宋鵬飛 高符嚴(yán)

山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

由于有時(shí)躉繳純保費(fèi)的額度過大，這就有可能讓被保險(xiǎn)人因?yàn)榻?jīng)濟(jì)原因而取消保險(xiǎn)計(jì)劃，因此在現(xiàn)實(shí)中可以運(yùn)用分期繳納的方法，以此來降低被保險(xiǎn)人的經(jīng)濟(jì)壓力。以被保險(xiǎn)人的生存作為繳費(fèi)的先提條件，按照相等的時(shí)間間隔下的分期繳納的純保費(fèi)叫做期繳純保費(fèi)，每次繳納的相等數(shù)額的純保費(fèi)就叫做均衡純保費(fèi)（Equilibrium Net Premium），主體字母我們用P表示。下面，我們將對(duì)幾種根據(jù)不同躉繳純保費(fèi)與繳納保費(fèi)的方式產(chǎn)生的均衡純保費(fèi)進(jìn)行具體探究。以下均以年齡為x歲的終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)舉例，以與分別表示保險(xiǎn)受益金在死亡所在年度末支付（離散型人壽保險(xiǎn)模型）與立即支付（連續(xù)型人壽保險(xiǎn)模型）的躉繳純保費(fèi)；以與分別表示年初付終身生存年金精算現(xiàn)值與連續(xù)型終身生存年金精算現(xiàn)值。

一、全離散式壽險(xiǎn)模型的年繳均衡純保費(fèi)

全離散式壽險(xiǎn)模型指的是保險(xiǎn)費(fèi)按期初付生存年金方式繳付,保險(xiǎn)受益金（死亡給付）在死亡的保單有效年度末支付的離散型保險(xiǎn)模型，這種方式導(dǎo)出的均衡純保費(fèi)我們稱作全離散式壽險(xiǎn)模型的年繳均衡純保費(fèi)。這種均衡純保費(fèi)意味著我們將躉繳純保費(fèi)平均分?jǐn)偟礁鱾€(gè)保險(xiǎn)年度、每次在被保險(xiǎn)人生存的條件之下在保單年度初等額繳納的保費(fèi)，直到合同約定的繳費(fèi)期完成為止。這種壽險(xiǎn)模型是壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)的基礎(chǔ)，在精算發(fā)展史上有著重要的意義，對(duì)推動(dòng)精算理論的發(fā)展起著重要的作用。

我們可以以普通終身壽險(xiǎn)為例，導(dǎo)出年繳均衡純保費(fèi)公式：設(shè)年齡為x的1單位普通終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)為，則保險(xiǎn)人損失隨機(jī)變量(K=0,1,2,…),是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，則我們有，其余類型的年繳純保費(fèi)可由其定義做類似推導(dǎo)。

二、全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型的年繳均衡純保費(fèi)

三、半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型的年繳均衡純保費(fèi)

半連續(xù)壽險(xiǎn)模型可以說是將全離散式與全連續(xù)式壽險(xiǎn)模型綜合并加以修改而得的，半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)有兩種形式不同的模型。其中在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中最常使用的半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)模型是：死亡給付是在被保險(xiǎn)人死亡的是即時(shí)支付，且保險(xiǎn)費(fèi)按照期初付生存年金的方式來繳納。這種模型比較切合實(shí)際，具有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性。其年繳均衡純保費(fèi)的計(jì)算方法與全連續(xù)式壽險(xiǎn)模型類似，只是在年繳純保費(fèi)采用的符號(hào)上有差異。

設(shè)年齡為x的投保保險(xiǎn)額為1個(gè)單位的半連續(xù)式終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付，其年繳純保費(fèi)用符號(hào)表示，則該壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)損失為，則有是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，根據(jù)平衡原理有。

根據(jù)幾種計(jì)算公式的導(dǎo)出，可以看出均衡純保費(fèi)的計(jì)算原理為精算平衡原理（Equivalence Principle），即E[L]=0，這也就為我們計(jì)算一般人壽保險(xiǎn)的均衡純保費(fèi)提供了理論支撐，有利于我們?cè)趯?shí)務(wù)中的應(yīng)用。

顯然，我們推導(dǎo)的全連續(xù)模型與半連續(xù)模型中保險(xiǎn)費(fèi)按連續(xù)型生存年金支付這兩種類型在現(xiàn)實(shí)生活中基本不可操作，但是我們從理論上對(duì)它們進(jìn)行同等程度的討論任然是非常重要的，因?yàn)檫@有助于我們完善整個(gè)壽險(xiǎn)精算理論體系。特別地，由每年真實(shí)分m次繳付的年繳純保費(fèi)取極限遞推出第二種半連續(xù)模型的過程，更加有利于我們對(duì)特殊模型及其均衡純保費(fèi)的分析與計(jì)算。