代月幫， 李宏坤， 魏兆成

(大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院 大連，116024)

1 問題的引出

銑削過程中不合適的切削參數(shù)導(dǎo)致的顫振嚴(yán)重地影響到了加工效率、精度、質(zhì)量以及穩(wěn)定性，制約了銑削技術(shù)的快速發(fā)展。在多種顫振形成的機理模型中，再生型顫振被認(rèn)為是切削過程中產(chǎn)生顫振最直接、最根本的原因。如圖1所示，由于機床結(jié)構(gòu)振動，上一次切削與本次切削振動位移之間的相位差異導(dǎo)致刀具切削厚度不均而引起自激振動，即為再生型顫振[1]。

圖1 再生型顫振的理論模型Fig.1 Mechanism model of regenerative chatter

對銑削動力學(xué)方程進行時域離散化處理，獲得振動位移的時序表達式，繪制出軸向臨界切削深度隨主軸轉(zhuǎn)速變化的葉瓣圖是目前避免顫振最有效的方法。國內(nèi)外學(xué)者研究了多種顫振時域數(shù)值求解算法， 如： 基于龍格庫塔的時域求解法[2]；全離散時域求解法[3]；完全離散時域數(shù)值求解法[4]。但是，不論是龍格庫塔法、全離散法還是改進的完全離散法，本質(zhì)上都屬于差分類方法，其優(yōu)點是易于實現(xiàn)，但差分引起的誤差很難從根本上消除[5]，同時它們所建立的模型忽略了刀具系統(tǒng)的模態(tài)耦合因素。

針對上述不足，筆者利用精細積分法構(gòu)造出考慮模態(tài)耦合的球頭銑刀顫振穩(wěn)定域葉瓣圖，并對其進行試驗驗證，克服傳統(tǒng)模型中存在的弊端。

2 球頭銑刀-工件動力學(xué)方程

2.1 動力學(xué)方程的建立

考慮進給方向x和法向y方向的模態(tài)耦合，建立如式(1)所示的方程

(1)

其中：

2.2 動態(tài)切削力求解

2.2.1 切削刃幾何模型

式(2)為第j刀刃上第i個微元坐標(biāo)表達式[6-7]

(2)

其中：R為球頭銑刀半徑；β為切削刃螺旋角；t為切削過程中的時間；k為切削微元的軸向接觸角；ψji(k)為切削微元的徑向滯后角；φ10(t)為刀具轉(zhuǎn)動角度；n為刀具轉(zhuǎn)速；φji(t)為切削微元的徑向接觸角；Nf為切削刃數(shù)目。

2.2.2 動態(tài)切削力模型

切向力dFt,ji(φji(t),k)、徑向力dFr,ji(φji(t),k)和軸向力dFa,ji(φji(t),k)表示為

(3)

其中：h(φji(t),k)為瞬時動態(tài)切削厚度；Ktc為切向力系數(shù)；Krc為徑向力系數(shù)；Kac為軸向力系數(shù)；db為瞬時切削寬度，db=Rdk；R為銑刀球頭半徑。

2.2.3 動態(tài)切削厚度

切削微元的動態(tài)切削厚度如式(4)所示

(4)

其中：x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)為t和(t-T)時刻在x和y方向的振動矢量；T為時滯周期，T=60/(Nfn)。

2.2.4 動態(tài)切削力

通過坐標(biāo)變換，獲得切削微元x，y方向瞬時動態(tài)切削力為

(5)

其中：M為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

確定切削刀刃最小和最大軸向角，即可得到如式(6)所示的動態(tài)切削力

(6)

其中

3 切觸區(qū)域建模

3.1 切觸區(qū)域邊界構(gòu)成

圖2所示的球頭銑刀-工件切觸區(qū)域邊界主要由如圖3所示的a，b，c，d這4條線組成[7]。

如圖4所示，以銑刀球頭頂點為原點，構(gòu)建三維笛卡爾坐標(biāo)系x-y-z，其中：z軸為銑刀軸線，遠離球頭銑刀的頂點為正方向；x軸為進給方向，正方向指向待加工表面。在該坐標(biāo)系下，銑刀球頭輪廓的方程為x2+y2+(z-R)2=R2，其中R為銑刀球頭半徑。

圖2 切觸區(qū)域Fig.2 The schematic for contact area of ball-end mill-workpiece

圖3 切觸區(qū)域邊界組成Fig.3 The schematic for borderline of contact area

圖4 三維坐標(biāo)系建立示意圖Fig.4 The schematic for 3D coordinate system

3.2 求解切觸區(qū)域邊界的投影方程

1)a號線投影方程

在x-y平面內(nèi)，a號線投影方程為x2+y2=R2-(R-L_jg)2，L_jg為切削深度。

2)b號線投影方程

在x-y平面內(nèi)，b號線投影為1條與y軸重合的直線，方程為x=0。

3)c號線投影方程

如圖5所示，在y-z坐標(biāo)下，獲取球頭截面方程y2+(z-R)2=R2，將其沿y軸負(fù)方向平移刀軌間距L_xl，即可得到與本次刀位點相對應(yīng)的上一刀軌的銑刀球頭截面方程，該方程為(y+L_xl)2+(z-R)2=R2。y2+(z-R)2=R2與(y+L_xl)2+(z-R)2=R2的交點M點為c號線在y-z平面的投影，因此c號線投影方程為y=-L_xl/2。

圖5 M點示意圖Fig.5 The schematic for point M

4)d號線投影方程

d號線上的其它點的投影坐標(biāo)可以認(rèn)為是不同軸向切削深度所對應(yīng)的a號線與e號線的投影方程的交點。因此，通過插值理論，可以獲得d號線多項式方程。

如圖6所示，a，b，c，d投影共同圍成的區(qū)域即為工件與球頭銑刀切觸區(qū)域在x-y平面的投影。

圖6 切觸區(qū)域在x -y平面的投影Fig.6 The projection of the contact region in the x-y plane

4 考慮模態(tài)耦合的動力學(xué)方程時域數(shù)值求解

4.1 基于精細積分法的動力學(xué)方程全離散

由式(6)可將式(1)表示為

(7)

將式(7)表示為如下所示的哈密頓系統(tǒng)

(8)

其中：

將A(t)v(t)-A(t)v(t-T)用f(t)來表示，則對于非齊次方程(8)，由常微分理論可知，一般解[8]為

(9)

將時滯周期T均分為m份，即T=mτ，在[tp,tp+1]中，將f(t)表示為如下形式

f(t)=r0+r1(t-tp)

(10)

其中：

r0=f(tp)=A(tp)v(tp)-A(tp)v(tp-mτ)；

將r0，r1進一步表示為

r0=Apvp-Apvp-m

(11)

(12)

由式(9)和式(10)可將v(tp+1)表示為

v(tp+1)=T1[v(tp)+A0-1(r0+A0-1r1)]-

A0-1(r0+A0-1r1+r1τ)

(13)

其中：T1=eA0ε。

將式(11)、式(12)帶入到式(13)中，可得

(I-NN/τAp+1)vp+1=(T1+MMAp-NN/τAp)·

vp-NN/τAp+1vp+1-m+(NN/τAp-

MMAp)vp-m

(14)

其中：MM=T1A0-1-A0-1；NN=T1A0-2-A0-2-A0-1τ。

若(I-NN/τAp+1)可逆，則式(14)可表示為

vp+1=(I-NN/τAp+1)-1(T1+MMAp-

NN/τAp)vp-(I-NN/τAp+1)-1NN/

τAp+1vp+1-m+(I-NN/τAp+1)-1(NN/

τAp-MMAp)vp-m

(15)

4.2 瞬時切削位置確定方法

將銑刀全部切削刃在tp時刻投影到x-y坐標(biāo)系下。由切削刃投影方程與接觸區(qū)域邊界方程的關(guān)系便能夠得到在此刻刀刃所對應(yīng)的最大和最小的軸向角。通過該方法能夠獲得整個周期內(nèi)所有離散時刻的每一個刀刃所對應(yīng)的最大和最小的軸向角[7]。

5 葉瓣圖構(gòu)建方法

構(gòu)建出矩陣Cp，滿足如下映射

vp+1=Cpvp

其中：

矩陣Cp中的PK為4×4矩陣，等于式(15)中的(Ι-NN/τAp+1)-1(T+MMAp-NN/τAp)；RK1為4×2矩陣，為式(15)中- (I-NN/τAp+1)-1NN/τAp+1的前2列；RK2為4×2矩陣，等于式 (15)中(I-NN/τAp+1)-1(NN/τAp-MMAp)的前2列。

通過使用一系列離散Cp(p=0,1,…,m-1)，獲得整個周期內(nèi)的過渡矩陣Φ，亦即

vp=Φv0

其中：Φ=Cm-1Cm-2…C1C0。

由Floquet理論可知，矩陣Φ特征值模的最大值小于1、等于1和大于1時，分別表示切削處于穩(wěn)定狀態(tài)、臨界狀態(tài)和不穩(wěn)定狀態(tài)。

改變主軸轉(zhuǎn)速，獲得不同主軸轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的臨界切削深度，最終構(gòu)建出穩(wěn)定域葉瓣圖。

6 試驗驗證

試驗驗證機床是立式鏜銑加工中心，型號為VF-3；所用刀具為直徑10mm、螺旋角為30°的2齒硬質(zhì)合金球頭銑刀；平面加工時刀軌行距為0.5mm；工件材料為45號鋼。通過試驗辨識出切削力系數(shù)[9]，具體如表1所示。

表1 切削力系數(shù)

如圖7所示，分別對刀具-機床系統(tǒng)在x和y方向進行模態(tài)錘擊試驗，得到刀尖處頻響函數(shù)，分析出刀具系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，具體如表2所示。

圖7 刀具系統(tǒng)模態(tài)測試Fig.7 The modal test for tool system

/Hzξ/106(N·m-1)xx586.80.0314.3xy585.10.0151.7yx587.10.0362.4yy586.30.0184.9

首先，獲得軸向切深為R時，刀具與工件的切觸區(qū)域；其次，選取刀具系統(tǒng)的第1階模態(tài)參數(shù)m為60,構(gòu)建出軸向切深[0，R]、轉(zhuǎn)速為1.5～ 3kr/min范圍間的葉瓣圖，結(jié)果如圖10所示。

選取圖8中的A，B，C，D點對構(gòu)造葉瓣圖進行試驗驗證，各個點所對應(yīng)的切削信息如表3所示。

圖8 顫振穩(wěn)定域葉瓣圖Fig.8 The chatter stability lobes

/(kr·min-1)/mmA2.251.50B2.001.00C2.501.00D1.750.75

通過試驗獲取A，B，C，D條件下所對應(yīng)的切削力[9]，分別對其進行時域和頻域分析，可得結(jié)果如

圖9～16所示。

由圖9、圖11、圖13和圖15可知，C和D條件下的切削力比A和B條件下的切削力平穩(wěn)可靠[10]。

由A，B點切削力頻域可知，在固有頻率附近，諧波幅值明顯增大，發(fā)生了切削顫振。由C，D點切削力頻域可知，在固有頻率附近，諧波幅值并未明顯增大，切削處于穩(wěn)定狀態(tài)。試驗結(jié)果與預(yù)測結(jié)果相一致，表明了該方法預(yù)測的正確性。

圖10 A點切削力頻域圖

圖11 B點切削力時域圖

圖12 B點切削力頻域圖

Fig.12 The frequency domain for cutting force of pointB

圖13C點的切削力時域圖

Fig.13 The time domain for cutting force of pointC

圖14 C點的切削力頻域圖

圖15 D點的切削力時域圖

Fig.15 The time domain for cutting force of pointD

圖16 D點的切削力頻域圖

7 結(jié)束語

利用精細積分法對考慮模態(tài)耦合的銑削系統(tǒng)二階動力學(xué)方程進行時域數(shù)值求解，獲得了球頭銑刀加工過程中的穩(wěn)定域葉瓣圖，并對其進行了試驗驗證。驗證結(jié)果與預(yù)測結(jié)果相一致，表明所提出的方法能夠有效控制顫振，同時為其他類型刀具的葉瓣圖構(gòu)建提供一種新的思路。