甘振軍

[摘? ?要]近幾年中考越發(fā)注重以教材問題為題源，通過適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新、拓展來綜合考查學(xué)生的能力 .該類題型既綜合了教材重要的公式、定理，又具有一定的創(chuàng)新性，對學(xué)生的思維能力要求較高，教師在教學(xué)中要引起重視.

[關(guān)鍵詞]教材;模型;考題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0017-02

【問題起源】

“以教材為題源，從課本走向生活”是近幾年中考的命題理念，考題命制越發(fā)注重緊扣教材、貼近生活，重視應(yīng)用 .在八年級數(shù)學(xué)教材中有這樣一道題：一位將軍向古希臘海倫請教問題，他每天需要從軍營A地出發(fā)，到河邊l去飲馬，然后再到河岸同側(cè)的B地（如圖1），想知道怎樣選擇飲馬地點(diǎn)才能使整個(gè)行走路程最短 .本題就是教材著名的“將軍飲馬”問題 .

【衍生試題】

定義：如圖2所示，點(diǎn)A、B為直線l同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)[A']，然后連接[A'B]，交直線l于點(diǎn)P，連接AP，稱點(diǎn)P為點(diǎn)A和B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)” .

運(yùn)用：在圖3所示的坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，[3]），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，[-3]） .

（1）在點(diǎn)C [4，32]、D [4，22]、E [4，14]三點(diǎn)中，點(diǎn)_______是點(diǎn)A和B關(guān)于直線[x=4]的等角點(diǎn);

（2）若直線l垂直于坐標(biāo)的x軸，而點(diǎn)[P（m，n）]是點(diǎn)A和B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，已知[m>2]，∠APB = [α]，試證明tan[α2] =[ n2];

（3）如果點(diǎn)P是點(diǎn)A和B關(guān)于直線[y=ax+b]（[a≠0]）的等角點(diǎn)，并且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=[60°]時(shí)，試求b的取值范圍 .

【試題解答】

第（1）小題：分析點(diǎn)A和B關(guān)于直線[m=4]的等角點(diǎn)，首先需要作點(diǎn)A關(guān)于直線[x=4]的對稱點(diǎn)[A']，可得[A']（6，[3]），然后求解直線[A'B]的解析式，可得[y=34x-32]，等角點(diǎn)就為直線[A'B]與直線[x=4]的交點(diǎn)，將[x=4]代入解析式，可得[y=32]，則等角點(diǎn)的坐標(biāo)為[4，32]，應(yīng)為點(diǎn)C .

第（2）小題：設(shè)定點(diǎn)[P（m，n）]為點(diǎn)A和B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，求證等式成立，等式的左側(cè)是關(guān)于[α2]的正切值，因此需要構(gòu)建∠APB的[12]角，等式的右側(cè)中含有n，n為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)值.因此考題實(shí)際上就是構(gòu)建[12] ∠APB的正切值與n的關(guān)系 .需要構(gòu)建直角三角形 .而對于n值的求解，則需要結(jié)合上述的等角點(diǎn)的定義，構(gòu)建相應(yīng)的求解模型 .因此考題求解應(yīng)為兩步進(jìn)行 .第一步，基于等角定義構(gòu)建[α2]角，求解m;第二步，應(yīng)用三角函數(shù)構(gòu)建策略求證等式 .

點(diǎn)P是點(diǎn)A和B關(guān)于直線[x=m]的等角點(diǎn)，根據(jù)定義可知點(diǎn)A和[A']關(guān)于直線[x=m]對稱，由對稱性質(zhì)可知PA=[PA']、∠APG = ∠BPH、∠A = ∠[A'].由幾何知識可知∠APB=∠A+∠[A']，所以∠A=∠[A']= [α2] .

如圖4，過點(diǎn)B作直線[x=m]的垂線，垂足為H，可證△AGP [?]△BHP，由相似性質(zhì)可得[AGBH=GPHP]，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可解得[mn=23]，則[m=23n] .

在Rt△AGP中，tanA=tan[α2]=[GPAG]=[3-nm-2]=[3-n23n-2]= [n2]，得證.

第（3）小題：分析條件可知點(diǎn)P在以AB為弦，所對圓周角為[60°]，并且圓心在AB下方的圓上 .如果該圓與[y=ax+b]相交，設(shè)其另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，如圖5，根據(jù)對稱性可知∠APQ=∠[A']PQ，進(jìn)一步可證△ABQ為等邊三角形，點(diǎn)Q為一定點(diǎn) .根據(jù)幾何性質(zhì)可得點(diǎn)A（2，[3]），B（-2，[-3]），由三角形相似性質(zhì)可得ON =[23]，NQ =3，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，[-23]）.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BQ的解析式為[y=-35x-735]，直線AQ的解析式為[y=-33x+73] .則點(diǎn)P的位置介于點(diǎn)A和B之間，只需要分別求點(diǎn)P與點(diǎn)A和B相重合的情形即可 .

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B相重合，則直線PQ和BQ重合，分析解析式可得[b=-735];當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A相重合，則直線PQ和AQ重合，分析解析式可得[b=73] .

考慮到點(diǎn)P位于AB的下方，則取值范圍為[b<-735]，且[b≠23]，或者[b>73].

【多解探析】

第（2）小題實(shí)際上還可以采用如下解題方法 .

方法一：用點(diǎn)的對稱關(guān)系.

設(shè)直線[A'B]與x軸相交于點(diǎn)M，直線l：[x=m]與x軸相交于點(diǎn)N，連接MN，如圖6所示 .

點(diǎn)A與[A']關(guān)于直線l：[x=m]對稱，利用點(diǎn)的對稱性質(zhì)可得點(diǎn)[A']的坐標(biāo)為（[2m-2，3]），圖中的∠1與∠[A']的大小相等，均為[α2]，點(diǎn)[A']和B的y軸坐標(biāo)值相加為0，即[yA'+yB=0]，所以兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對稱 .由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得[xM=m-2]，則MN=2，在Rt△PMN中，tan∠M=tan[α2]=[PNMN]= [n2]，得證 .

方法二：利用直線斜率.

已知點(diǎn)P （m，n）是點(diǎn)A和B關(guān)于直線[x=m]的等角點(diǎn)，根據(jù)等角點(diǎn)的定義可得點(diǎn)A關(guān)于直線[x=m]的對稱點(diǎn)為[A']，利用點(diǎn)對稱的性質(zhì)可得其坐標(biāo)（[2m-2，3]），又已知A（2，[3]），B（-2，[-3]），從而可求得直線[A'P]和[A'B]的斜率分別為[kA'P=3-nm-2]，[kA'B=3m] .由于直線[A'P]和[A'B]共線，則[kA'P]=[kA'B]，可解得[3m] = [n2] .同樣在Rt△AGP中構(gòu)建∠A的正切值，即tanA=tan[α2]=[GPAG=][3-nm-2]=[ n2]，得證.

【教學(xué)反思】

本題是以教材“最短路徑”模型衍生的新定義題，從試題的求解過程來看，需要提升學(xué)生兩方面的能力：一是解題模型的應(yīng)用能力;二是問題轉(zhuǎn)化分析的能力 .

下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議 .

1.關(guān)注教材基礎(chǔ)，開展知識遷移.上述考題的解題模型是教材中的“將軍飲馬”模型，該模型是求解線段最值問題的常用模型，其解題本質(zhì)是一致的 .學(xué)生如能深刻理解教材內(nèi)容，則在解題時(shí)可以快速地完成思路的構(gòu)建 .因此在平時(shí)的教學(xué)中，需要教師重視教材知識的講解，不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的公式、定理，還要重視教材典型問題的講解，從中提煉解題模型，指導(dǎo)學(xué)生掌握基本模型的解題思路 .在此基礎(chǔ)上開展模型的拓展應(yīng)用，讓學(xué)生完成知識的遷移學(xué)習(xí) .

2.加強(qiáng)思維拓展，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.近幾年的中考試題雖然注重從教材中衍生問題，但依然遵循“培養(yǎng)學(xué)科創(chuàng)新精神”的原則，即以教材知識為出發(fā)點(diǎn)，融合創(chuàng)新元素.如上述考題關(guān)于“等角點(diǎn)”的新定義 .該類問題有著較高的命題立意，如不對學(xué)生加以針對性指導(dǎo)，學(xué)生很容易陷入思維誤區(qū) .因此，在教學(xué)中，教師要注重知識的重組，鼓勵(lì)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)問題，探尋問題的解題方法，讓學(xué)生在自主探究中獲得思維的拓展 .同時(shí)，教師要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多解探析，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的綜合素質(zhì) .

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）