祁榮圣

函數(shù)、方程、不等式是第三學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的核心，三者存在密切的內(nèi)在聯(lián)系，探索三者之間內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)函數(shù)“主干”解決問(wèn)題，是初中學(xué)段教學(xué)的一個(gè)重、難點(diǎn)。下文以“一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡釋在不同模型的知識(shí)關(guān)聯(lián)處，借力“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”，采用自主問(wèn)、整體學(xué)、類(lèi)比學(xué)的路徑和方式，在探究中體驗(yàn)、感悟、默會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法，助推學(xué)生思維逐步實(shí)現(xiàn)常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的飛躍。

一、學(xué)情診斷，因“疑”生問(wèn)

問(wèn)題1 如圖1，直線(xiàn)y=ax+b過(guò)點(diǎn)A（0，2）和點(diǎn)B（-3，0），則方程ax+b=0的解是（ ）。

A. x=2? ? ? ? ? ? ? ? ? B. x=0

C. x=-1? ? ? ? ? ? ? ? D. x=-3

追問(wèn)1：你是如何思考的？

追問(wèn)2：可以先設(shè)待定系數(shù)，再解一元一次方程，但有其他解法嗎？

追問(wèn)3：如果將上題減少條件，刪除y=ax+b過(guò)點(diǎn)A（0，2）這個(gè)條件，你還能解決嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

1.在形式相同的方程ax+b=0和函數(shù)y=ax+b設(shè)問(wèn)，預(yù)設(shè)大多數(shù)學(xué)生可能會(huì)從數(shù)的角度思考，反復(fù)代入解決問(wèn)題。

2.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)處追問(wèn)，緊扣八年級(jí)學(xué)生求異、求新、好奇的心理特征，喚起探究意識(shí)。

3.通過(guò)削弱條件探究，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能解決問(wèn)題，引發(fā)認(rèn)知沖突，用疑問(wèn)點(diǎn)燃思維的火花，達(dá)成“為何要學(xué)習(xí)新知”的目標(biāo)。

二、把握關(guān)聯(lián)，扣“根”追問(wèn)

活動(dòng)一：探究一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系。

1.填空：

（1）方程 2x+4=0解是_____________________;

（2）直線(xiàn) y=2x+4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_______________________;

討論：①上述函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和方程的解之間有什么關(guān)系？

②你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系可以推廣嗎？

③從中你能獲得這類(lèi)方程的新解法嗎？

3.不解方程，你能說(shuō)出方程 2x+4=4的解嗎？

4.你還能利用圖2的圖像求出哪些一元一次方程的解？

5.通過(guò)以上探究，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系。

活動(dòng)二：探究一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系。

觀察圖2中一次函數(shù)y=2x+4的圖像。

問(wèn)題1：當(dāng)圖像在x軸上方時(shí)，圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特征？

問(wèn)題2：你能把圖像在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系用式子表示嗎？

問(wèn)題3：求2x+4>0解集，你有幾種方法？

問(wèn)題4：你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b與一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0的關(guān)系嗎？

問(wèn)題5：你能說(shuō)出不等式2x+4<4的解嗎？

問(wèn)題6：仿照活動(dòng)一的探究，你還能提出哪些不等式并用圖像求解集？

問(wèn)題7：已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=-3時(shí)，y=0;當(dāng)x=0時(shí)，y=-4;求當(dāng) x≥0時(shí)y的范圍。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

1.活動(dòng)一遵循特殊到一般的認(rèn)知順序，通過(guò)實(shí)例發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是與其形式相同的一元一次方程的解，提出“你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系可以推廣嗎”，發(fā)展“用字母表示數(shù)”的概括意識(shí)。利用新方式識(shí)圖轉(zhuǎn)化，刺激主體產(chǎn)生“憤”與“悱”的預(yù)期狀態(tài)，通過(guò)示范“你能觀察圖像說(shuō)出2x+4=4的解，你還能說(shuō)出哪些方程的解”，層層追問(wèn)，在知識(shí)遷移運(yùn)用處拓展問(wèn)題，不斷“啟”而“發(fā)”之。在函數(shù)、方程兩種刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系本源聯(lián)系處引導(dǎo)學(xué)而生“疑”，思而破“疑”。

2.活動(dòng)二在學(xué)生會(huì)用函數(shù)圖像以形定數(shù)，把握函數(shù)方程聯(lián)系的基礎(chǔ)上，類(lèi)比設(shè)計(jì)問(wèn)題，在函數(shù)主路徑解方程的儲(chǔ)備下，觀察思考不等關(guān)系是否可以類(lèi)似地用函數(shù)圖像求解，引導(dǎo)學(xué)生把握關(guān)聯(lián)，在本質(zhì)處遷移感悟?qū)W習(xí)方法。豐富問(wèn)題呈現(xiàn)的方式，從教師指定問(wèn)，到學(xué)生自主提出問(wèn)題，開(kāi)放提問(wèn)，比如設(shè)計(jì)中“仿照活動(dòng)一的探究，你還能提出哪些不等式并用圖像求解集”?！安坏仁脚c函數(shù)”和之前學(xué)習(xí)的“方程與函數(shù)”有何聯(lián)系？同與不同在何處？這種抽絲剝繭式的追問(wèn)設(shè)計(jì)逼近研究本質(zhì)，在數(shù)學(xué)本源處追問(wèn)，在類(lèi)比學(xué)習(xí)思辨中概括。問(wèn)題7主要是引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)感悟數(shù)形不同角度解決問(wèn)題的繁簡(jiǎn)，在對(duì)比思辨中主動(dòng)建構(gòu)函數(shù)圖像破解一類(lèi)方程不等式新方法，在“數(shù)”還是“形”求解選擇中優(yōu)化思維，從x軸為界線(xiàn)的不等式探究、頓悟關(guān)于y軸為界的含x的不等式解法，完成知識(shí)應(yīng)用創(chuàng)新。

三、建構(gòu)學(xué)法，拓“深”精問(wèn)

問(wèn)題1：某校初中部的同學(xué)們?cè)诶蠋煹膸ьI(lǐng)下，乘坐客車(chē)來(lái)到距離學(xué)校35km的高鐵北站，然后乘坐動(dòng)車(chē)前往孔子故里山東曲阜和泰山，開(kāi)展“圣賢瞻仰，名山登頂”的戶(hù)外實(shí)踐活動(dòng)。假設(shè)動(dòng)車(chē)以200km/h的速度勻速行駛了xh。試根據(jù)上述情境，提出一些問(wèn)題，并用一次函數(shù)、一元一次方程或一元一次不等式求解。

問(wèn)題2：已知y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)如圖3所示，則當(dāng)y1≥y2時(shí)，自變量x的取值范圍是_________________。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

1.問(wèn)題1改編自教材問(wèn)題情境，通過(guò)熟悉的行程情境設(shè)計(jì)開(kāi)放問(wèn)題，將提問(wèn)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，這種開(kāi)放就是堅(jiān)持“用教材教”，而不是“教教材”的原則，是堅(jiān)信“培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”理念，可以“由淺到淺”，也可“由淺入深”的結(jié)果放開(kāi)，兼顧學(xué)生學(xué)習(xí)的分層，基于學(xué)生立場(chǎng)的重心下放和信息回收，有效的應(yīng)用、回應(yīng)、反饋、感知，在頂層設(shè)計(jì)中充分預(yù)設(shè)各種可能，在課堂生成中逐步發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

2.問(wèn)題2選用未學(xué)過(guò)的二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的圖像，在新情境中激發(fā)主體探究欲望。這種問(wèn)題設(shè)計(jì)立足于已知的三個(gè)一次關(guān)系理解，著力函數(shù)“主干”研究方程、不等式的核心方法，走向自主探究未知函數(shù)圖像解不等式的知識(shí)創(chuàng)新應(yīng)用。這種數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題情境符合學(xué)生認(rèn)知需要，引領(lǐng)學(xué)生在品嘗“函數(shù)味道”中提升數(shù)學(xué)內(nèi)容問(wèn)題化的寬度和深度，在問(wèn)題解決中進(jìn)一步體驗(yàn)、感知，頓悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，延伸運(yùn)用本課相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)聯(lián)系。從已知到未知的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，形成研究本章核心問(wèn)題的基本套路。

四、自主梳理，反思“自問(wèn)”

作業(yè)：

1.必做題：圍繞所學(xué)內(nèi)容，選取自己喜愛(ài)的一道試題，以“三個(gè)一次的邂逅”為題完成反思小文章。

2.選做題：結(jié)合我們判斷一次函數(shù)y=kx+b圖像所在象限的經(jīng)驗(yàn)，函數(shù)y=x2-[1x]的圖像不經(jīng)過(guò)（ ）。

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限? ? ?D.第四象限

設(shè)計(jì)說(shuō)明：

問(wèn)題1的設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的個(gè)體體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地從數(shù)學(xué)的角度看待問(wèn)題。問(wèn)題2著力于整章方法提純，融列表、描點(diǎn)、繪圖像直觀認(rèn)識(shí)于一體，解決“學(xué)得怎么樣”的目標(biāo)檢測(cè)。分層問(wèn)題設(shè)計(jì)滿(mǎn)足不同層次學(xué)生用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的需求，在數(shù)形結(jié)合中發(fā)展形象思維與抽象思維。

五、幾點(diǎn)思考

1.開(kāi)放提問(wèn)方式，追問(wèn)激活思維。

章建躍博士在文中指出：“課堂教學(xué)中必須注意教師主導(dǎo)取向的講授式與學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的結(jié)合，要把引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，使學(xué)生在獨(dú)立思考后提出有質(zhì)量的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為學(xué)生活動(dòng)的重要內(nèi)容?！苯處煈?yīng)該把善于提問(wèn)作為一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)基本功修煉，其中在何處發(fā)問(wèn)，能否提出好的問(wèn)題至關(guān)重要。好的問(wèn)題情境能體現(xiàn)“富而不臃，簡(jiǎn)而不透”的特點(diǎn)。

教學(xué)設(shè)計(jì)案例通過(guò)具體情境的一次函數(shù)一般式及圖像，研究一元一次方程一般式的解，在學(xué)生已有待定系數(shù)法知識(shí)儲(chǔ)備處設(shè)計(jì)問(wèn)題，復(fù)習(xí)回顧中通過(guò)追問(wèn)“削弱條件你還能求出方程的解嗎”，為從數(shù)向形過(guò)渡，以形助數(shù)，為學(xué)生直接讀圖像獲取新方法預(yù)設(shè)認(rèn)知沖突，從而引發(fā)探究欲望，再設(shè)特殊的問(wèn)題探究情境，為尋找圖像數(shù)量的本質(zhì)關(guān)聯(lián)提供例證，在不完全歸納中形成猜想，緊扣變量轉(zhuǎn)化為常量這一本源揭示數(shù)形兩種解法的實(shí)質(zhì)同源，“不解方程求方程 2x+4=4的解。你還能利用圖像求出哪些一元一次方程的解？”通過(guò)開(kāi)放的問(wèn)題追問(wèn)，鞏固認(rèn)知，即學(xué)即用，為后繼不等式與函數(shù)關(guān)聯(lián)提供學(xué)法結(jié)構(gòu)。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，形成發(fā)問(wèn)的學(xué)法建構(gòu)的方法可以從課本例題出發(fā)，交換題設(shè)結(jié)論再發(fā)問(wèn)。比如，如果知道方程 ax+4=4的解為x=0，你能判定函數(shù) y=ax+4一定過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)嗎？可以改變?cè)囶}呈現(xiàn)質(zhì)態(tài)，從運(yùn)動(dòng)的視角發(fā)問(wèn);減少或增加條件探究設(shè)問(wèn)結(jié)論的變化問(wèn)：板塊二的例題中將函數(shù)y=2x+4旋轉(zhuǎn)過(guò)定點(diǎn)（0，-2），你能不解方程觀察圖像直接寫(xiě)出方程2x+4=-x-2的解嗎？再如運(yùn)用從特殊到一般的概括性推廣問(wèn)：“你還能利用圖像求出哪些一元一次方程的解？請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系？”

聯(lián)系學(xué)習(xí)內(nèi)容，循教材呈現(xiàn)的邏輯順序，這個(gè)方法能否運(yùn)用到其他問(wèn)題的解決之中？這種變化引申，獲得的益處在于提供范例，每一種變式發(fā)問(wèn)都有利于激發(fā)學(xué)生的探索精神，開(kāi)拓思維的廣闊性，更在于各種變式之間的共性與個(gè)性水乳交融。結(jié)論的相似、學(xué)法的相通，隨著一個(gè)個(gè)問(wèn)題的發(fā)散，學(xué)生會(huì)在問(wèn)題意識(shí)的形成之中積極思考，逐步學(xué)會(huì)思考發(fā)問(wèn)，在搭建類(lèi)比學(xué)法的“腳手架”的過(guò)程中把已有的事和物與未知的事和物聯(lián)系起來(lái)，遷移找到解決新問(wèn)題的方法，培育一種觸類(lèi)旁通的類(lèi)比學(xué)習(xí)的思維方式。

2.創(chuàng)新設(shè)計(jì)互動(dòng)，開(kāi)放探究生成。

當(dāng)下課堂流行的問(wèn)法：你有什么發(fā)現(xiàn)？你能提出哪些問(wèn)題？你有什么想法……這種開(kāi)放的設(shè)計(jì)，立足于學(xué)情，以生為本，廣泛發(fā)散，旨在培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，訓(xùn)練思維的發(fā)散性。教師需要在學(xué)生有價(jià)值的問(wèn)題處引申拓展，扣“根”追問(wèn)，拓“深”精問(wèn)，有序指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的思考體驗(yàn)。教師要練就“問(wèn)出去，能收回頭”收放自如的基本功，激發(fā)學(xué)生在自主問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的探索熱情，在臨近最近發(fā)展區(qū)處打造生成課堂、生本課堂，讓課堂成為學(xué)生認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的主陣地，讓有意義的學(xué)習(xí)在課堂“真正”發(fā)生。比如教學(xué)設(shè)計(jì)：“動(dòng)車(chē)以200km/h的速度勻速行駛了xh。試根據(jù)上述情境，提出一些問(wèn)題，并用一次函數(shù)、一元一次方程或一元一次不等式求解?！薄耙阎獃1 、y2? 關(guān)于 x的函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)如圖，則求y1 ≥y2 時(shí)自變量x的取值范圍?！边@些問(wèn)題的架構(gòu)實(shí)現(xiàn)了書(shū)本知識(shí)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活、個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)實(shí)踐的溝通。開(kāi)放的教學(xué)使學(xué)生生成基礎(chǔ)資源，在掃除困難與障礙中豐富認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，提升思維的層次，從已知到未知的資源利用使學(xué)生生成新的認(rèn)識(shí)，有效避免“小問(wèn)題設(shè)計(jì)小步走、問(wèn)題缺乏挑戰(zhàn)力度、學(xué)生的思維被動(dòng)”的“假開(kāi)放”的教學(xué)質(zhì)態(tài)。在充分了解學(xué)生前在狀態(tài)、潛在狀態(tài)和發(fā)展可能的前提下，通過(guò)創(chuàng)新設(shè)計(jì)，打造互動(dòng)生成的教學(xué)環(huán)境，以追求師生真實(shí)的生命成長(zhǎng)。

鄭毓信教授倡導(dǎo)把善于舉例、善于提問(wèn)、善于反思作為數(shù)學(xué)教師必須掌握的三項(xiàng)基本功，并提倡把設(shè)計(jì)作為一個(gè)案例，應(yīng)該跳出單純的教學(xué)設(shè)計(jì)，深入地思考相應(yīng)的普遍性問(wèn)題 。從上述案例可以管窺函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系的主流教學(xué)，類(lèi)比地搭建學(xué)習(xí)通法。比如教學(xué)反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)l例3（蘇科版八下P131），可以設(shè)計(jì)如下對(duì)比反思問(wèn)題：“已知反比例函數(shù)y=[6x]，指出當(dāng)x<-1時(shí)，y的取值范圍”與“已知一次函數(shù)y=2x-1，指出當(dāng)x<-1時(shí)，y的取值范圍”這兩種情況有什么不同。讓學(xué)生在類(lèi)比相同思想方法中，關(guān)注兩類(lèi)函數(shù)圖像的不同點(diǎn)，感悟函數(shù)本質(zhì)。

3.滲透思想方法，自主遷移感悟。

在拓展延伸環(huán)節(jié)，通過(guò)分層作業(yè)，學(xué)生在完成反思小文章中自主梳理學(xué)法，完成個(gè)體學(xué)法建構(gòu)。教師通過(guò)開(kāi)放自主的問(wèn)題選擇，放手讓學(xué)生提煉數(shù)形結(jié)合的基本思想，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題解決就是一個(gè)個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，為提純數(shù)學(xué)思想方法（本節(jié)課的核心——數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化），建立問(wèn)題解決之模型，揭示數(shù)形關(guān)聯(lián)、形在其內(nèi)、模型有法的教學(xué)方式本質(zhì)。照顧到不同層次學(xué)生發(fā)展的需求，設(shè)置陌生函數(shù)y=x2-[1x]，圖像不經(jīng)過(guò)哪個(gè)象限的問(wèn)題，再次回歸函數(shù)章節(jié)學(xué)法本質(zhì)，在學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題過(guò)程中融入列表、描點(diǎn)、圖像三位一體的解題方法，問(wèn)題設(shè)計(jì)“跳一跳”學(xué)生能夠“夠得到”，“示意圖”的核心方法，請(qǐng)形上數(shù)，以形助數(shù)，數(shù)形統(tǒng)一，讓學(xué)生在問(wèn)題螺旋式上升的探究中感受“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，在濃濃的函數(shù)味道中強(qiáng)化函數(shù)學(xué)法，切實(shí)感受數(shù)學(xué)之美。

教無(wú)定法，教師通過(guò)把握教學(xué)的“度”來(lái)設(shè)計(jì)創(chuàng)新，需要以問(wèn)題情境為載體，圍繞數(shù)學(xué)活動(dòng)，在師生互問(wèn)互動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生“悟道”，循“知識(shí)理解——知識(shí)遷移——知識(shí)創(chuàng)新”的序 ，關(guān)注探究中學(xué)生深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生，“思維想象的教學(xué)”是否落地生根，這些應(yīng)該成為培育學(xué)生核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)課堂的永恒追求。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)浦頭中學(xué)）