龔群友

【原題呈現(xiàn)】蘇科版九（下）第91頁14題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。

圖1

（1）把△AOB沿x軸向左平移1個(gè)單位長度得到△A1O1B1，寫出點(diǎn)A1、O1、B1的坐標(biāo)。

（2）把△AOB繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A2OB2，寫出點(diǎn)A2、B2的坐標(biāo)。

（3）把△AOB沿x軸翻折得到△A3OB，寫出點(diǎn)A3的坐標(biāo)。

（4）以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)把△AOB按相似比2∶1放大，得到△A4OB4，寫出點(diǎn) A4、B4的坐標(biāo)。

【解析】（1）A1（1，3），O1（-1，0），B1（2，0）。（2）A2（-2，-3），B2（-3，0）。（3）A3（2，-3）。（4）A4（4，6），B4（6，0）。

【點(diǎn)評(píng)】（1）圖形的平移變換比較簡單，整個(gè)圖形向右（左）平移了a（a＞0）個(gè)單位，圖形的大小、形狀不變，則圖形上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上（減去）a，縱坐標(biāo)不變；整個(gè)圖形向上（下）平移了b（b＞0）個(gè)單位，圖形的大小、形狀不變，則圖形上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)加上（減去）b，橫坐標(biāo)不變。

（2）圖形的旋轉(zhuǎn)變換與平移相比難度略有增加。中心對(duì)稱變換，需將每個(gè)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連接起來，并延長一倍，就得到旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)前后，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)。

（3）圖形沿x軸翻折，圖形的大小、形狀不變，圖形上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)取相反數(shù)。

（4）以點(diǎn)O為位似中心，將線段OA、OB延長一倍，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘2。

【拓展1】在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，-1），B（1，2），平移線段AB，得到線段A′B′，已知A′的坐標(biāo)為（3，-1），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_______。

【解析】通過畫圖，不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長度可得到點(diǎn)A′，則點(diǎn)B同樣也是向右平移4個(gè)單位長度到點(diǎn)B′，所以B′的坐標(biāo)為（5，2）。

【拓展2】△ABC在方格紙中的位置如圖2所示。

圖2

（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，-1），（1，-4），并求出C點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，再作出△ABC以坐標(biāo)原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)180°后的△A2B2C2，并寫出C1、C2兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）觀察△A1B1C1和△A2B2C2，其中的一個(gè)三角形能否由另一個(gè)三角形經(jīng)過某種變換而得到？若能，請(qǐng)指出是什么變換。

【解析】（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，-3）。（2）如圖3，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（-3，3）。（3）能，是軸對(duì)稱變換。

圖3

【拓展3】如圖4，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）。

圖4

（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并畫出點(diǎn)D（3，-1），連接CD。

（2）小明發(fā)現(xiàn)：線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_______。

【解析】（1）如圖5所示。（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)可以得到，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，因此旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)為兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)。若點(diǎn)A與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（1，1）；若點(diǎn)A與點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)中心為（4，4）。所以本題的答案為（1，1）或（4，4）。

圖5

【拓展4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)P0繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P1，延長OP1到點(diǎn)P2，使OP2=2OP1；再將點(diǎn)P2繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn) P3，延長 OP3到點(diǎn) P4，使 OP4=2OP3……如此繼續(xù)下去。求：（1）點(diǎn)P2的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P2019的坐標(biāo)。

【解析】同學(xué)們可根據(jù)題意畫圖分析。

（1）作P2M⊥x軸于M。

∵OP2=2OP1=2OP0=2×1=2，∠P2OM=30°，

∴MP2=2·sin30°=1，OM=2·cos30°=

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（）。

（2）按照題中的變化規(guī)律，點(diǎn)P5、P6落在y軸的正半軸上，點(diǎn)P23、P24又回到x軸正半軸上。

∵2019÷24=84……3，

∴點(diǎn)P2019落在第一象限內(nèi)，且OP2019與x軸的夾角為60°。

又∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23……

∴OP2019=OP2018=21009。

∴點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為（21008，）

以上四個(gè)拓展由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般。同學(xué)們?cè)诮鉀Q這類問題的時(shí)候，一定要“筆下有圖”，結(jié)合圖形變化，在平面直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)圖形，即可順利解決問題。