徐建新
[摘? ?要] “方程的根”是一個靜態(tài)的點,等價轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)的零點”的動態(tài)過程,體現(xiàn)了“動”“靜”轉(zhuǎn)化的思想,為利用二分法求方程的近似解奠定基礎 .函數(shù)零點存在性定理是判斷函數(shù)零點的重要依據(jù),教學的難點在于將“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”. 教學設計應注重分析圖像特征,歸納代數(shù)表示,提煉定理,為構(gòu)建靈動的數(shù)學課堂做準備.
[關(guān)鍵詞]方程的根;函數(shù)零點;圖像特征;教學設計
[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2019)14-00013-03
一、教學目標
1. 能結(jié)合具體函數(shù)的圖像,理解方程的根、相應函數(shù)圖像與[x]軸的交點以及函數(shù)零點的關(guān)系,掌握函數(shù)零點的概念;
2. 能借助具體函數(shù)的圖像,掌握“函數(shù)零點存在性定理”;
3. 能利用函數(shù)圖像和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù);
4. 能將一個方程求根問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)零點問題,會判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間;
5. 能體會從特殊到一般、從具體到抽象的認知學習過程,培養(yǎng)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想,提升數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).
二、 教學重難點
教學重點:函數(shù)零點的概念;函數(shù)零點與方程的根的聯(lián)系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法.
教學難點:用函數(shù)與方程的思想將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;零點存在性定理探究過程中“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”.
三、 教學過程
1.創(chuàng)設情境,提出問題
問題1:下列方程有幾個實根?你是如何判斷的?
設計意圖:對于方程(1),學生可用十字相乘法、公式法、判別式法等判斷方程根的個數(shù).但對于方程(2)的“大數(shù)據(jù)”,若運用方程(1)所涉及的方法會很煩瑣. 因此,可引導學生考慮二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系,思考能否利用二次函數(shù)[f(x)=628x2+529x+107]的圖像來判斷根的個數(shù).從學生熟悉的二次方程入手,降低起點. 問題導向從簡到繁,充分調(diào)動學生探究未知問題的積極性,開門見山,直接引入本節(jié)課的教學內(nèi)容.
2.回顧舊知,探索新法
問題2:(1)結(jié)合圖1,請觀察并說明二次方程[x2-2x-3=0]的根和二次函數(shù)[y=x2-2x-3]的圖像與[x]軸的交點的關(guān)系;(2)復習二次方程[ax2+bx+c=0(a≠0)]的根和二次函數(shù)[y=ax2+bx+c(a≠0)]的圖像與[x]軸的交點的關(guān)系;(3)請歸納方程[f(x)=0]的根與函數(shù)[y=f(x)]的圖像與[x]軸的交點的關(guān)系.
(方程[f(x)=0]的根就是函數(shù)[y=f(x)]的圖像與[x]軸的交點的橫坐標.)
設計意圖:學生已了解二次函數(shù)圖像與方程根的關(guān)系,通過表格幫助學生梳理“三者”之間的關(guān)系,再提出一般問題. 三個問題從特殊到一般,從具體到抽象,滲透“從最簡單、最熟悉的問題入手解決較復雜的問題”的研究思路, 有利于培養(yǎng)學生的歸納能力和數(shù)學抽象素養(yǎng).
3.抽象概括,形成概念
根據(jù)概念“對于函數(shù)[y=f(x)],把使[f(x)=0]的實數(shù)[x]叫作函數(shù)[y=f(x)]的零點.”向?qū)W生闡明函數(shù)[y=f(x)]的零點問題就是方程 [f(x)=0]的根問題,零點的幾何意義就是函數(shù)圖像與[x]軸交點的橫坐標.在建立方程與函數(shù)聯(lián)系的過程中,“方程的根”是一個靜態(tài)的點,等價轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)的零點”的動態(tài)過程,體現(xiàn)了“動”“靜”轉(zhuǎn)化的思想.
問題3:(1)觀察圖2,請寫出函數(shù)圖像與[x]軸交點的坐標及函數(shù)的零點;(2)函數(shù)的零點是點嗎?
設計意圖:從具體的二次函數(shù)到抽象函數(shù)的圖像,加深學生對函數(shù)零點概念的理解,明確“零點是交點的橫坐標,是一個實數(shù),不是一個點,不能用交點的坐標表示”.
思考:在這些區(qū)間上,函數(shù)圖像有什么共同的特點?函數(shù)值的變化有什么共同點?
(3)已知函數(shù)[g(x)=x,-3≤x≤-1,-x2+2x+4,-1 引導學生概括:題(1)(2)的函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的,圖像經(jīng)過[x]軸,且在區(qū)間端點的函數(shù)值異號,函數(shù)有零點 . 題(3)在區(qū)間端點的函數(shù)值異號,但函數(shù)圖像(如圖5)是間斷的,從[-1]的左側(cè)到右側(cè),函數(shù)值由負值直接跳到正值,即函數(shù)圖像沒有經(jīng)過[x]軸,函數(shù)無零點. 師生共同提煉函數(shù)零點存在性定理: 如果函數(shù)[y=f(x)]在區(qū)間[[a,b]]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有[f(a)·f(b)<0],那么函數(shù)[y=f(x)]在區(qū)間[(a,b)]內(nèi)有零點,即存在[c∈(a,b)],使得[f(c)=0],這個c也就是方程[f(x)=0]的根. 設計意圖:探究函數(shù)在區(qū)間[[a,b]]的端點函數(shù)值異號與零點存在性的關(guān)系,并通過題(3)強調(diào)圖像應是“連續(xù)不斷的一條曲線”,幫助學生將“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”,歸納出函數(shù)存在零點的條件.這個結(jié)論直觀簡潔,沒有證明,可作為定理直接運用. 5.定理辨析,深化理解 問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到新的命題嗎?請對你給出的命題判斷正誤,并畫草圖說明. 探究1(對換條件與結(jié)論):如果函數(shù)[y=f(x)]在區(qū)間[[a,b]]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,且函數(shù)[y=f(x)]在區(qū)間[(a,b)] 內(nèi)有零點,則[f(a)·f(b)<0] .