陳 婷, 劉玉縣, 吳康雄, 何春華, 湯 麗

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410002；2.北京大學(xué) 微納加工國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100871；3.廣東順德創(chuàng)新設(shè)計(jì)研究院，廣東 佛山 528311)

0 引 言

模態(tài)匹配控制技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在微機(jī)械振動(dòng)陀螺儀來(lái)提高檢測(cè)模態(tài)的機(jī)械靈敏度以改善其性能[1～4]。由于制造的差異，通過(guò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)很難把兩種模態(tài)的諧振頻率完全匹配，因此靜電調(diào)頻方法通常被用來(lái)進(jìn)行模態(tài)匹配，在壓模梳齒上對(duì)調(diào)頻電壓掃描，得到最大輸出信號(hào)時(shí)所對(duì)應(yīng)的匹配電壓[5～7]。盡管這種方法很簡(jiǎn)單，但只適用于高Q值陀螺、匹配精度和匹配時(shí)間的折中，另一種比較常見的模態(tài)匹配方法是鎖相環(huán)(phase-locked loop,PLL)控制法[8～10]，該方法的實(shí)質(zhì)是用PLL對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)與檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行鎖相，使兩者的相差保持在模態(tài)匹配情況下的數(shù)值，由于多鐘耦合信號(hào)存在，使得總的耦合信號(hào)和科里奧利力以及驅(qū)動(dòng)信號(hào)不正交且不同相，很容易干擾匹配控制的準(zhǔn)確性，以上兩種模態(tài)匹配的方法都屬于一次性匹配方法，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)匹配控制。

驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)諧振頻率通常隨不同溫度而變化，而諧振頻率發(fā)生變化則增大模態(tài)匹配的難度，這使得開發(fā)一種自動(dòng)實(shí)時(shí)模式匹配控制方法來(lái)抑制溫度敏感性及其重要，本文提出一種溫度-30～60 ℃環(huán)境下進(jìn)行模態(tài)自動(dòng)匹配的實(shí)現(xiàn)方法，利用該溫度范圍內(nèi)諧振頻差與調(diào)諧電壓對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，實(shí)時(shí)進(jìn)行模態(tài)匹配控制，克服了目前常見模態(tài)匹配方法的局限性。

1 微機(jī)械陀螺諧振原理分析

本實(shí)驗(yàn)采用北京大學(xué)Z軸雙解耦電容式音叉陀螺，線性諧振陀螺具有驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)兩個(gè)模態(tài)，兩個(gè)模態(tài)與輸入角速度方向相互正交以滿足在檢測(cè)模態(tài)產(chǎn)生科里奧利加速度的條件，微機(jī)械陀螺采用的是諧振的原理，驅(qū)動(dòng)模塊使得質(zhì)量塊在靜電驅(qū)動(dòng)力的作用下在X方向上保持恒定幅度諧振，當(dāng)系統(tǒng)以一定角速度繞Z方向進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量塊在Y方向產(chǎn)生科里奧利加速度，在檢測(cè)模態(tài)下檢測(cè)質(zhì)量塊在Y方向的位移從而檢測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

在不考慮其他耦合信號(hào)的影響下，振動(dòng)式MEMS陀螺兩個(gè)模態(tài)下的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程如下[11]

(1)

(2)

對(duì)驅(qū)動(dòng)模態(tài)上的動(dòng)力學(xué)方程(1)進(jìn)行變換可得到系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的振幅與相位響應(yīng)

x(t)=Axsin(ωt+φx)

(3)

(4)

微機(jī)械陀螺的開環(huán)檢測(cè)原理框圖如圖1所示。

圖1 開環(huán)檢測(cè)原理框圖

輸入角速度-Ω(t)=-ΩRcosωRt被驅(qū)動(dòng)模態(tài)的諧振質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)調(diào)制后形成科里奧利力作用在檢測(cè)模態(tài)上，檢測(cè)模態(tài)位移信號(hào)經(jīng)過(guò)電容電壓轉(zhuǎn)換電路后進(jìn)入前置濾波器進(jìn)行降噪整形。整形后信號(hào)通過(guò)-2cos(ωxt+θ)解調(diào)濾波得到陀螺的檢測(cè)模態(tài)的響應(yīng)

y(t)=Ay+sin((ωx+ωR)t+φy+)+

Ay-sin((ωx-ωR)t+φy-)

(5)

式中

定義陀螺的機(jī)械靈敏度[12]為

(6)

由于真空封裝，Qy值一般比較大，根據(jù)式(6)可以得出機(jī)械靈敏度達(dá)到最大時(shí)有ωx=ωy，這時(shí)相移φy≈90°， 當(dāng)模態(tài)匹配時(shí)(即ωx=ωy)時(shí)，檢測(cè)端響應(yīng)位移和機(jī)械靈敏度分別為

(7)

(8)

式中Fcm=2myΩRAx0ωx，由式(6)可知，微機(jī)械陀螺的靈敏度與驅(qū)動(dòng)速度幅值、檢測(cè)質(zhì)量、驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率和檢測(cè)Q值等因素有關(guān)，當(dāng)模態(tài)匹配和檢測(cè)Q值增大時(shí)，機(jī)械靈敏度最高，如式(8)。

2 溫度敏感性分析

硅材料是一種熱敏材料，溫度變化不僅會(huì)使機(jī)械陀螺的品質(zhì)因子和諧振頻率都發(fā)生變化，而且對(duì)整個(gè)硬件電路器件的影響會(huì)改變控制系統(tǒng)的零偏輸出，影響到陀螺的輸出精度和性能。

除了外界環(huán)境溫度對(duì)陀螺性能的影響，陀螺在工作過(guò)程中，由于自身特定的結(jié)構(gòu)，陀螺的內(nèi)部溫度也會(huì)發(fā)生改變，此時(shí)陀螺的彈性模量、殘余應(yīng)力等性能受溫度影響較大[13]，繼而導(dǎo)致陀螺的品質(zhì)因子發(fā)生變化，如圖2(a)所示是陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)Q因子與溫度之間的關(guān)系，隨著溫度從最低溫度到最高溫度，微機(jī)械陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)Q因子(Qx)和檢測(cè)模態(tài)Q因子(Qy)大約減小到原來(lái)的一半，根據(jù)之前的分析，驅(qū)動(dòng)模態(tài)中，為了維持恒定的驅(qū)動(dòng)振幅，高溫時(shí)施加的驅(qū)動(dòng)電壓要比低溫時(shí)的高，檢測(cè)模態(tài)中，高溫情況會(huì)使陀螺的機(jī)械靈敏性下降。

微機(jī)械陀螺的硅材料的彈性模量隨環(huán)境溫度而發(fā)生變化[14]，這使得陀螺的諧振頻率也發(fā)生變化，圖2(b)是陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)諧振頻率與溫度之間的關(guān)系圖，隨著溫度的上升，驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率近似線性減小。

圖2 驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的Q因子及諧振頻率與溫度的關(guān)系

只考慮硅材料楊氏模量KET帶來(lái)的影響，驅(qū)動(dòng)諧振頻率和檢測(cè)諧振頻率隨溫度變化表達(dá)式為[12]

(9)

(10)

式中fx0和fy0分別為驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)室溫下的諧振頻率，T0為室溫，因?yàn)镵ET(T-T0)通常遠(yuǎn)小于1，所以,對(duì)式(9)和式(10)進(jìn)行泰勒展開最終可以得到

fx(T)≈fx0[1-KET(T-T0)/2]

(11)

fy(T)≈fy0[1-KET(T-T0)/2]

(12)

fx和fy都隨溫度T線性變化,根據(jù)式(12)與式(13)可推出兩軸頻差Δf隨溫度變化的表達(dá)式

(13)

可見兩軸頻差Δf隨溫度變化線性變化。

3 模態(tài)匹配控制原理

由于工藝加工存在偏差，陀螺加工后所得到的驅(qū)動(dòng)諧振頻率和檢測(cè)諧振頻率并不相等，兩者之間會(huì)存在一個(gè)偏差。但為了獲取最大的機(jī)械靈敏度，要求微機(jī)械陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)都工作在諧振頻率處，即fx=fy，圖3(a)和圖3(b)分別表示非模態(tài)匹配和模態(tài)匹配陀螺的工作頻率與相應(yīng)關(guān)系。

圖3 非模態(tài)匹配和模態(tài)匹配下的幅頻響應(yīng)

MEMS陀螺通常采用壓膜模態(tài)匹配梳齒結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)模態(tài)匹配控制，在陀螺壓膜梳齒上適合將驅(qū)動(dòng)力對(duì)位移求導(dǎo)產(chǎn)生靜電力負(fù)剛度，其表達(dá)式為[12]

(14)

式中Vp為壓膜梳齒上的直流調(diào)頻電壓，N為檢測(cè)梳齒數(shù)，h和l分別是兩個(gè)梳齒重合部分的長(zhǎng)度和寬度，d1和d2分別是上下梳齒間的距離，而對(duì)于已經(jīng)封裝好的陀螺，其結(jié)構(gòu)參數(shù)都是固定的，故靜電力負(fù)剛度ky只跟電壓有關(guān)，my為檢測(cè)質(zhì)量，fx和fy分別為驅(qū)動(dòng)與檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率，故靜電力負(fù)剛度發(fā)生變化，諧振頻率也會(huì)變化，調(diào)諧電壓Vp與檢測(cè)梳齒的諧振頻率fy之間的關(guān)系式為[15]

(15)

其結(jié)構(gòu)參數(shù)h,l,d1,d2和my通常是固定的，主要通過(guò)調(diào)節(jié)Vp來(lái)調(diào)節(jié)模態(tài)諧振頻率。

從上述溫度敏感性分析中可知，驅(qū)動(dòng)諧振頻率fx、檢測(cè)諧振頻率fy和頻差Δf與溫度之間存在線性關(guān)系，進(jìn)一步簡(jiǎn)化表示為

fx=kxT+bx

(16)

Fy=ky1T+by

(17)

Δf=fy-fx=(ky1-kx)T+by-bx

(18)

因?yàn)閒x和fy隨溫度線性變化，頻差也隨溫度T線性變化，故可以推出在全溫情況下Δf與fx之間的函數(shù)關(guān)系，其表達(dá)式為

(19)

根據(jù)檢測(cè)軸諧振頻率fy與溫度T之間的Vp關(guān)系和檢測(cè)軸諧振頻率fy隨直流調(diào)頻電壓Vp變化的關(guān)系，故可以間接擬合得到全溫情況下直流調(diào)頻電壓與檢測(cè)軸諧振頻率之間的實(shí)時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)驅(qū)動(dòng)諧振頻率和檢測(cè)諧振頻率與溫度存在的關(guān)系，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)獲得兩模態(tài)諧振頻率隨著溫度的變化關(guān)系曲線，描繪出檢測(cè)模態(tài)與驅(qū)動(dòng)模態(tài)之間的諧振頻率的頻差與溫度的關(guān)系曲線，如圖4(a)所示，在溫度-30～60 ℃范圍，兩模態(tài)的諧振頻差Δf變化不超過(guò)3 Hz。因溫度和驅(qū)動(dòng)模態(tài)諧振頻率呈線性關(guān)系，因此可以以驅(qū)動(dòng)諧振頻率位溫度參考，經(jīng)換算得到頻差Δf與驅(qū)動(dòng)諧振頻率fx之間的關(guān)系，如圖4(b)所示，Δf與fx近似線性關(guān)系。

圖4 檢測(cè)模態(tài)和驅(qū)動(dòng)模態(tài)間諧振頻差與溫度、驅(qū)動(dòng)諧振頻率的關(guān)系

圖5(a)給出了實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)陀螺檢測(cè)模態(tài)諧振頻率fy與調(diào)諧電壓Vp之間的關(guān)系。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)可獲得調(diào)節(jié)頻差與調(diào)諧電壓Vp的關(guān)系曲線圖，如圖5(b)所示。

圖5 陀螺檢測(cè)模態(tài)諧振頻率、調(diào)節(jié)頻差與調(diào)諧電壓關(guān)系

根據(jù)圖4(b)以驅(qū)動(dòng)頻率為參考，實(shí)時(shí)獲得兩個(gè)模態(tài)的諧振頻差，通過(guò)圖5(b)諧振頻差與調(diào)諧電壓關(guān)系，實(shí)時(shí)控制調(diào)諧電壓，使得檢測(cè)模態(tài)諧振頻率和驅(qū)動(dòng)模態(tài)諧振頻率匹配。對(duì)MEMS陀螺進(jìn)行實(shí)時(shí)自動(dòng)模態(tài)匹配控制后，在溫度-30～60 ℃范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行掃頻得到匹配后兩個(gè)模態(tài)諧振頻率，如圖6所示,該溫度范圍內(nèi)的匹配誤差如圖7所示。

圖6 匹配后驅(qū)動(dòng)諧振頻率和檢測(cè)諧振頻率與溫度關(guān)系

圖7 模態(tài)匹配誤差曲線

圖6與圖7實(shí)驗(yàn)曲線是采用間接擬合的方法獲得的，進(jìn)行模態(tài)匹配后驅(qū)動(dòng)諧振頻率與檢測(cè)諧振頻率匹配誤差不超過(guò)0.3 Hz。

5 結(jié) 論

本文提出一種簡(jiǎn)單、穩(wěn)定可靠、快速的自動(dòng)實(shí)時(shí)模態(tài)匹配方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:應(yīng)用所提方法進(jìn)行模態(tài)自動(dòng)匹配后，兩模態(tài)的諧振頻率在溫度-30～60 ℃范圍內(nèi)匹配誤差在0.3 Hz以內(nèi)，從而驗(yàn)證了該方法實(shí)時(shí)匹配速度、匹配精度和該方法的可行性。