唐凝

【摘 要】問(wèn)題串教學(xué)的研究正被越來(lái)越多的高中教師所重視，如何才能有效的設(shè)置問(wèn)題串來(lái)傳授數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)呢？史寧中教授曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者的活動(dòng)，其他人是無(wú)法替代的?！睂W(xué)生通過(guò)課堂探究落實(shí)素養(yǎng)也絕非是簡(jiǎn)單的記憶和模仿，更需要深度學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的美。本文結(jié)合一節(jié)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的復(fù)習(xí)課，探究如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題串教學(xué)，幫助學(xué)生理解用代數(shù)的方式處理解析幾何中的幾何條件，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)研究；核心素養(yǎng)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）16-0076-02

1 情境環(huán)節(jié)巧設(shè)問(wèn)，環(huán)環(huán)相扣入佳境

問(wèn)題引入：（改編人教A版選修2-1第49頁(yè)練習(xí)7）已知點(diǎn)C（2，0）和圓心為D的圓，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段CM的垂直平分線(xiàn)交DM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡

方程。

師：動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)P的幾何條件哪些是不變的呢？這里又存在哪些幾何條件是永遠(yuǎn)不變的呢？

設(shè)計(jì)意圖：“本”立而“道”生，通過(guò)課本習(xí)題更易于學(xué)生喚醒舊知，讓學(xué)生思維活動(dòng)漸進(jìn)佳境。

生1：圓的半徑不變。

師：線(xiàn)段CM的垂直平分線(xiàn)交DM于點(diǎn)P，你得到什么幾何關(guān)系？不變的幾何關(guān)系？

生2：∣PM∣=∣PC∣，∣PM∣+∣PD∣=6，∴∣PC∣+∣PD∣=6

師：如果用代數(shù)的方式來(lái)表示幾何條件，∣PC∣+∣PD∣=6可以得到什么？

生3：根據(jù)距離公式可得

=6，化簡(jiǎn)得到P的軌跡方程為。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)總保持某些不變的量，并能用代數(shù)的方式來(lái)轉(zhuǎn)化幾何條件，這也是解決解析幾何的核心數(shù)學(xué)思想。

2 核心探究致素養(yǎng)，環(huán)環(huán)相扣引思辨

問(wèn)題一：從橢圓上一點(diǎn)P向軸作垂線(xiàn)，垂足恰好為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且AB//OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是____。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面的熱身，提出略有難度的問(wèn)題可以激發(fā)學(xué)生探究的欲望，但同時(shí)還需通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，讓學(xué)生在不僅感受數(shù)學(xué)思想，還可以在思維能力得到挑戰(zhàn)的同時(shí)，更好的從感性認(rèn)識(shí)跨越到理性認(rèn)識(shí)，逐步提升數(shù)學(xué)能力[1]。

師：在處理圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中，用什么樣的代數(shù)形式才能更好的表示幾何關(guān)系呢？我們來(lái)看問(wèn)題一，問(wèn)題一中存在一個(gè)什么樣的幾何條件？

生：AB//OP

師：這個(gè)幾何條件可以得到什么樣的代數(shù)形式呢？

生1：AB//OP可以得到△OPF1～△ABO

生2：AB//OP可以得到即

師：還有那些代數(shù)的方式可以表示AB//OP

生3：AB//OP可以得到

師：很好，大家因?yàn)槠叫邢氲搅撕芏嗟姆绞剑P(guān)鍵是用一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎具@個(gè)幾何關(guān)系，請(qǐng)大家分別探究一下。

生1：由△OPF1～△ABO可得，

生2：由，可得。

生3：因?yàn)锳B//OP可以得到，即，

師：俗話(huà)說(shuō)：“沒(méi)有對(duì)比就沒(méi)有傷害?！?，對(duì)于AB//OP這一條件的不同代數(shù)形式的轉(zhuǎn)化在計(jì)算上就已經(jīng)產(chǎn)生了差別，若是更為復(fù)雜的條件，恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式就顯得尤為重要。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生感悟如何將恰當(dāng)?shù)膶缀螚l件代數(shù)化，從而進(jìn)一步體會(huì)解析幾何的核心方法是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，解析法的核心思想就是數(shù)形結(jié)合。

問(wèn)題二：已知橢圓，點(diǎn)P（0，1）和點(diǎn)都在橢圓上，直線(xiàn)PA交軸于點(diǎn)M，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)PB交軸于點(diǎn)N

（圖1），問(wèn)：軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=ONQ，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展螺旋式遞進(jìn)的課程理論，問(wèn)題三是學(xué)生思維深度的延伸，學(xué)生如何有效化歸問(wèn)題中的幾何條件，有效的幾何問(wèn)題代數(shù)化才是能力形成的體現(xiàn)。

師：大家可以看到題目中提到∠OQM=ONQ，那這個(gè)題目中的幾何條件是什么？我們用什么樣的恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表示呢？它和那些代數(shù)知識(shí)聯(lián)系比較緊密呢？

生1：幾何條件是∠OQM=ONQ，我認(rèn)為可以用相似

表示。

師：什么相似呢？

生2：△ONQ=△OQM

師：很好，由這個(gè)幾何條件，并對(duì)它的再研究，可以找到幾何條件的本質(zhì)特征，相似的本質(zhì)是什么呢？

生3：相似可以得到三角形邊的相似比，相似比就是一種代數(shù)形式。

師：好，大家再思考，什么樣的代數(shù)形式可以表示角的相等呢？

生4：我認(rèn)為可以用三角函數(shù)來(lái)解tan∠ONM=tan∠OQM

師：就只能用正切嗎？

生5：其他的三角函數(shù)也可以。

師：還可以用什么來(lái)表示呢？想一想還學(xué)過(guò)哪些概念、公式含有角的呢？

生6：還可以用向量的夾角來(lái)表示，角相同，則夾角余弦值相同。。

師：非常好，大家想了很多辦法，我們?cè)傧胂?。我們說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)中的美是無(wú)處不在的，如對(duì)稱(chēng)美，我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是尋找美的過(guò)程，我們來(lái)看，我們尋找N關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接N′Q，由對(duì)稱(chēng)∠N′QO=∠NQO，你能發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？

生7：因?yàn)椤螻′QO=∠NQO，∠OQM=∠ONQ，∠OQN+∠ONQ=90°，所以∠N′QO+∠OQM=90°。

師：很好，通過(guò)對(duì)稱(chēng)，這兩個(gè)角相等就轉(zhuǎn)化為垂直的關(guān)系，拿垂直的代數(shù)關(guān)系是什么呢？

生8：直線(xiàn)N′Q，OM斜率乘積等于-1。

師：回答的很好，大家可以發(fā)現(xiàn)同樣一個(gè)幾何條件，可以得到很多的代數(shù)形式，解題中就是要尋求什么樣的代數(shù)形式才能恰當(dāng)?shù)谋硎編缀侮P(guān)系，并有利于計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：解題中一個(gè)幾何條件往往有多種代數(shù)轉(zhuǎn)化方式，何種才是最優(yōu)選擇？教學(xué)中可以通過(guò)問(wèn)題串來(lái)發(fā)散學(xué)生的思維，使其更加開(kāi)闊。學(xué)生只有通過(guò)對(duì)比才能積累幾何條件合理代數(shù)化表示的經(jīng)驗(yàn)。

3 教學(xué)活動(dòng)中的環(huán)環(huán)相扣策略

（1）課堂上，教師期待通過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展。在設(shè)計(jì)互動(dòng)環(huán)節(jié)，教師需要考慮到學(xué)生已掌握的學(xué)科核心知識(shí)，學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，借助環(huán)環(huán)相扣的設(shè)問(wèn)使學(xué)生形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，積極的情感、態(tài)度，正確的價(jià)值觀。

（2）情境問(wèn)題的設(shè)置必須和本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)相吻合，活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)符合課堂教學(xué)的內(nèi)在邏輯[1]。教師在設(shè)計(jì)情境問(wèn)題時(shí)應(yīng)讓更多的學(xué)生參與到具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，同時(shí)也應(yīng)考慮到學(xué)生個(gè)體的人格、認(rèn)知差異結(jié)合學(xué)情因材施教，對(duì)學(xué)生予以指導(dǎo)性的建議。在深度學(xué)習(xí)目標(biāo)評(píng)價(jià)方面，不僅要體現(xiàn)學(xué)生思考的結(jié)果，同時(shí)盡可能使得學(xué)生的思維可視化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在碰撞中摩擦出智慧的火花。

（3）課程標(biāo)準(zhǔn)提出通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具有“四基”與“四能”。為達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，教師需要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。教學(xué)中教師的語(yǔ)言表達(dá)就很重要。激勵(lì)的話(huà)語(yǔ)，專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)有助于學(xué)生逐步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察生活，對(duì)一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，或在具體的情境中獲得一些新的數(shù)學(xué)信息，通過(guò)一定的梳理、概況、提煉，并以數(shù)學(xué)的方式做出“是什么？能怎樣？為什么？怎么樣？”等方面的思考。學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考與探索可以拓寬其方法視角，提升思維品質(zhì)，學(xué)生感受的不僅僅是信心倍增，也會(huì)碰撞出更多的思維火花[2]。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程分析與實(shí)施策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社 ，2010.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.