安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué)(246700) 朱賢良 朱行斌

在我國的數(shù)學(xué)教育史上,有著重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的傳統(tǒng),這也是我國古代數(shù)學(xué)教育的一大特色.2018年初,教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“數(shù)學(xué)建模”列為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一,強(qiáng)調(diào)對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.實(shí)際上,我國的數(shù)學(xué)教育不僅在教育教學(xué)活動中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識,在高考與各類模擬考試中,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題也一直是極為重要的題型之一.本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上,對函數(shù)應(yīng)用題型進(jìn)行梳理,力圖為培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)服務(wù).

1.利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題

圖象法是函數(shù)的表示方法之一,通過圖象可以直觀地反映函數(shù)的變化規(guī)律及相關(guān)性質(zhì).以生活中的實(shí)際情景為載體,精心設(shè)計函數(shù)圖象問題,能有效地考查數(shù)形結(jié)合的思想與數(shù)學(xué)建模的意識.

例1-1(2013年高考湖北卷文科第5題)小明騎車上學(xué),開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間后,為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是( )

解析小明距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小:由于一開始是勻速行駛,故前段沿直線遞減;途中停留時距離保持不變,圖象為水平線段;后段加快速度行駛,則直線段比一開始下降得更快.符合前述特征的只有選項C.

點(diǎn)評本題以學(xué)生從小就熟悉的距離、速度、時間之間的關(guān)系為背景設(shè)置問題,考查學(xué)生從函數(shù)的角度來理解三者之間的變化關(guān)聯(lián).

例1-2(2015年高考北京卷理科第8題)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,右圖1描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是( )

圖1

A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

解析甲、乙、丙三輛汽車的“燃油效率”隨速度的變化而不同,圖象直觀反應(yīng)了三輛汽車在不同速度下每消耗1升汽油所行駛的里程狀況.從圖象來看,當(dāng)速度超過40時,乙車的“燃油效率”大于5,即在速度超過40千米/小時的條件下,乙車每消耗1升汽油,所行駛的里程將大于5千米,故A項錯誤;當(dāng)速度相同時,甲車的“燃油效率”最高,即以相同速度行駛時,每消耗1升汽油,甲車所行駛的里程最遠(yuǎn),故甲車行駛相同路程所消耗汽油最少,B項錯誤;甲車的速度為80時,其“燃油效率”為10,即以80千米/小時的速度行駛時,每消耗1升汽油,甲車行駛的里程為10千米,故此速度下行駛1小時,行駛的里程為80千米,需消耗8升汽油,C項錯誤;當(dāng)速度不超過80時,丙車比乙車的“燃油效率”更大,即相同速度的前提下,每消耗1升汽油,丙車比乙車所行駛的里程更遠(yuǎn),故用丙車比用乙車更省油,D項正確.

點(diǎn)評在環(huán)境保護(hù)、能源危機(jī)的日益突出的實(shí)際背景下,本道試題以“燃油效率”為命題的切入點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生分析影響“燃油效率”的速度因素,既具有現(xiàn)實(shí)意義,又能有效檢測學(xué)生對函數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確把握能力.

例1-3(2006年高考江西卷理科第12題)某地一年內(nèi)的氣溫Q(t)(單位:°C)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖2所示,已知該年的平均氣溫為10°C.令C(t)表示時間段[0,t]的平均氣溫,C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示,則正確的應(yīng)該是( )

圖2

解析全年的平均氣溫為10°C,即C(12)=10,故D項錯誤;6月份之前的平均氣溫肯定低于10°C,則C(6)＜10,故C項錯誤;12月份之前的一段時間內(nèi)氣溫低于10°C,故在此段時間之前的那一段時間內(nèi)C(t)＞10,故B項錯誤.所以,正確選項為A項.

點(diǎn)評函數(shù)關(guān)系是一類常見的變量間的關(guān)系,但理清變量之間的函數(shù)關(guān)系、把握其變化規(guī)律卻并不容易.本題要求考生通過函數(shù)圖象來刻畫變量間的關(guān)系,必須先讀懂圖象,認(rèn)清Q(t)與t之間的關(guān)系,進(jìn)而準(zhǔn)確把握C(t)的變化規(guī)律,運(yùn)用圖象來直觀表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系.

2.構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

隨著時代的發(fā)展與知識的更新,函數(shù)應(yīng)用問題中的背景與模型越來越新穎.在求解函數(shù)應(yīng)用題時,很重要的一步是準(zhǔn)確到位地理解問題的實(shí)際背景,通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化.需要留心的是,建模之后的函數(shù)問題應(yīng)在定義域內(nèi)完整地進(jìn)行解答,忽視定義域的限制會導(dǎo)致錯誤.

例2-1(2016年高考四川卷理科第5題文科第7題)某公司為了激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )

A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年

解析設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元,則y=130·(1+12%)n.依題意,130·(1+12%)n＞200,即,兩邊取對數(shù)得n·lg1.12＞lg2-lg1.3,故.所以,從2019年開始,該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.

點(diǎn)評以指數(shù)函數(shù)模型為背景的增長率問題與社會、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展息息相關(guān),從小學(xué)開始就伴隨我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程.本題在建立指數(shù)函數(shù)模型后,要靈活運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算來解決數(shù)學(xué)問題,并根據(jù)數(shù)學(xué)問題的運(yùn)算結(jié)果合理解釋實(shí)際問題.

例2-2某公司租地建倉庫,每月土地費(fèi)用與倉庫到車站距離成反比,而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉庫到車站距離成正比.如果在距離車站10km處建倉庫,則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬元和8萬元,那么要使兩項費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站( )

A.5km處 B.4km處 C.3km處 D.2km處

解析設(shè)倉庫與車站的距離為xkm,每月的土地費(fèi)用與貨物的運(yùn)輸費(fèi)用分別為萬元、k2x萬元.根據(jù)題意,當(dāng)x=10時,解得則每月土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即x=5時,等號成立).所以,當(dāng)倉庫建在離車站5km處時,兩項費(fèi)用之和取得最小值8萬元.

點(diǎn)評本題是函數(shù)應(yīng)用中費(fèi)用最少的問題,涉及正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與對勾函數(shù)等模型.正確解決本題,既需要具備建立數(shù)學(xué)模型的能力,還必須能借助基本不等式等知識求得最值.

例2-3(2018年高考上海卷第19題)某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)S中x%(0＜x＜100)的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為

而公交群體的人均通勤時間不受x影響,恒為40分鐘(0＜x＜100).試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?

(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達(dá)式,討論g(x)的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.

解析(1)公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間,即f(x)＞40.當(dāng)0＜x≤30時,f(x)=30＜40,顯然不符合要求;當(dāng)30＜x＜100時,由得x2-65x+900＞0,解得x＞45或x＜20,故45＜x＜100.所以,當(dāng)45＜x＜100時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.

(2)當(dāng)0＜x≤30時,40-0.1x;當(dāng)30＜x＜100時,·x%+40·(1-x%)=0.02x2-1.3x+58.所以,

結(jié)合g(x)的圖象可知,g(x)在區(qū)間(0,32.5]上遞減,區(qū)間[32.5,100)上遞增.其實(shí)際意義是:當(dāng)自駕群體比例少于32.5%時,越多的人自駕,平均通勤時間越短;當(dāng)自駕群體比例多于32.5%時,越多的人自駕,平均通勤時間越長.

圖3

點(diǎn)評本題以生活中的交通擁堵、通勤時間為情境設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,將分段函數(shù)、一次函數(shù)、分式函數(shù)、二次函數(shù)等眾多函數(shù)模型融于一題,綜合考查學(xué)生閱讀審題、數(shù)學(xué)建模、用數(shù)學(xué)知識解釋現(xiàn)實(shí)問題等方面的能力.

3.借助導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)可以求出實(shí)際生活中的一些最值問題,如利潤最大、生產(chǎn)效率最高、用料最少、耗油量最少等問題.我們把這類尋求最佳方案或最佳策略的實(shí)際問題,稱為優(yōu)化問題.

圖4

例3-1(2015年高考江蘇卷第17題)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l.如圖4所示,M,N為C的兩個端點(diǎn),測得點(diǎn)M到l2,l1的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米.以l1,l2所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)(其中a,b為常數(shù))模型.

(1)求a,b的值;

(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;

②當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.

解析(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入得解得

(2)①由(1)知曲線C的函數(shù)關(guān)系式為x≤20),則.因為切點(diǎn)P的坐標(biāo)為故切線即公路l所在直線的方程為分別(令x)=0(,y=0,由)此可得公路l與x,y軸的交點(diǎn)依次為.所以,公路l長度的函數(shù)解析式為,其定義域為t∈[5,20].

點(diǎn)評本題在建立函數(shù)模型的過程中,需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程,進(jìn)而求得公路的長度;建立函數(shù)模型之后,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具研究函數(shù)的單調(diào)性,解決函數(shù)的最值問題.將曲線的切線、函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題綜合設(shè)置在實(shí)際的問題情境之中,綜合性強(qiáng),能有效地考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)工具性的掌握情況.

例3-2(2008年高考江蘇卷第17題)如圖5,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,BC=10km.為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,PO.記排污管道的總長為ykm.

(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:

①設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式;

②設(shè)PO=x(km),將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系,確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.

圖5

圖6

解析(1)①設(shè)∠BAO=θ(rad),則OA=OB=,OP=10-10tanθ,故;

②設(shè)PO=x(km),則OA=OB=,故y=x+.

(2)選擇第①個函數(shù)關(guān)系式:

則

點(diǎn)評在建立函數(shù)模型之前,自變量的選擇顯得十分重要.倘若自變量選擇得不合理,會導(dǎo)致函數(shù)模型難于建立或者最值不易求取.本題之所以選擇第①個函數(shù)模型求取最值,就是基于兩個函數(shù)模型中最值求取難度的權(quán)衡.

例3-3(2011年高考山東卷文理科第21題)某企業(yè)擬建造如圖7所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c＞3)千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.

圖7

(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;

(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.

解析(1)因為容器的容積為,則,故中間圓柱的側(cè)面積為S1=2πrl=2π·,左右兩端兩個半球的表面積為S2=4πr2.所以,容器的建造費(fèi)用為.又l≥2r,則,解得0＜r≤2,即函數(shù)的定義域為(0,2].

其中0＜r≤2,c＞3.由y′=0得,.

表1

點(diǎn)評本題在建立函數(shù)模型后,易錯點(diǎn)有二:一是求取定義域,要考慮到l≥2r與r＞0;二是求最值時要考慮定義域的限制,極值點(diǎn)未必落在定義域(0,2]內(nèi),要注意分類討論思想的考查.

數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.在日常生活和學(xué)習(xí)中,要有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,發(fā)現(xiàn)和提出問題,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián),并學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗,增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.