廣東省湛江一中培才學校(524037) 魏 欣

在近幾年各地高考中,三角函數(shù)最值問題屢屢受到命題者青睞.其出現(xiàn)的形式,或者是在小題中單純地考察三角函數(shù)的值域問題;或者是隱含在解答題中,作為解答題所考查的知識點之一;或者在解決某一問題時,應用三角函數(shù)有界性會使問題更易于解決(比如參數(shù)方程).解決這一類問題的基本途徑,一方面應充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等),另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題.本文就2018年高考全國I卷理科數(shù)學第16題,分析出三角函數(shù)最值的通法,歸納出三角函數(shù)最值的求解的主要五種模型,并舉例歷年高考題介紹求三角函數(shù)的最值.

一、題目展示與分析

題目(2018年全國I卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值為____.

解析已知f(x)為奇函數(shù),,T=2π,所以fmin(x)=-fmax(x).結(jié)合y=2sinx與y=sin2x圖像特點知,當時,f(x)可取到最大值.

方法一(求導法)當時,f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1).當時,f′(x)＞0,當時,f′(x)＜0.所以,因為fmin(x)=-fmax(x),所以.所以f(x)的最小值為.如圖1所示.

圖1

評析用導數(shù)法求三角函數(shù)的最值是處理此類問題的通法,求導判斷函數(shù)的單調(diào)性,考慮到最大值易于理解與求解,就先求出最大值,再結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性求出最小值,或許這種方法是命題者的初衷.

方法二(均值不等式法)當時,

評析用均值不等式法求三角函數(shù)的最值,先做恒等變換,再適當配湊,然后利用四元均值不等式,算出最大值,再利用原函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化為最小值,這種思路的難點在于積式的配湊,配湊的目的是用了均值不等式后要得到常數(shù),再考慮等號成立是否有意義,盡管具有一定的技巧性,但也不失為一種好方法.

二、高考題型歸類分析

在近幾年各地高考中,三角函數(shù)最值問題屢屢受到命題者青睞.三角函數(shù)的最值問題是對三角函數(shù)基礎知識的綜合應用,一般題目給出的三角關系式往往比較復雜,必須進行化簡后,再進行歸納.下面歸納出三角函數(shù)最值的求解的主要五種模型及其解題通法.

(一)一次函數(shù)型

三角函數(shù)的最值問題的一次函數(shù)型主要是指可以化為基本類型y=asinx+b或y=acosx+b的問題,主要有以下五種模型.

模型1y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B

例1(2014年高考北京卷第16題第2小問)求在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析因為,所以.于是,當,即時,f(x)取得最大值0;當,即時,f(x)取得最小值-3.

模型2y=asinx+bcosx+c

對于y=asinx+bcosx+c型的函數(shù),可通過輔助角公式,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為(其中,再利用有界性加以解決.

例2(2016年高考上海卷)若函數(shù)f(x)=4sinx+acosx的最大值為5,則常數(shù)a=___.

解析由φ)(其中)的最大值為5,得,解得a=±3.

模型3y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d

這一模型的最值求法是通過降次轉(zhuǎn)化為模型2,其中利用降冪公式.

例3(2015年高考浙江卷文科)函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小值是___.

解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=

模型4y=sin(mx+α)±sin(mx+β)或y=cos(mx+α)±cos(mx+β).

這一模型的三角函數(shù),先用兩角和與差的正余弦公式展開,整理后可以轉(zhuǎn)化為模型2,化為一個角的三角函數(shù)形式后,再求最值.

例4(2013年高考安徽卷)設函數(shù)f(x)=sinx+.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取最小值的x的集合;(2)略.

解析(1)即此時x的取值集合為.

模型5y=sin(mx+α)cos(mx+β)或y=sin(mx+α)sin(mx+β)

這一模型的三角函數(shù),先用兩角和與差的正余弦公式展開,再利用乘法運算展開,整理后可以轉(zhuǎn)化為模型3,再化為一個角的三角函數(shù)形式后,最后求最值.

例5(2013年高考北京卷第2問)求f(x)=在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析

圖2:模型1-5的轉(zhuǎn)化關系

(二)二次函數(shù)型

模型6(同名)y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c

這里的同名是指二次項與一次項的三角函數(shù)名稱相同,這一模型的最值的求法是直接轉(zhuǎn)化為關于sinx或cosx的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.

例6(2016年高考全國卷II)函數(shù)f(x)=1-2sin2x+6sinx在上最大值和最小值之和為( )

解析,當sinx=1時,即時,fmax(x)=5,當,即時,.所以,故選C.

模型7(異名)y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c

這里的異名是指二次項與一次項的三角函數(shù)名稱不同,即一個是正弦另一個是余弦,這一模式的最值的求法是用公式sin2x=1-cos2x或cos2x=1-sin2x將其轉(zhuǎn)化為模型6.

例7(2011年高考北京卷理科)已知f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.

解析因為

又因為cosx∈[-1,1],所以當時,;當cosx=-1時,f(x)max=f(-1)=6.

模型8(“正余弦三姊妹”聚會)y=f(sinx±cosx,sinxcosx)整式型

“正余弦三姊妹”聚會是指在所求函數(shù)中出現(xiàn)sinx±cosx,sinxcosx三者中的兩個或三個.這一模型的最值的求法是通過把三角函數(shù)化為代數(shù)函數(shù)求最值.

例8(2015年高考安徽卷文科16(2))已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx.求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析令t=sinx+cosx,則,當以當所以當.

評注在換元時,通常令t=sinx+cosx,則sinx·cosx=.

(三)分式函數(shù)模型

模型9

例9(2015年高考重慶卷改編)求函數(shù)f(x)=的最值.

圖3

解析,其幾何意義是過定點P(-2,0)和單位圓上的動點Q(cosx,sinx)的直線的斜率,于是把求函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求該直線斜率的最值問題.如圖,利用數(shù)形結(jié)合法,可知直線y=k(x+2)與單位圓x2+y2=1相_切時取得該直線斜率的最值.由,所以

(四)高次冪函數(shù)模型

對于y=asinnx+bcosmx型的函數(shù),往往也可以利用導數(shù)法來求最值.

例10(2008年高考安徽春季卷)函數(shù)f(x)=sin4x+cos2x的最大值為___.

解析對函數(shù)求導,f′(x)=4sin3x·cosx-2cosx·sinx,令f′(x)=0,即4sin3x·cosx-2cosx·sinx=0,解得sinx=0或cosx=0或.當sinx=0或cosx=0時,f(x)=1,當時,.因此函數(shù)f(x)=sin4x+cos2x的最大值為1.

(五)對勾函數(shù)模型

例11(2012年高考上海春季卷)已知x∈(0,π),則函數(shù)的最小值為____.

解析此題為型三角函數(shù)求最值問題.因為x∈(0,π),所以sinx＞0,當a＞0時,不能用基本不等式來求最值,可以利用對勾函數(shù)的單調(diào)性來求最值.設在(0,1]上為減函數(shù),故當t=1時,.所以函數(shù)的最小值為3.

用導數(shù)解三角問題的基本思路是“構”、“導”、“令”、“得”:一、構造函數(shù);二、求導;三、設導數(shù)函數(shù)等于零或大于零或小于零;四、根據(jù)題意得出要求的結(jié)論.解題的關鍵是“得”,即如何運用導數(shù)可以判斷單調(diào)性和求極大或極小值的性質(zhì)得到要求的結(jié)論.利用導數(shù)解三角往往可以避免用三角公式進行繁瑣的三角變換從而減少計算量,不但過程簡單,而且方法新穎別致.通過練習可以增強知識之間的融會貫通,拓展知識面,對提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新意識具有重要意義.

求三角函數(shù)最值問題,綜合性強,解題方法靈活多樣,而且有的問題本身解法并不是各自獨立的,而是相互依存,又相互聯(lián)系;我們通過以上各種解題方法的探究,使我們對數(shù)學動態(tài)美和辯證的關系有了進一步的系統(tǒng)認識,對解這方面的題目能起到事半功倍的作用.