的N個(gè)碼元構(gòu)成切割序列（Chipping Sequence）ε0,ε1,…,εN-1對(duì)信號(hào)的作用可寫成矩陣形式β?Dβ，其中，

接下來(lái)考察低速采樣器的影響。信號(hào)觀測(cè)值可表示為：

當(dāng)T1能夠整除T2時(shí)（即M整除N），式（3）中的積分可以分解為個(gè)積分區(qū)間長(zhǎng)度為T1的子積分，且在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)pc(τ)為一個(gè)常數(shù)。低速采樣器的作用可表示為一個(gè)M×N的矩陣H，其第i行從第列起為個(gè)連續(xù)的1，其余項(xiàng)均為0，i∈[0,M-1]。當(dāng)T1不能整除T2時(shí)，則說(shuō)明存在某些對(duì)觀測(cè)值需要“共享”PN序列的一個(gè)碼元。文獻(xiàn)[11]中給出了一種近似：

由α的結(jié)構(gòu)知道，其中尺度系數(shù)(aj0,?) 蘊(yùn)含了大部分信號(hào)能量，考慮利用傳統(tǒng)的Nyquist采樣方式對(duì)其采集，而精細(xì)系數(shù)則用壓縮采樣的方式采集。

2 信號(hào)重構(gòu)算法

矩陣W′的計(jì)算涉及第j0級(jí)尺度函數(shù)和第1至j0級(jí)小波函數(shù)的定積分，計(jì)算比較復(fù)雜，另外，現(xiàn)有算法往往基于均勻采樣，因而在本文框架下實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)速率采樣后性能將大幅下降?？煽紤]對(duì)W′進(jìn)行簡(jiǎn)化。實(shí)現(xiàn)步驟如下：

式（6）中：H和G是分解低通和高通濾波器矩陣，分別由具有p消失矩的小波生成，它們的每一行都是一個(gè)長(zhǎng)度為2j-1的矢量，如：

第i行則由其循環(huán)右移2( )i-1次；E為單位陣。

可以證明，這樣構(gòu)造的W是一個(gè)正交小波變換矩陣，而WT是逆變換矩陣。

定理1：令x為一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)矢量，X為其j-級(jí)正交小波變換，它們滿足：

式（7）、（8）中：W滿足式（5）、（6）定義，且WWT=E；X=[ajdj…d2d1]TN×1，其中，aj和dj為x的第j-級(jí)粗系數(shù)和精系數(shù)。

根據(jù)小波變換的定義：

且小波分解可用矩陣形式描述aj+1=Hj+1?aj，dj+1=Gj+1?aj。令

x=WTX。

恰如式（8），定理得證。

算法1：自適應(yīng)正交匹配追蹤（Adaptive Orthogonal Matching Pursuit，AOMP）。

AOMP（Φ,y）

Input：觀測(cè)矩陣ΦM×N，觀測(cè)值yM×1，正交小波矩陣WN×N，最大迭代次數(shù)m（稀疏度）

Output：目標(biāo)信號(hào)估計(jì)x?N×1

通過(guò)引入弱匹配因子μ，避免了常規(guī)貪婪算法需要稀疏度已知的難題，由迭代停止條件 ‖rn‖2＞‖rn-1‖2可知，迭代過(guò)程中rn能量單調(diào)遞減，算法至少收斂到一個(gè)局部最小點(diǎn)。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 自適應(yīng)直接信息采樣重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證自適應(yīng)直接信息采樣和AOMP算法的有效性，使用長(zhǎng)度為4 096點(diǎn)的測(cè)試信號(hào)作為Matlab/Simulink環(huán)境中的模擬輸入。其Nyquist采樣頻率為8 kHz，原始信號(hào)如圖2 a）所示。測(cè)量數(shù)M為1 024，選取sym3小波基，小波閾值ξ分別設(shè)置3個(gè)不同的值10-2、10和102以重構(gòu)原始輸入并對(duì)照。恢復(fù)信號(hào)的平均幀重構(gòu)信噪比（Average Frame-Reconstruction SNR，AFSNR）為34.22dB、34.51dB和32.1dB，即，盡管信號(hào)僅通過(guò)Nyquist采樣頻率的25%進(jìn)行測(cè)量，但絕大多數(shù)能量或信息包含在自適應(yīng)直接信息采樣的壓縮觀測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)中。

式中：J為總幀數(shù)；xi和x?i為第i幀原信號(hào)及其重構(gòu)信號(hào)。

圖2 原信號(hào)以及3個(gè)閾值下的重構(gòu)信號(hào)Fig.2 Original signal and reconstructed signal at three thresholds

3.2 壓縮性能分析

對(duì)提出的多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)和原始AIC系統(tǒng)的AFSNR性能進(jìn)行了比較，采樣率（M/N）范圍為10%～100%。多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)基于sym3和db2正交小波矩陣和AOMP重建算法，而原始AIC系統(tǒng)基于離散余弦變換（DCT）和OMP恢復(fù)算法。

從圖3中可以看出，隨著采樣率的提高，AFSNR性能會(huì)越來(lái)越好。此外，發(fā)現(xiàn)多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)具有比原始AIC系統(tǒng)更好的性能，并且sym3小波矩陣的AFSNR性能略好于db2小波。

3.3 分解級(jí)數(shù)對(duì)重構(gòu)性能的影響

信號(hào)與前次實(shí)驗(yàn)相同，壓縮比固定為25%，在多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)中，基于sym3和db2正交小波矩陣和AOMP重建算法考察不同分解級(jí)數(shù)對(duì)重構(gòu)性能的影響，考慮到信號(hào)長(zhǎng)度，級(jí)數(shù)從1步進(jìn)到10，結(jié)果如圖4所示。

圖3 壓縮性能分析對(duì)比圖Fig.3 Comparison of compression performance

圖4 分解級(jí)數(shù)對(duì)重構(gòu)性能的影響分析Fig.4 Influence analysis of decomposition level on reconstruction performance

圖4表明，在分解級(jí)數(shù)較少的情況下（小于4），信號(hào)幾乎不能重建，原因是其分解系數(shù)不夠稀疏。此外，為達(dá)到相同的重構(gòu)性能，sym3小波基下的重構(gòu)要求的分解級(jí)數(shù)更少，而同樣分解級(jí)數(shù)下，sym3小波基下的重構(gòu)準(zhǔn)確性比db2小波基下的重構(gòu)準(zhǔn)確性更好。

4 結(jié)論

本文提出了一種多尺度自適應(yīng)直接信息采樣與重構(gòu)方法，通過(guò)在直接信息采樣系統(tǒng)中引入自適應(yīng)信息采樣，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)不同尺度的稀疏系數(shù)進(jìn)行不同程度的壓縮。該方法易實(shí)現(xiàn)，通過(guò)在恢復(fù)端引入小波矩陣等效地解決了信號(hào)壓縮采集融合的問(wèn)題。提出了自適應(yīng)OMP算法，仿真結(jié)果表明，多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)可以獲得比傳統(tǒng)AIC系統(tǒng)更好的AFSNR性能。

下一步可將多尺度自適應(yīng)AIC系統(tǒng)推廣使之適應(yīng)不同的稀疏字典。